stringtranslate.com

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ; [b] немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ,швейцарский стандартный немецкий:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]; 15 апреля 1707 г. — 18 сентября 1783 г.) —швейцарскийматематик,физик,астроном,географ,логикиинженер, который основал исследованиятеории графовитопологиии сделал пионерские и влиятельные открытия во многих других разделах математики, таких каканалитическая теория чисел,комплексный анализиисчисление бесконечно малых. Он ввёл большую часть современной математической терминологии иобозначений, включая понятиематематической функции.[6]Он также известен своими работами в областимеханики,гидродинамики,оптики,астрономииитеории музыки.[7]

Эйлер считается одним из величайших, самых плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, которые создали свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, как показывают цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель для всех нас». [8] [c] Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не может заменить его». [9] [d] Его 866 публикаций и его переписка собираются в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . [11] [12] [13] Он провел большую часть своей взрослой жизни в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы (строчной пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также первое использование обозначения для значения функции, буквы для выражения мнимой единицы , греческой буквы (заглавной сигмы ) для выражения сумм , греческой буквы (заглавной дельты ) для обозначения конечных разностей и строчных букв для обозначения сторон треугольника, а также представление углов заглавными буквами. [14] Он дал современное определение константы , основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . [15]

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи мостов Кёнигсберга , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, предоставлением решения нескольких нерешенных проблем в теории чисел и анализе, включая знаменитую Базельскую проблему . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма чисел вершин и граней за вычетом числа ребер многогранника равна 2, числу, теперь общеизвестному как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер переформулировал законы физики Ньютона в новые законы в своем двухтомном труде Mechanica, чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес значительный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранний период жизни

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора Реформатской церкви Павла III Эйлера и Маргариты (урожденной Брукер), среди предков которой было много известных ученых-классиков. [16] Он был старшим из четырех детей, у него было две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат, Иоганн Генрих. [17] [16] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риен , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви, и Леонард провел большую часть своего детства. [16]

С юных лет Эйлер получил математическое образование от своего отца, который несколько лет назад посещал курсы Якоба Бернулли в Базельском университете . Примерно в возрасте восьми лет Эйлера отправили жить в дом его бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное обучение у Иоганнеса Буркхардта, молодого теолога с живым интересом к математике. [16]

В 1720 году, в возрасте тринадцати лет, Эйлер поступил в Базельский университет . [7] Посещение университета в столь юном возрасте не было необычным в то время. [16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (который учил отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: [18]

«знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] счел для себя особым удовольствием помогать мне в математических науках. Однако от частных уроков он отказался из-за своего плотного графика. Однако он дал мне гораздо более полезный совет, который заключался в том, чтобы я раздобыл несколько наиболее трудных математических книг и работал над ними с большим усердием, и если бы я столкнулся с какими-либо возражениями или трудностями, он предоставил бы мне свободный доступ к нему каждую субботу после обеда, и он был настолько любезен, что прокомментировал собранные трудности, что было сделано с таким желаемым преимуществом, что, когда он разрешил одно из моих возражений, десять других сразу исчезли, что, безусловно, является лучшим методом для успешного продвижения в математических науках».

Именно в это время Эйлер, при поддержке Бернулли, получил согласие отца стать математиком, а не пастором. [19] [20]

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии , защитив диссертацию, в которой сравнил философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . [16] После этого он поступил на теологический факультет Базельского университета. [20]

В 1726 году Эйлер завершил диссертацию о распространении звука под названием De Sono [21] [22], с которой он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. [23] В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на премию Парижской академии (ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года) [24] . Задача, поставленная в том году, состояла в том, чтобы найти наилучший способ размещения мачт на корабле. Пьер Бугер , который стал известен как «отец корабельной архитектуры», победил, а Эйлер занял второе место. [25] За эти годы Эйлер участвовал в этом конкурсе 15 раз, [24] выиграв 12 из них. [25]

Карьера

Санкт-Петербург

Почтовая марка Советского Союза 1957 года, посвященная 250-летию со дня рождения Эйлера. Текст гласит: 250 лет со дня рождения великого математика, академика Леонарда Эйлера.

