Гидродинамическая спиральность

Аспект эйлеровой гидродинамики

В динамике жидкости спиральность при соответствующих условиях является инвариантом уравнений Эйлера потока жидкости, имеющим топологическую интерпретацию как мера сцепления и/или заузленности вихревых линий в потоке. Это было впервые доказано Жан-Жаком Моро в 1961 году ^[1] , а Моффатт вывел это в 1969 году без знания статьи Моро . Этот инвариант спиральности является расширением теоремы Вольтьера для магнитной спиральности .

Пусть будет полем скорости и соответствующим полем завихренности . При следующих трех условиях вихревые линии переносятся потоком (или «заморожены в нем»): (i) жидкость невязкая ; (ii) поток либо несжимаем ( ) , либо сжимаем с баротропным соотношением между давлением p и плотностью ρ ; и (iii) любые объемные силы, действующие на жидкость, являются консервативными . При этих условиях любая замкнутая поверхность S , нормальные векторы которой ортогональны завихренности (то есть ), подобно завихренности, переносится потоком. ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle p=p(\rho )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0}$

Пусть V — объем внутри такой поверхности. Тогда спиральность в V , обозначенная H , определяется интегралом объема

${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.}$

Для локализованного распределения завихренности в неограниченной жидкости V можно принять за все пространство, а H тогда будет полной спиральностью потока. H инвариантен именно потому, что вихревые линии заморожены в потоке, и их связь и/или заузленность, следовательно, сохраняются, как признал лорд Кельвин (1868). Спиральность является псевдоскалярной величиной: она меняет знак при переходе от правой к левой системе отсчета; ее можно рассматривать как меру направленности (или хиральности ) потока. Спиральность является одним из четырех известных интегральных инвариантов уравнений Эйлера; остальные три — это энергия , импульс и момент импульса .

Для двух связанных вихревых трубок без узлов, имеющих циркуляции и , и без внутреннего скручивания, спиральность определяется как , где n — число зацепления Гаусса двух трубок, а плюс или минус выбираются в зависимости от того, является ли связь правой или левой. Для одной завязанной вихревой трубки с циркуляцией , тогда, как показали Моффат и Рикка (1992), спиральность определяется как , где и — скручивание и закручивание трубки ; известно, что сумма инвариантна при непрерывной деформации трубки. ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$ ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle Wr+Tw}$

Инвариантность спиральности является краеугольным камнем топологической гидродинамики и магнитогидродинамики , изучающих глобальные свойства потоков и их топологические характеристики.

Метеорология

В метеорологии ^[2] спиральность соответствует переносу вихреобразования из окружающей среды в воздушную порцию в конвективном движении. Здесь определение спиральности упрощается, чтобы использовать только горизонтальную составляющую ветра и вихреобразования , и интегрировать только в вертикальном направлении, заменяя интеграл объема одномерным определенным интегралом или линейным интегралом :

${\displaystyle H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{Z}=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z},}$

где

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle Z}$ — это высота,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {V}}_{h}}$ — горизонтальная скорость,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {\zeta }}_{h}}$ — горизонтальная завихренность.

Согласно этой формуле, если горизонтальный ветер не меняет направления с высотой , H будет равен нулю, так как и перпендикулярны , делая их скалярное произведение нулевым. Тогда H будет положительным, если ветер меняет направление (поворачивается по часовой стрелке ) с высотой и отрицательным, если он меняет направление (против часовой стрелки ). Эта спиральность, используемая в метеорологии, имеет единицы энергии на единицу массы [м ² /с ² ] и, таким образом, интерпретируется как мера переноса энергии сдвигом ветра с высотой, включая направленный. ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$

Это понятие используется для прогнозирования возможности развития торнадо в грозовом облаке . В этом случае вертикальная интеграция будет ограничена ниже вершин облаков (обычно 3 км или 10 000 футов), а горизонтальный ветер будет рассчитываться по отношению к шторму, вычитая его движение:

${\displaystyle \mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z}}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {C}}}$ — движение облака относительно земли.

Критические значения SRH ( относительной спиральности шторма ) для развития торнадо, согласно исследованиям в Северной Америке , [ 3 ^] составляют :

• SRH = 150-299 ... возможны суперячейки со слабыми торнадо по шкале Фудзиты
• SRH = 300-499 ... очень благоприятен для развития суперячеек и сильных торнадо
• SRH > 450 ... сильные торнадо
• При расчете только на глубине менее 1 км (4000 футов) пороговое значение составляет 100.

Спиральность сама по себе не является единственным компонентом сильных гроз , и эти значения следует воспринимать с осторожностью. ^[4] Вот почему был создан индекс энергетической спиральности ( EHI ). Он является результатом SRH, умноженного на CAPE ( конвективная доступная потенциальная энергия ), а затем деленного на пороговое значение CAPE:

${\displaystyle \mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}}$

Это включает в себя не только спиральность, но и энергию воздушного пакета и, таким образом, пытается устранить слабый потенциал для гроз даже в регионах с сильным SRH. Критические значения EHI:

• EHI = 1 ... возможны торнадо
• EHI = 1-2 ... умеренные или сильные торнадо
• EHI > 2 ... сильные торнадо

Примечания

1. Моро, Джей-Джей (1961). Constantes d'un îlot Tourbillonnaire en Fluide Parfait Barotrope. Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 252(19), 2810.
2. Мартин Роули , отставной метеоролог UKMET . "Определения терминов в метеорологии". Архивировано из оригинала 2006-05-16 . Получено 2006-07-15 .
3. Томпсон, Рич. «Объяснение параметров суровой погоды SPC». Национальная метеорологическая служба — Центр прогнозирования штормов . NOAA . Архивировано из оригинала 29 декабря 2022 г. Получено 13 февраля 2023 г.
4. "Storm Relative Helicity". NOAA . Получено 8 августа 2014 г.

Ссылки

• Бэтчелор, Г.К. , (1967, переиздано в 2000) Введение в динамику жидкости , Cambridge Univ. Press
• Окитани, К., « Элементарное описание вихреобразования и связанных с ним уравнений ». Cambridge University Press. 30 января 2005 г. ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, AJ , " Вихревость и турбулентность ". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 г. ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, AJ & Bertozzi, AL, " Вихревость и несжимаемый поток ". Cambridge University Press; 1-е издание. 15 декабря 2001 г. ISBN 0-521-63948-4 
• Триттон, DJ , " Физическая гидродинамика ". Van Nostrand Reinhold, Нью-Йорк. 1977. ISBN 0-19-854493-6 
• Арфкен, Г., « Математические методы для физиков », 3-е изд. Academic Press, Орландо, Флорида. 1985. ISBN 0-12-059820-5 
• Моффатт, Х. К. (1969) Степень запутанности запутанных вихревых линий. J. Fluid Mech . 35 , стр. 117–129.
• Моффатт, Х. К. и Рикка, Р. Л. (1992) Спиральность и инвариант Калугареану. Proc. R. Soc. Lond. A 439 , стр. 411–429.
• Томсон, В. (лорд Кельвин) (1868) О вихревом движении. Trans. Roy. Soc. Edin. 25 , стр. 217–260.