Спираль Эйлера

Кривая, кривизна которой изменяется линейно

Двусторонняя спираль Эйлера. Кривая продолжает сходиться к отмеченным точкам, поскольку t стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Спираль Эйлера — это кривая, кривизна которой линейно изменяется с длиной кривой (кривизна круговой кривой равна обратной величине радиуса). Эту кривую также называют клотоидой или спиралью Корню . ^{[1] [2]} Поведение интегралов Френеля можно проиллюстрировать с помощью спирали Эйлера, связи, впервые установленной Мари Альфред Корню в 1874 году. ^[3] Спираль Эйлера — это тип суперспирали , которая обладает свойством монотонной функции кривизны. ^[4]

Спираль Эйлера имеет приложения к дифракционным вычислениям. Они также широко используются в железнодорожном и дорожном строительстве для проектирования переходных кривых между прямыми и кривыми участками железных дорог или дорог. Аналогичное применение также встречается в фотонных интегральных схемах . Принцип линейного изменения кривизны переходной кривой между касательной и круговой кривой определяет геометрию спирали Эйлера:

• Его кривизна начинается с нуля на прямолинейном участке (касательной) и линейно увеличивается с длиной кривой.
• Там, где спираль Эйлера встречается с круговой кривой, ее кривизна становится равной кривизне последней.

История

Спираль имеет несколько названий, отражающих ее открытие и применение в различных областях. Тремя основными областями были упругие пружины («спираль Эйлера», 1744), графические вычисления в дифракции света («спираль Корню», 1874) и железнодорожные переходы («железнодорожная спираль перехода», 1890). ^[2]

Работа Леонарда Эйлера о спирали появилась после того, как Джеймс Бернулли сформулировал проблему в теории упругости: какой формы должна быть предварительно изогнутая проволочная пружина, чтобы при сплющивании путем нажатия на свободный конец она становилась прямой линией? Эйлер установил свойства спирали в 1744 году, отметив в то время, что кривая должна иметь два предела, точки, которые кривая обвивает и обвивает, но никогда не достигает. Тридцать восемь лет спустя, в 1781 году, он сообщил о своем открытии формулы для предела (по «счастливой случайности»). ^[2]

Огюстен Френель , работая в 1818 году над дифракцией света, разработал интеграл Френеля , который определяет ту же спираль. Он не знал об интегралах Эйлера или о связи с теорией упругости. В 1874 году Альфред Мари Корню показал, что интенсивность дифракции можно считать с графика спирали, возведя в квадрат расстояние между двумя точками на графике. В своем биографическом очерке о Корню Анри Пуанкаре восхвалял преимущества «спирали Корню» над «неприятным множеством волосатых интегральных формул». Эрнесто Чезаро решил назвать ту же кривую «клотоидой» в честь Клото , одной из трех Мойр , которые прядут нить жизни в греческой мифологии . ^[2]

Третье независимое открытие произошло в 1800-х годах, когда различные инженеры-железнодорожники искали формулу для постепенного искривления формы пути. К 1880 году Артур Ньюэлл Тальбот разработал интегральные формулы и их решение, которое он назвал «железнодорожной переходной спиралью». Связь с работой Эйлера была установлена ​​только в 1922 году. ^[2]

Не зная о решении геометрии Эйлером, Уильям Ренкин сослался на кубическую кривую (полиномиальную кривую степени 3), которая является приближением спирали Эйлера для малых угловых изменений таким же образом, как парабола является приближением круговой кривой. ^{[ необходима ссылка ]}

Приложения

Кривая перехода пути

Анимация, изображающая эволюцию спирали Корню с касательной окружностью с тем же радиусом кривизны, что и на ее вершине, также известной как соприкасающаяся окружность .

Чтобы двигаться по круговой траектории, объект должен подвергаться центростремительному ускорению (например: Луна вращается вокруг Земли из-за гравитации; автомобиль поворачивает свои передние колеса внутрь, чтобы создать центростремительную силу). Если транспортное средство, движущееся по прямой траектории, внезапно перейдет на тангенциальную круговую траекторию, ему потребуется, чтобы центростремительное ускорение внезапно переключилось в точке касания с нуля на требуемое значение; этого будет трудно достичь (представьте водителя, мгновенно перемещающего рулевое колесо из положения прямой в положение поворота, и автомобиль, который фактически это делает), создавая механическую нагрузку на детали транспортного средства и вызывая большой дискомфорт (из-за бокового рывка ).