Двое сыновей Иоганна Бернулли, Даниил и Николай , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру заверение, что они порекомендуют его на должность, когда таковая появится. [23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. [26] [27] Когда Даниил занял должность своего брата в отделении математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность по физиологии занял его друг Эйлер. [23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, пока безуспешно подавал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. [23]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. [23] [20] Он был повышен с должности младшего специалиста в медицинском отделении академии до должности в математическом отделении. Он поселился у Даниила Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. [28] Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу в качестве врача в российском флоте . [29]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. [25] Благодетельница академии, Екатерина I , которая продолжила прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла до прибытия Эйлера в Санкт-Петербург. [30] Затем русское консервативное дворянство получило власть после восхождения на престол двенадцатилетнего Петра II . [30] Дворянство, подозрительно относящееся к иностранным ученым академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег и предотвратило поступление иностранных и неаристократических студентов в гимназию и университеты. [30]

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находившаяся под влиянием Германии Анна Российская . [31] Эйлер быстро продвигался по служебной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики . [31] Он также покинул российский флот, отказавшись от повышения до лейтенанта . [31] Два года спустя Даниил Бернулли, устав от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер стал его преемником на посту главы математического факультета. [32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля . [33] Фридрих II предпринял попытку завербовать Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер изначально предпочел остаться в Санкт-Петербурге. [34] Но после смерти императрицы Анны и согласия Фридриха II выплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России) он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, утверждая, что ему нужен более мягкий климат для его зрения. [34] Российская академия дала свое согласие и стала выплачивать ему 200 рублей в год как одному из ее действительных членов. [34]

Берлин

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер покинул Санкт-Петербург в июне 1741 года, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий из Пруссии . [35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. [20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием Introductio in analysin infinitorum , а в 1755 году был опубликован текст о дифференциальном исчислении под названием Institutiones calculi differentis . [36] [37] В 1755 году он был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук [38] и Французской академии наук . [39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. [40] [41] В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. [20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. [42] [43]

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. Он написал ей более 200 писем в начале 1760-х годов, которые позже были собраны в том под названием « Письма Эйлера о различных предметах натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . [44] Эта работа содержала изложение Эйлером различных предметов, относящихся к физике и математике, и предлагала ценные сведения о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в Соединенных Штатах и ​​стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность «Писем» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного исследователю ученого. [37]

Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что он был выдвинут в качестве кандидата на пост президента Жаном Лероном Д'Аламбером , Фридрих II назвал себя ее президентом. [43] У прусского короля был большой круг интеллектуалов при дворе, и он нашел математика неискушенным и плохо информированным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, искренне религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые верования. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , который пользовался высоким престижем при дворе Фридриха. Эйлер не был искусным спорщиком и часто считал обязательным обсуждать темы, в которых он мало что знал, что делало его частой мишенью для острот Вольтера. [37] Фридрих также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Я хотел иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в резервуар, откуда она должна была падать обратно по каналам, наконец, вырываясь в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к резервуару. Суета сует! Суета геометрии! [45]

Однако разочарование было почти наверняка необоснованным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, скорее всего, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть дисфункциональным. [46]

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесную связь с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 работ в России. [47] Он также помогал студентам из Санкт-Петербургской академии и время от времени размещал русских студентов в своем доме в Берлине. [47] В 1760 году, когда бушевала Семилетняя война , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. [42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, нанесенный имению Эйлера, а императрица Елизавета Петровна позже добавила еще 4000 рублей — непомерную сумму по тем временам. [48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. [49]

В берлинские годы (1741–1766) Эйлер был на пике своей продуктивности. Он написал 380 работ, 275 из которых были опубликованы. [50] Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Введение Эйлера в Analysin Infinitorum было опубликовано в двух частях в 1748 году. В дополнение к собственным исследованиям Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом и публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. [51] Он даже принимал участие в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. [52]

Вернуться в Россию

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую академию. Его условия были весьма непомерными — 3000 рублей годового жалованья, пенсия для жены и обещание высоких должностей для его сыновей. В университете ему помогал его ученик Андерс Иоганн Лекселл . [53] Когда он жил в Санкт-Петербурге, пожар в 1771 году уничтожил его дом. [54]

Личная жизнь

7 января 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника из Академической гимназии в Санкт-Петербурге. [33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из их тринадцати детей только пятеро пережили детство [55] , трое сыновей и две дочери [56] . Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах [56] .

