Класс сопряжения

В теории групп класс эквивалентности по отношению сопряжения

Два графа Кэли групп диэдра с классами сопряженности, выделенными цветом.

В математике , особенно в теории групп , два элемента и группы являются сопряженными, если в группе есть такой элемент, что Это отношение эквивалентности , классы эквивалентности которого называются классами сопряженности . Другими словами, каждый класс сопряженности замкнут для всех элементов группы. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}.}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ${\displaystyle g}$

Членов одного и того же класса сопряженности нельзя отличить, используя только групповую структуру, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп имеет фундаментальное значение для изучения их строения. ^{[1] [2]} Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой набор , содержащий один элемент ( одноэлементный набор ).

Функции , постоянные для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .

Определение

Пусть будет группа. Два элемента являются сопряженными , если существует такой элемент, который в этом случае называется сопряженным и называется сопряженным . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

В случае общей линейной группы обратимых матриц отношение сопряженности называется подобием матриц . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

Легко показать, что сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивается на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы и равны тогда и только тогда, когда и сопряжены, и не пересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий этот элемент , называется классом сопряженности группы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ ${\displaystyle a.}$номер класса —количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковыйпорядок. ${\displaystyle G}$

Классы сопряженности можно обозначать путем их описания или, более кратко, с помощью сокращений, таких как «6A», что означает «определенный класс сопряжения с элементами порядка 6», а «6B» будет другим классом сопряжения с элементами порядка 6; класс сопряжения 1А — это класс сопряжения единицы, имеющий порядок 1. В некоторых случаях классы сопряжения могут быть описаны единообразно; например, в симметричной группе они могут быть описаны типом цикла .

Примеры

Симметричная группа , состоящая из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности: ${\displaystyle S_{3},}$

1. Без изменений . Единственный член имеет порядок 1. ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. Транспонирование двух . Все 3 участника имеют порядок 2. ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. Циклическая перестановка всех трёх . Оба члена имеют порядок 3. ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

Этим трем классам соответствует также классификация изометрий равностороннего треугольника .

Таблица показывает все пары с (сравните нумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности , а каждый столбец содержит все элементы класса сопряженности. ${\displaystyle bab^{-1}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle S_{4}.}$

Симметричная группа S 4 , {\displaystyle S_{4},}, состоящая из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их описанием, типом цикла , порядком членов и членами:

1. Без изменений. Тип цикла = [1 ⁴ ]. Порядок = 1. Члены = { (1, 2, 3, 4) }. Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана в соседней таблице в виде ряда черных кружков.
2. Меняем местами два (остальные два остаются без изменений). Тип цикла = [1 ² 2 ¹ ]. Порядок = 2. Члены = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.
3. Циклическая перестановка трех (другой остается неизменным). Тип цикла = [1 ¹ 3 ¹ ]. Порядок = 3. Члены = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или цветового выделения) в соседней таблице.
4. Циклическая перестановка всех четырех. Тип цикла = [4 ¹ ]. Порядок = 4. Члены = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.
5. Меняем местами два, а также два других. Тип цикла = [2 ² ]. Порядок = 2. Члены = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Три строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены жирным шрифтом в соседней таблице.

Собственные вращения куба , которые можно охарактеризовать перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в ${\displaystyle S_{4}.}$

В общем случае число классов сопряженности в симметрической группе ${\displaystyle S_{n}}$ равно числу целочисленных разбиений . Это связано с тем, что каждому классу сопряженности соответствует ровно одно разбиение на циклы с точностью до перестановки элементов ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

В общем, евклидову группу можно изучать путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .

Пример

Пусть G = ${\displaystyle S_{3}}$

а знак равно ( 2 3 )

Икс знак равно ( 1 2 3 )

х ^-1 знак равно ( 3 2 1 )

Тогда хах ^-1

знак равно ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) знак равно ( 3 1 )

= ( 3 1 ) сопряжено с ( 2 3 )

Характеристики

• Идентификатор всегда является единственным элементом в своем классе, то есть ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Если абелева , то для всех , т.е. для всех (и обратное также верно: если все классы сопряженных одноэлементны, то абелева). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ ${\displaystyle a,g\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$
• Если два элемента принадлежат к одному и тому же классу сопряженности (то есть если они сопряжены), то они имеют одинаковый порядок . В более общем смысле, каждое утверждение о можно перевести в утверждение о, потому что отображение является автоморфизмом , называемым внутренним автоморфизмом . Пример см. в следующем свойстве. ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$
• Если и сопряжены, то их степени также сопряжены и (Доказательство: если тогда ) Таким образом, взятие k -й степени дает карту классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3)(2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов усиления (3) — это класс (3)(2) (где — класс усиления ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle b^{k}.}$ ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{k}}$
• Элемент лежит в центре тогда и только тогда, когда его класс сопряженности содержит только один элемент — он сам. В более общем смысле, if обозначает централизатор , т . е. подгруппу , состоящую из всех элементов , таких, что индекс равен количеству элементов в классе сопряженности (по теореме о стабилизаторе орбиты ). ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle a}$
• Возьмем и позволим быть различными целыми числами, которые появляются как длины циклов в типе цикла (включая 1-циклы). Позвольте быть числом циклов длины в для каждого (так что ). Тогда число сопряженных равно: ^[1] ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