На ранних железных дорогах это мгновенное приложение боковой силы не было проблемой, поскольку использовались низкие скорости и кривые с большим радиусом (боковые силы на пассажиров и боковое раскачивание были небольшими и терпимыми). Поскольку скорость рельсовых транспортных средств увеличивалась с годами, стало очевидно, что необходим сервитут, чтобы центростремительное ускорение плавно увеличивалось с пройденным расстоянием. Учитывая выражение центростремительного ускорения ⁠т ²/г⁠ , очевидным решением является предоставление кривой сервитута, кривизна которой, ⁠1/Р⁠ , линейно увеличивается с пройденным расстоянием.

Оптика

В оптике используется термин спираль Корню. ^{[5] : 432} Спираль Корню можно использовать для описания дифракционной картины. ^[6] Рассмотрим плоскую волну с амплитудой фазора E ₀ e ^{− jkz} , которая дифрагирует на «лезвии ножа» высотой h над x = 0 на плоскости z = 0. Тогда дифрагированное волновое поле можно выразить как , где Fr( x ) — интегральная функция Френеля , которая образует спираль Корню на комплексной плоскости. $${\displaystyle \mathbf {E} (x,z)=E_{0}e^{-jkz}{\frac {\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} \left({\sqrt {\frac {2}{\lambda z}}}(h-x)\right)}{\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} (-\infty )}},}$$

Итак, чтобы упростить расчет затухания плоской волны при ее дифракции на кромке ножа, можно использовать схему спирали Корню, представив величины Fr( a ) − Fr( b ) как физические расстояния между точками, представленными Fr( a ) и Fr( b ) для соответствующих a и b . Это облегчает грубый расчет затухания плоской волны кромкой ножа высотой h в месте ( x , z ) за кромкой ножа.

Интегрированная оптика

Изгибы с непрерывно изменяющимся радиусом кривизны, следующие за спиралью Эйлера, также используются для уменьшения потерь в фотонных интегральных схемах , либо в одномодовых волноводах , ^{[7] [8]} для сглаживания резкого изменения кривизны и подавления связи с модами излучения, либо в многомодовых волноводах, ^[9] для подавления связи с модами более высокого порядка и обеспечения эффективной работы в одномодовом режиме. Новаторское и очень элегантное применение спирали Эйлера к волноводам было сделано еще в 1957 году, ^[10] с полым металлическим волноводом для микроволн. Там идея состояла в том, чтобы использовать тот факт, что прямой металлический волновод может быть физически изогнут, чтобы естественным образом принять форму постепенного изгиба, напоминающую спираль Эйлера.

Интеграл Фейнмана по траектории

В формулировке интеграла пути квантовой механики амплитуда вероятности распространения между двумя точками может быть визуализирована путем соединения стрелок фазы действия для каждого временного шага между двумя точками. Стрелки закручиваются вокруг каждой конечной точки, образуя то, что называется спиралью Корню. ^[11]

Автогонки

Автор книги «Автоспорт» Адам Бруйяр продемонстрировал использование спирали Эйлера для оптимизации траектории гонки на входе в поворот. ^[12]

Типографика и цифровая векторная графика

Раф Левин выпустил Spiro как набор инструментов для дизайна кривых, особенно дизайна шрифтов, в 2007 году ^{[13] [14]} под свободной лицензией. Этот набор инструментов был довольно быстро реализован впоследствии в инструменте дизайна шрифтов Fontforge и цифровом векторном рисунке Inkscape .

Проекция карты

Разрезание сферы по спирали шириной ⁠1/Н⁠ и выравнивание полученной формы дает спираль Эйлера, когда n стремится к бесконечности. ^[15] Если сфера — это земной шар , это создает проекцию карты , искажение которой стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности. ^[16]

Формы усов

Естественные формы усов крыс хорошо аппроксимируются сегментами спиралей Эйлера; для одной крысы все усы можно аппроксимировать как сегменты одной и той же спирали. ^[17] Два параметра уравнения Чезаро для сегмента спирали Эйлера могут дать представление о механизме кератинизации роста усов. ^[18]

Формулировка

Символы

Вывод

График справа иллюстрирует спираль Эйлера, используемую в качестве кривой сервитута (перехода) между двумя заданными кривыми, в данном случае прямой линией (отрицательная ось x ) и окружностью. Спираль начинается в начале координат в положительном направлении x и постепенно поворачивается против часовой стрелки, чтобы соприкасаться с окружностью.