Через три года после смерти жены в 1773 году [54] Эйлер женился на ее единокровной сестре Саломее Абигайль Гзелль (1723–1794). [57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Санкт-Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. [34]

В раннем возрасте Эйлер выучил наизусть всю «Энеиду» Вергилия , а к старости мог прочесть поэму целиком, а также назвать первое и последнее предложение на каждой странице издания, из которого он ее выучил. [58] [59]

Ухудшение зрения

Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он почти умер от лихорадки, [60] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер обвинил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Санкт-Петербургской академии, [61] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. [62] [63] Зрение Эйлера в этом глазу ухудшалось на протяжении всего его пребывания в Германии, до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер заметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». [61] В 1766 году у него обнаружили катаракту на левом глазу. Хотя удаление катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге сделали его почти полностью слепым и на левый глаз. [39] Однако его состояние, по-видимому, мало повлияло на его производительность. С помощью его писцов производительность Эйлера во многих областях исследований возросла; [64] а в 1775 году он выпускал в среднем одну математическую работу каждую неделю. [39]

Смерть

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Юханом Лекселлем, когда он упал и умер от кровоизлияния в мозг . [62] Якоб фон Штелин  [de] написал краткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николя Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробную панегирик, [55] который он произнес на мемориальном собрании. В своей панегирике Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе написал:

Могила Эйлера в Александро-Невской лавре

il cessa de Calculer et de vivre — … он перестал считать и жить. [65]

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив заросшую надгробную плиту. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро -Невской лавры . [66]

Вклад в математику и физику

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он является основополагающей фигурой в истории математики; если бы его работы были напечатаны, многие из которых представляют фундаментальный интерес, заняли бы от 60 до 80 томов кварто. [39] Имя Эйлера связано с большим количеством тем . Работы Эйлера в среднем составляют 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Было подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти объединенных результатов по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. [14]

Математическая нотация

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений с помощью своих многочисленных и широко распространенных учебников. В частности, он ввел понятие функции [ 6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f, примененной к аргументу x . Он также ввел современную нотацию для тригонометрических функций , букву e для основания натурального логарифма (теперь также известную как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . [67] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно возникло благодаря валлийскому математику Уильяму Джонсу . [68]

Анализ

Развитие исчисления бесконечно малых было на переднем крае математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение исчисления стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости [69] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим великим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов , выражения функций в виде сумм бесконечного числа членов, [70] таких как

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить Базельскую проблему , найдя сумму обратных квадратов каждого натурального числа в 1735 году (он представил более подробное обоснование в 1741 году). Базельская проблема была первоначально поставлена ​​Пьетро Менголи в 1644 году, и к 1730-м годам стала известной открытой проблемой, популяризированной Якобом Бернулли и безуспешно атакованной многими ведущими математиками того времени. Эйлер обнаружил, что: [71] [72] [69]

Эйлер ввел константу, теперь известную как константа Эйлера или константа Эйлера–Маскерони, и изучил ее связь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана . [73]

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Эйлер ввел использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математических приложений логарифмов. [67] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и открыл ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (принятого в радианах) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет

которую Ричард Фейнман назвал «самой замечательной формулой в математике» . [74]

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию [75] [76] и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . [77] Он нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, предвосхитив развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа для сведения задач оптимизации в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. Тем самым он объединил две разрозненные ветви математики и ввел новую область изучения — аналитическую теорию чисел . Прокладывая путь для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя расходимость гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределены простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к разработке теоремы о простых числах . [78]

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно проследить под влиянием Христиана Гольдбаха , [79] его друга по Санкт-Петербургской академии. [60] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, такие как его гипотеза о том, что все числа вида ( числа Ферма ) являются простыми. [80]

Эйлер связал природу распределения простых чисел с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных величин простых чисел расходится . При этом он открыл связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . [81]

Эйлер изобрел функцию тотиента φ( n ), число положительных целых чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . [82] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая увлекала математиков со времен Евклида . Он доказал, что показанная связь между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он доказал ранее) была взаимно-однозначной, результат, также известный как теорема Евклида–Эйлера . [83] Эйлер также выдвинул гипотезу о законе квадратичной взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работы Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . [84] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 31  − 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. [85]

Эйлер также внес значительный вклад в теорию разбиений целого числа . [86]

Теория графов

Карта Кёнигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , выделяя реку Прегель и мосты.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кёнигсберга» . [87] Город Кёнигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, возможно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: не существует эйлерова контура . Это решение считается первой теоремой теории графов . [87]

Эйлер также открыл формулу, связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника [88] и , следовательно, планарного графа . Константа в этой формуле теперь известна как характеристика Эйлера для графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта [89] . Изучение и обобщение этой формулы, в частности, Коши [90] и Люилье [91] , лежит в основе топологии [88] .