Сопряжение как групповое действие

Для любых двух элементов пусть Это определяет групповое действие на . Орбиты этого действия являются классами сопряженности, а стабилизатор данного элемента является централизатором элемента . ^[3] ${\displaystyle g,x\in G,}$ $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Аналогично мы можем определить групповое действие на множестве всех подмножеств , написав или на множестве подгрупп ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$ ${\displaystyle G.}$

Уравнение класса сопряженности

Если — конечная группа , то для любого элемента группы элементы в классе сопряженности находятся во взаимно однозначном соответствии со смежными классами централизатора . В этом можно убедиться, заметив, что любые два элемента и принадлежащие одному и тому же смежному классу (и, следовательно, , для некоторых в централизаторе ) порождают один и тот же элемент при сопряжении : Это также можно видеть из теоремы о стабилизаторе орбиты , когда рассматривается группа, действующая на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряжения, а подгруппы стабилизаторов являются централизаторами. . Обратное также справедливо. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=cz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

Таким образом, число элементов в классе сопряженности есть индекс централизатора в ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle G}$

Более того, если мы выберем один представительный элемент из каждого класса сопряженности, из непересекаемости классов сопряженности мы придем к выводу, что где - централизатор элемента. Наблюдение за тем, что каждый элемент центра образует класс сопряженности, содержащий только себя, дает начало классу уравнение : ^[4] где сумма рассчитывается по репрезентативному элементу каждого класса сопряженности, который не находится в центре. ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ $${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

Знание делителей порядка группы часто можно использовать для получения информации о порядке центра или классов сопряженности. ${\displaystyle |G|}$

Пример

Рассмотрим конечную -группу (т. е. группу с порядком где - простое число и ). Мы собираемся доказать, что каждая конечная -группа имеет нетривиальный центр . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p}$

Поскольку порядок любого класса сопряженности должен делить его порядок, следует, что каждый класс сопряженности , который не находится в центре, также имеет порядок некоторой степени где. Но тогда уравнение класса требует, чтобы из этого мы видим, что необходимо делить так ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

В частности, когда then является абелевой группой, поскольку любой нетривиальный элемент группы имеет порядок , или Если некоторый элемент группы имеет порядок , то он изоморфен циклической группе порядка, следовательно, абелевой. С другой стороны, если каждый нетривиальный элемент в имеет порядок, следовательно, по заключению выше, то или Нам нужно рассматривать только случай, когда тогда существует элемент , который не находится в центре Примечание, включающем и центр, который не содержит , но по крайней мере элементов. Следовательно, порядок строго больше, чем поэтому , следовательно, является элементом центра противоречия. Следовательно, абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая порядка ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p.}$

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств

В более общем смысле, для любого подмножества ( не обязательно подгруппы) определите подмножество, которое будет сопряжено, если существует такое , что Пусть будет набор всех подмножеств, таких, что сопряжено с ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Часто используемая теорема состоит в том, что для любого подмножества индекс ( нормализатор ) в равен мощности : ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

Это следует из того, что если тогда тогда и только тогда, другими словами, тогда и только тогда, когда они находятся в одном и том же смежном классе ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Использование этой формулы обобщает приведенную ранее формулу для числа элементов в классе сопряженности. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Вышеизложенное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах. Таким образом, подгруппы можно разделить на классы сопряженности, при этом две подгруппы принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. Сопряженные подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно должны быть сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не являются сопряженными. ${\displaystyle G.}$

Геометрическая интерпретация

Классы сопряженности в фундаментальной группе линейно -связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель при свободной гомотопии.

Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе

В любой конечной группе число неизоморфных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу классов сопряженности.

Смотрите также

• Топологическая сопряженность  - Понятие в топологии
• FC-группа  - Группа в математике теории групп.
• Замкнутая по сопряженности подгруппа

Примечания

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.
3. Грилье (2007), с. 56
4. Грилье (2007), с. 57

Рекомендации

• Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Дипломные тексты по математике. Том. 242 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-71567-4.

Внешние ссылки

• «Сопряженные элементы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]