Спираль представляет собой небольшой сегмент двухконечной спирали Эйлера, представленной выше, в первом квадранте.

Из определения кривизны, т.е. Записываем в формате, где или таким образом Теперь Если Тогда Таким образом $${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{ds}}\propto s}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Rs={\text{constant}}&=R_{c}s_{o}\\{\frac {d\theta }{ds}}&={\frac {s}{R_{c}s_{o}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{ds}}=2a^{2}s}$$ $${\displaystyle 2a^{2}={\frac {1}{R_{c}s_{o}}}}$$ $${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}s_{o}}}}}$$ $${\displaystyle \theta =(as)^{2}}$$ $${\displaystyle x=\int _{0}^{L}\cos \theta \,ds=\int _{0}^{L}\cos \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds}$$ $${\displaystyle s'=as}$$ $${\displaystyle ds={\frac {ds'}{a}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\sin \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left({s}^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$

Разложение интеграла Френеля

Если a = 1 , что имеет место для нормализованной кривой Эйлера, то декартовы координаты задаются интегралами Френеля (или интегралами Эйлера): $${\displaystyle {\begin{aligned}C(L)&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\S(L)&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$

Нормализация

Для заданной кривой Эйлера с: или тогда где $${\displaystyle 2RL=2R_{c}L_{s}={\frac {1}{a^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}=2a^{2}L}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=aL\\a&={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, процесс получения решения ( x , y ) спирали Эйлера можно описать следующим образом:

• Отобразить L исходной спирали Эйлера путем умножения на множитель a на L ′ нормализованной спирали Эйлера;
• Найти ( x ′, y ′) из интегралов Френеля; и
• Отобразить ( x ′, y ′) в ( x , y ) путем масштабирования (денормализации) с коэффициентом ⁠1/а⁠ . Обратите внимание, что ⁠1/а⁠ > 1 .

В процессе нормализации, Тогда $${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\frac {R_{c}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}\\L'_{s}&={\frac {L_{s}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle 2R'_{c}L'_{s}=2{\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}{\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}={\frac {2}{2}}=1}$$

Обычно нормализация уменьшает L ′ до небольшого значения (менее 1) и приводит к хорошим сходящимся характеристикам интеграла Френеля, управляемым всего несколькими членами (ценою увеличения численной нестабильности расчета, особенно для больших значений θ ).

Иллюстрация

Дано: Тогда и $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{c}&=300\,\mathrm {m} \\L_{s}&=100\,\mathrm {m} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}={\frac {100}{2\times 300}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radian} }$$ $${\displaystyle 2R_{c}L_{s}=60\,000}$$

Уменьшаем масштаб спирали Эйлера на √60 000 , т.е. 100√ 6 к нормализованной спирали Эйлера, которая имеет: и $${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\L'_{s}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\2R'_{c}L'_{s}&=2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}={\frac {\frac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\frac {3}{\sqrt {6}}}}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radian} }$$

Два угла θ _s одинаковы. Таким образом, это подтверждает, что исходная и нормализованная спирали Эйлера геометрически подобны. Геометрическое место нормализованной кривой можно определить из интеграла Френеля, тогда как геометрическое место исходной спирали Эйлера можно получить путем масштабирования или денормализации.

Другие свойства нормализованных спиралей Эйлера

Нормализованные спирали Эйлера можно выразить как: или выразить в виде степенного ряда : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {s^{4i+1}}{4i+1}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {L^{4i+1}}{4i+1}}\\y&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {s^{4i+3}}{4i+3}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {L^{4i+3}}{4i+3}}\end{aligned}}}$$

Нормализованная спираль Эйлера будет сходиться к одной точке в пределе, когда параметр L стремится к бесконечности, что можно выразить как: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\\y^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\end{aligned}}}$$

Нормализованные спирали Эйлера обладают следующими свойствами: и $${\displaystyle {\begin{aligned}2R_{c}L_{s}&=1\\\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}\\{\frac {1}{R}}&={\frac {d\theta }{dL}}=2L\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что 2 R _c L _s = 1 также означает ⁠1/Р _с⁠ = 2 L _s , что соответствует последнему математическому утверждению.