Физика, астрономия и инженерия

Некоторые из величайших успехов Эйлера были в аналитическом решении реальных проблем и в описании многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он интегрировал дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, которые упростили применение исчисления к физическим проблемам. Он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что сейчас известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера [92] и формула Эйлера–Маклорена . [93] [94] [95]

Эйлер помог разработать уравнение Эйлера-Бернулли для пучка , которое стало краеугольным камнем инженерии. [96] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к проблемам классической механики , Эйлер применял эти методы к небесным проблемам. Его работа в астрономии была отмечена многочисленными премиями Парижской академии на протяжении всей его карьеры. Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и вычисление параллакса Солнца . Его вычисления способствовали разработке точных таблиц долготы . [97]

Эйлер внес важный вклад в оптику . [98] Он не соглашался с корпускулярной теорией света Ньютона , [99] которая была господствующей теорией того времени. Его работы 1740-х годов по оптике помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере до разработки квантовой теории света . [100]

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19 века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его связанной работы по эффективности турбин . [101] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого потока в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . [102]

Эйлер хорошо известен в строительной инженерии своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . [103]

Логика

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . [104]

Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их взаимосвязей. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно окружностей) на плоскости, которые изображают множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры или формы кривых не важны; значение диаграммы заключается в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни то, ни другое), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет множество элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, которая полностью содержится во внутренней зоне другой, представляет ее подмножество .

Диаграммы Эйлера (и их уточнение до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. [105] С тех пор они стали широко использоваться как способ визуализации комбинаций характеристик. [106]

Музыка

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( Попытка новой теории музыки ), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию в математику. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. [107] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический, [108] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. [109] Его труды о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц из его общего объема около тридцати тысяч страниц), но они отражают раннюю озабоченность, которая оставалась с ним на протяжении всей его жизни. [108]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», т. е. возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 m A, где A — «показатель» жанра (т. е. сумма показателей 3 и 5), а 2 m (где «m — неопределенное число, малое или большое, при условии, что звуки воспринимаются» [110] ), выражает, что отношение сохраняется независимо от количества соответствующих октав. Первый жанр, с A = 1, — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 m .3, — это октава, деленная на квинту (квинта + кварта, C–G–C); третий жанр — 2 m .5, большая терция + малая секста (C–E–C); четвертый - 2 m .3 2 , две четверти и тон (C–F–B –C); пятый - 2 m .3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанры 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2 .5 2 ) и 14 (2 m .3.5 3 ) являются исправленными версиями диатонического , хроматического и энгармонического , соответственно, Древних. Жанр 18 (2 m .3 3 .5 2 ) является «диатонико-хроматическим», «используемым вообще во всех композициях», [111] и который оказывается идентичным с системой, описанной Иоганном Маттезоном . [112] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. [113]

Эйлер разработал специальный график, Speculum musicum , [114] [115] для иллюстрации диатонико-хроматического жанра и обсудил пути в этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше). Устройство привлекло новый интерес как Tonnetz в неоримановой теории (см. также Lattice (music) ). [116]

Эйлер далее использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени мягкости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – следует иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. [117] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме, где p i – простые числа, а k i – их показатели степеней. [118]

Личная философия и религиозные убеждения

Эйлер был религиозным человеком на протяжении всей своей жизни. [20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Писем к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( Защита Божественного Откровения от Возражений Свободомыслящих ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который верил, что Библия вдохновлена; « Rettung» был в первую очередь аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . [119] [120]

Эйлер выступал против концепций монадизма Лейбница и философии Христиана Вольфа . [121] Эйлер настаивал на том, что знание основано частично на основе точных количественных законов, чего монадизм и вольфианская наука не могли предоставить. Эйлер также называл идеи Вольфа «языческими и атеистическими». [122]

Существует известная легенда [123], вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами о религии, которая происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма оказали влияние на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили встретиться с французом. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть доказательство, как оно было представлено в суде. Эйлер появился, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности объявил этот non sequitur :

«Сэр, следовательно, Бог существует – ответьте!»

Дидро, для которого (как гласит история) вся математика была тарабарщиной, стоял онемевший, когда при дворе раздался взрыв смеха. Смущенный, он попросил разрешения покинуть Россию, и императрица любезно удовлетворила его просьбу. Как бы забавен ни был этот анекдот, он апокрифический, учитывая, что сам Дидро занимался исследованиями в области математики. [124] Легенда, по-видимому, была впервые рассказана Дьедонне Тиебо с приукрашиванием Августа де Моргана . [123]

Поминки

Портрет Эйлера на шестой серии банкноты достоинством 10 франков
Портрет Эйлера на седьмой серии банкноты достоинством 10 франков

Эйлер был изображен на шестой [125] и седьмой [126] серии швейцарской 10- франковой банкноты и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В 1782 году он был избран иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук . [127] Астероид 2002 Эйлер был назван в его честь. [128]

Избранная библиография

У Эйлера обширная библиография . Среди его книг:

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была индивидуально опубликована [135] , а дополнительная партия из 61 неопубликованной работы была обнаружена Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фуса ) и опубликована в виде сборника в 1862 году. [135] [136] Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестрёмом и публиковался с 1910 по 1913 год. [137] Каталог, известный как индекс Энестрёма , нумерует работы Эйлера от E1 до E866. [138] Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже [139], а затем переехал в Математическую ассоциацию Америки [140] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году. [141]

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в 19 веке [135] первый том Opera Omnia был опубликован в 1911 году. [142] Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера неуклонно продвигалась вперед, и к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. [143] [12] [14] Эти тома организованы в четыре серии. Первая серия объединяет работы по анализу, алгебре и теории чисел; она состоит из 29 томов и чисел объемом более 14 000 страниц. 31 том Серии II, общий объем которых составляет 10 660 страниц, содержит работы по механике, астрономии и инженерии. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, которая содержит огромное количество переписки Эйлера, неопубликованных рукописей и заметок, начала собираться только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов Серии IV, в 2022 году проект решил опубликовать оставшиеся запланированные тома Серии IV только в онлайн-формате. [12] [142] [14]

Примечания

  1. ^ Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент научного руководителя Лагранжа. [1]
  2. ^ Произношение / ˈ juː l ər / YOO -lər считается неправильным. [2] [3] [4] [5]
  3. ^ Цитата появилась в обзоре Гульемо Либри недавно опубликованного сборника переписки математиков восемнадцатого века: « ... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche: «Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous». " [...напомним, что сам Лаплас... не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: "Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем".] [ 144]
  4. Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: [10] « Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, [...] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird » «[Специальная публикация меньших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для учеников. различные математические области, которые невозможно заменить ничем другим.]