Смотрите также

• Список спиралей

Ссылки

1. Фон Сеггерн, Дэвид Х. (1994). Практическое руководство по проектированию и созданию кривых . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8916-0.
2. Левин, Раф. «Спираль Эйлера: математическая история». Rapp. tech (2008).
3. Мари Альфред Корню. Новый метод для обсуждения проблем дифракции в цилиндрической форме. Journal de Physique th’oretique et appliqu’ee, страницы 5–15, 1874 г.
4. Зиатдинов, Р. (2012), «Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданной в терминах гипергеометрической функции Гаусса», Computer Aided Geometric Design , 29 (7): 510–518, doi :10.1016/j.cagd.2012.03.006
5. Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1993). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (6-е изд., переиздано (с исправлениями) изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-0-08-026481-3.
6. Юджин Хехт (1998). Оптика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. стр. 491. ISBN 978-0-201-30425-1.
7. Кохтоку, М.; и др. (7 июля 2005 г.). «Новые методы изготовления волноводов для ПЛК следующего поколения» (PDF) . Технический обзор NTT . 3 (7): 37–41 . Получено 24 января 2017 г. .
8. Ли, Г. и др. (11 мая 2012 г.). «Оптическая волноводная трассировка SOI со сверхнизкими потерями и высокой плотностью для межсоединений макрочипов». Optics Express . 20 (11): 12035–12039. Bibcode : 2012OExpr..2012035L. doi : 10.1364/OE.20.012035 . PMID  22714189.
9. Cherchi, M.; et al. (18 июля 2013 г.). «Резкое уменьшение размеров изгибов волновода на кремниевой фотонной платформе микронного масштаба». Optics Express . 21 (15): 17814–17823. arXiv : 1301.2197 . Bibcode : 2013OExpr..2117814C. doi : 10.1364/OE.21.017814. PMID  23938654.
10. Унгер, Х. Г. (сентябрь 1957 г.). «Нормальные изгибы моды для круговых электрических волн». The Bell System Technical Journal . 36 (5): 1292–1307. doi :10.1002/j.1538-7305.1957.tb01509.x.
11. Тейлор, Эдвин Ф.; Вокос, Стаматис; О'Мира, Джон М.; Торнбер, Нора С. (1998-03-01). «Преподавание квантовой теории сумм Фейнмана по путям». Компьютеры в физике . 12 (2): 190–199. Bibcode : 1998ComPh..12..190T. doi : 10.1063/1.168652 . ISSN  0894-1866.
12. Развитие, Paradigm Shift Driver; Brouillard, Adam (2016-03-18). Идеальный поворот: пошаговое руководство для водителя по поиску собственной оптимальной линии через физику гонок . Paradigm Shift Motorsport Books. ISBN 9780997382426.
13. "Спиро".
14. "| Выпуск Spiro 0.01 | Typophile". www.typophile.com . Архивировано из оригинала 2007-05-10.
15. Бартольди, Лоран; Энрикес, Андре (2012). «Апельсиновые корки и интегралы Френеля». The Mathematical Intelligencer . 34 (3): 1–3. arXiv : 1202.3033 . doi : 10.1007/s00283-012-9304-1. ISSN  0343-6993. S2CID  52592272.
16. "Странная картографическая проекция (спираль Эйлера) - Numberphile". YouTube . 13 ноября 2018 г. Архивировано из оригинала 21.12.2021.
17. Towal, RB; et al. (7 апреля 2011 г.). «Морфология вибриссального массива крысы: модель для количественной оценки пространственно-временных закономерностей контакта усов с объектами». PLOS Computational Biology . 7 (4): e1001120. Bibcode : 2011PLSCB...7E1120T. doi : 10.1371/journal.pcbi.1001120 . PMC 3072363. PMID  21490724 . 
    Старостин, EL; и др. (15 января 2020 г.). «Эйлерова спираль крысиных усов». Science Advances . 6 (3): eaax5145. Bibcode :2020SciA....6.5145S. doi : 10.1126/sciadv.aax5145 . PMC  6962041 . PMID  31998835.
18. Luo, Y.; Hartmann, MJ (январь 2023 г.). «О внутренней кривизне вибрисс животных». PLOS ONE . 18 (1): e0269210. Bibcode : 2023PLoSO..1869210L. doi : 10.1371 /journal.pone.0269210 . PMC 9821693. PMID  36607960. 

Дальнейшее чтение

• Келлог, Норман Бенджамин (1907). Кривая перехода или кривая адаптации (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw.
• Р. Наве, Спираль Корню, Гиперфизика (2002) (Использует πt²/2 вместо t².)
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стиган, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Довер, 1972. (См. Главу 7)
• "Формы петель американских горок" . Получено 12.11.2010 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Корню». MathWorld .
• Спираль Эйлера на двумерных математических кривых
• Интерактивный пример с JSXGraph