Ссылки

  1. Леонард Эйлер в проекте «Генеалогия математики». Получено 2 июля 2021 г.; Архивировано
  2. ^ "Эйлер". Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Oxford University Press . 1989.
  3. ^ "Euler". Онлайн-словарь Merriam–Webster . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009. Получено 5 июня 2009 .
  4. ^ "Эйлер, Леонард". Американский словарь наследия английского языка (5-е изд.). Бостон: Houghton Mifflin Company . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Получено 30 мая 2013 года .
  5. ^ Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Oxford University Press . стр. 43. ISBN 978-0-19-921842-4.
  6. ^ ab Dunham 1999, стр. 17.
  7. ^ ab Debnath, Lokenath (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань уважения трехсотлетию. Лондон: Imperial College Press. стр. vii. ISBN 978-1-84816-525-0.
  8. ^ Данэм 1999, стр. xiii «Лисез Эйлер, Лисез Эйлер, c'est notre maître à tous».
  9. ^ Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). "Эйлер, Леонард (1707–1783)". Энциклопедия математического образования . Routledge . стр. 235. ISBN 978-0-415-76368-4.
  10. ^ Фусс, Пол Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 года».
  11. ^ "Leonhardi Euleri Opera Omnia (LEOO)". Bernoulli Euler Center . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Получено 11 сентября 2022 года .
  12. ^ abc "The works". Bernoulli-Euler Society . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Получено 11 сентября 2022 года .
  13. ^ Гаучи 2008, стр. 3.
  14. ^ abcd Ассад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: краткая оценка». Networks . 49 (3): 190–198. doi :10.1002/net.20158. S2CID  11298706.
  15. ^ Boyer, Carl B (1 июня 2021 г.). "Леонард Эйлер". Encyclopedia Britannica . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 г. . Получено 27 мая 2021 г. .
  16. ^ abcdef Гаучи 2008, стр. 4.
  17. ^ Калинджер 2016, стр. 11.
  18. ^ Гаучи 2008, стр. 5.
  19. ^ Калинджер 1996, стр. 124.
  20. ^ abcdef Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). Zum Werk Леонард Эйлерс: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1. ISBN 978-3-0348-7122-8.
  21. ^ Калинджер 2016, стр. 32.
  22. ^ Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: E. и JR Thurnisiorum. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 г. Получено 6 июня 2021 г. – через архив Эйлера.
    Перевод на английский язык: Bruce, Ian. "Euler's Dissertation De Sono: E002" (PDF) . Некоторые математические работы XVII и XVIII веков, включая Newton's Principia, Euler's Mechanica, Introductio in Analysin и т. д., переведенные в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 г. Получено 12 июня 2021 г.
  23. ^ abcde Calinger 1996, стр. 125.
  24. ^ ab "The Paris Academy". Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 г. Получено 29 июля 2021 г.
  25. ^ abc Calinger 1996, стр. 156.
  26. Калинджер 1996, стр. 121–166.
  27. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Николаус (II) Бернулли". Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .Получено 2 июля 2021 г.
  28. Кэлинджер 1996, стр. 126–127.
  29. ^ Калинджер 1996, стр. 127.
  30. ^ abc Calinger 1996, стр. 126.
  31. ^ abc Calinger 1996, стр. 128.
  32. Кэлинджер 1996, стр. 128–129.
  33. ^ ab Gekker & Euler 2007, с. 402.
  34. ^ abcd Calinger 1996, стр. 157–158.
  35. ^ Гаучи 2008, стр. 7.
  36. ^ Эйлер, Леонард (1787). «Institutiones Calculi Differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 1 . Петри Галеатии: 1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
  37. ^ abcd Dunham 1999, стр. xxiv–xxv.
  38. ^ Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические события в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Vita Mathematica. Т. 17. Биркхойзер . С. 119–135. doi :10.1007/978-3-319-00618-5_7. ISBN 978-3-319-00617-8.См., в частности, сноску 37, стр. 131.
  39. ^ abcd Финкель, Б. Ф. (1897). «Биография – Леонард Эйлер». The American Mathematical Monthly . 4 (12): 297–302. doi :10.2307/2968971. JSTOR  2968971. MR  1514436.
  40. ^ Trimble, Virginia ; Williams, Thomas; Bracher, Katherine; Jarrell, Richard; Marché, Jordan D.; Ragep, F. Jamil, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . стр. 992. ISBN 978-0-387-30400-7.Доступно на Archive.org
  41. ^ Кларк, Уильям; Голински, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе. Издательство Чикагского университета . стр. 395. ISBN 978-0-226-10940-4. Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 г. . Получено 15 июня 2021 г. .
  42. ^ аб Кноблох, Эберхард (2007). «Леонхард Эйлер 1707–1783. Zum 300. Geburtstag eines langjährigen Wahlberliners». Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID  122271644.
  43. ^ ab Gautschi 2008, стр. 8–9.
  44. ^ Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли.Архивировано через интернет-архивы
  45. Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, Письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Brentano's .
  46. ^ Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и неудавшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал совет гения математики и физики». Irish Times . Получено 26 декабря 2023 г.
  47. ^ ab Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре». Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. doi :10.2307/2708192. ISSN  0022-5037. JSTOR  2708192. Архивировано из оригинала 3 августа 2021 г. Получено 3 августа 2021 г. – через JSTOR .
  48. ^ Гиндикин, Саймон (2007). «Леонард Эйлер». Рассказы о математиках и физиках . Springer Publishing . С. 171–212. doi :10.1007/978-0-387-48811-0_7. ISBN 978-0-387-48811-0.См. в частности стр. 182 Архивировано 10 июня 2021 г. на Wayback Machine .
  49. ^ Гаучи 2008, стр. 9.
  50. ^ Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». Ин Бегер, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1. ISBN 978-3-7643-5943-0.
  51. ^ Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Springer Publishing . С. 81–140. doi :10.1007/0-387-28272-6_6. ISBN 978-0-387-25284-1.
  52. ^ Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. doi :10.1007/s004070200054. ISSN  0003-9519. S2CID  121790508.
  53. ^ Maehara, Hiroshi; Martini, Horst (2017). «On Lexell's Theorem». The American Mathematical Monthly . 124 (4): 337–344. doi :10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. S2CID  125175471. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 г. . Получено 16 июня 2021 г. .
  54. ^ ab Thiele, Rüdiger (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера». В Kinyon, Michael; van Brummelen, Glen (ред.). Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures . Springer Publishing . стр. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1.
  55. ^ ab Fuss, Nicolas (1783). "Éloge de M. Léonhard Euler" [Похвальное слово Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 г. Получено 19 мая 2018 г. – через Bioheritage Diversity Library.Перевод на английский язык как «Похвальное слово Леонарду Эйлеру Николаса Фусса». Архив истории математики MacTutor . Перевод Glaus, John SD University of St Andrews . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Получено 30 августа 2006 года .
  56. ^ ab Calinger 1996, стр. 129.
  57. ^ Геккер и Эйлер 2007, с. 405.
  58. Мид, Фил (27 ноября 1999 г.). «Письмо: Необычный талант». www.newscientist.com . Получено 22 сентября 2024 г. .
  59. ^ Нахин, Пол Дж. (2017). Невероятная формула доктора Эйлера: излечивает множество математических недугов. Научная библиотека Принстона. Принстон, Оксфорд: Princeton University Press. стр. 326. ISBN 978-0-691-17591-1.
  60. ^ ab Gautschi 2008, стр. 6.
  61. ^ ab Eves, Howard W. (1969). «Слепота Эйлера». В Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes, Quadrants III and IV . Prindle, Weber, & Schmidt. стр. 48. OCLC  260534353.Также цитируется Richeson (2012), стр. 17 Архивировано 16 июня 2021 г. в Wayback Machine , цитируется по Eves.
  62. ^ ab Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные заболевания . 57 (1): 158–159. doi :10.1093/cid/cit170. PMID  23487386.
  63. ^ Буллок, Джон Д.; Уорвар, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. doi :10.1080/26375451.2022.2052493. S2CID  247868159.
  64. ^ Гаучи 2008, стр. 9–10.
  65. ^ Маркиз де Кондорсе . «Похвала Эйлеру – Кондорсе». Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Получено 30 августа 2006 года .
  66. ^ Кэлинджер 2016, стр. 530–536.
  67. ^ ab Boyer, Carl B. ; Merzbach, Uta C. (1991). История математики. John Wiley & Sons . стр. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
  68. ^ Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4. Архивировано из оригинала 17 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
  69. ^ ab Wanner, Gerhard ; Hairer, Ernst (2005). Анализ по его истории (1-е изд.). Springer Publishing . стр. 63. ISBN 978-0-387-77036-9.
  70. ^ Ферраро 2008, стр. 155.
  71. ^ Моррис, Имоджен И. (24 октября 2023 г.). Механизация использования Эйлером бесконечно малых в доказательстве Базельской проблемы (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). Эдинбургский университет. doi : 10.7488/ERA/3835.
  72. ^ Данэм 1999.
  73. ^ Lagarias, Jeffrey C. (октябрь 2013 г.). "Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки". Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. MR  3090422. S2CID  119612431.
  74. ^ Фейнман, Ричард (1970). "Глава 22: Алгебра". Лекции Фейнмана по физике . Т. I. С. 10.
  75. ^ Ферраро 2008, стр. 159.
  76. ^ Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». The American Mathematical Monthly . 66 : 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. MR  0106810.
  77. ^ Nickalls, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: инварианты и раскрытые решения Эйлера». The Mathematical Gazette . 93 (526): 66–75. doi :10.1017/S0025557200184190. JSTOR  40378672. S2CID  16741834.
  78. ^ Данхэм 1999, Гл. 3, Гл. 4.
  79. ^ Калинджер 1996, стр. 130.
  80. ^ Данхэм 1999, стр. 7.
  81. ^ Паттерсон, С. Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 14. Cambridge: Cambridge University Press . p. 1. doi : 10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR  0933558. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 г. . Получено 6 июня 2021 г. .
  82. ^ Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». The Mathematical Gazette . 91 (522): 453–461. doi :10.1017/S0025557200182099. JSTOR  40378418. S2CID  125064003.
  83. ^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история. Бакалаврские тексты по математике . Springer. стр. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. Архивировано из оригинала 27 июля 2021 г. . Получено 6 июня 2021 г. ..
  84. ^ Данхэм 1999, Гл. 1, Гл. 4.
  85. ^ Колдуэлл, Крис . «Наибольшее известное простое число по годам». PrimePages . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 года . Получено 9 июня 2021 года .
  86. ^ Хопкинс, Брайан; Уилсон, Робин (2007). «Наука Эйлера о сочетаниях». Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Stud. Hist. Philos. Math. Vol. 5. Amsterdam: Elsevier. pp. 395–408. MR  3890500.
  87. ^ ab Alexanderson, Gerald (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кёнигсберга: исторический взгляд». Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
  88. ^ ab Richeson 2012.
  89. ^ Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов. Cambridge University Press . стр. 72. ISBN 978-0-521-28881-1. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 . Получено 12 ноября 2015 .
  90. ^ Коши, AL (1813). «Recherche sur les polyèdres – главные воспоминания». Журнал политехнической школы (на французском языке). 9 (Каир 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
  91. ^ L'Huillier, S.-A.-J. (1812–1813). «Мемуар о полиэдрометрии». Анналы чистой и прикладной математики . 3 : 169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
  92. ^ Бутчер, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: John Wiley & Sons . стр. 45. ISBN 978-0-471-96758-3. Архивировано из оригинала 19 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
  93. ^ Калинджер 2016, стр. 96, 137.
  94. ^ Ferraro 2008, стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера–Маклорена.
  95. ^ Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера–Маклорена». Архив для History of Exact Sciences . 33 (1–3): 1–13. doi :10.1007/BF00328047. MR  0795457. S2CID  122119093.
  96. ^ Охальво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории стержней». Журнал структурной инженерии . 133 (12): 1686–1689. doi :10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686).
  97. ^ Youschkevitch, AP (1971). «Эйлер, Леонард». В Gillispie, Charles Coulston (ред.). Словарь научной биографии . Том 4: Richard Dedekind – Firmicus Maternus. Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons . стр. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4.
  98. ^ ab Davidson, Michael W. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малус». Microscopy Today . 19 (2): 52–54. doi : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID  122853454.
  99. Кэлинджер 1996, стр. 152–153.
  100. ^ Home, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Annals of Science . 45 (5): 521–533. doi :10.1080/00033798800200371. MR  0962700.
  101. ^ Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Маленькие пузырьки бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»». Интерфейс Фокус . 5 (5). Королевское общество : 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020. PMC 4549846. PMID  26442144 . 
  102. ^ Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости». Королевская академия наук и изящной словесности Берлина, Mémoires (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г.Перевод на английский язык: Фриш, Уриэль (2008). «Перевод книги Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [nlin.CD].
  103. ^ Гаучи 2008, стр. 22.
  104. ^ Барон, Маргарет Э. (май 1969). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». The Mathematical Gazette . 53 (383): 113–125. doi :10.2307/3614533. JSTOR  3614533. S2CID  125364002.
  105. ^ Лемански, Йенс (2016). «Средства или цель? Об оценке логических диаграмм». Логико-философские исследования . 14 : 98–122.
  106. ^ Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. doi :10.1016/j.jvlc.2013.08.006. S2CID  2571971. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 г. . Получено 23 июля 2021 г. .
  107. Кэлинджер 1996, стр. 144–145.
  108. ^ ab Pesic, Peter (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету». Музыка и создание современной науки . MIT Press . стр. 133–160. ISBN 978-0-262-02727-4. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 г. . Получено 10 июня 2021 г. .
  109. ^ Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы». Лондонская энциклопедия; или Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний, том 4. стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 г. Получено 13 июня 2021 г.
  110. Эйлер 1739, стр. 115.
  111. ^ Эмери, Эрик (2000). Времена и музыка . Лозанна: L'Age d'homme. стр. 344–345.
  112. ^ Маттесон, Йоханнес (1731). Grosse General-Baß-Schule. Том. Я. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК  30006387.Упоминается Эйлером. Также: Маттесон, Йоханнес (1719). Образцовый органистен-зонд. Гамбург. стр. 57–59.
  113. ^ См.:
    • Перре, Вилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: W. Heffer & Sons. стр. 60–62. OCLC  3212114.
    • "Что такое род Эйлера-Фоккера?". Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 г. . Получено 12 июня 2015 г. .
  114. Эйлер 1739, стр. 147.
  115. ^ Эйлер, Леонард (1774). «De Harmoniae Veris Principiis Per Speculum Musicum Repraesentatis». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 18 . Индекс Энестрема 457: 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.
  116. ^ Голлин, Эдвард (2009). "Комбинаторные и трансформационные аспекты Speculum Musicum Эйлера ". В Klouche, T.; Noll, Th. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007 Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., пересмотренные избранные статьи . Коммуникации в области компьютерных и информационных наук. Том 37. Springer. стр. 406–411. doi :10.1007/978-3-642-04579-0_40. ISBN 978-3-642-04578-3.
  117. ^ Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход. Бонн: Verlag für Systematische Musikwissenschaft. стр. 234–239. ISBN 9783922626664. OCLC  27789639.См. также Nolan, Catherine (2002). «Теория музыки и математика». В Christensen, Th. (ред.). Кембриджская история западной теории музыки . Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 278–279. ISBN 9781139053471. OCLC  828741887.
  118. ^ Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Трудовая музыка в математике: Леонард Эйлер». Коммуникация на коллоквиуме Центра Франсуа Вьета, «Проблемы перевода XVIII века», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
  119. ^ Эйлер, Леонард (1747). Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister [ Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев ] (на немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
  120. ^ Маркиз де Кондорсе (1805). Сравнение последнего издания писем Эйлера, опубликованных де Кондорсе, с оригинальным изданием: защита откровения против возражений вольнодумцев г-на Эйлера, сопровождаемая мыслями автора о религии, опущенными из последнего издания его писем к принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Получено 26 июля 2021 г.
  121. ^ Калинджер 1996, стр. 123.
  122. ^ Кэлинджер 1996, стр. 153–154.
  123. ^ ab См.:
  124. ^ Марти, Жак (1988). «Quelquesspectes des travaux de Diderot en «mathématiques mixtes»» [Некоторые аспекты работ Дидро по общей математике]. Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.
  125. ^ "Швейцарский национальный банк (SNB) - Sechste Banknotenserie (1976)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
  126. ^ "Швейцарский национальный банк (SNB) - Siebte Banknotenserie (1984)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
  127. ^ "E" (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 . Получено 17 февраля 2019 .Запись об Эйлере находится на стр. 177.
  128. ^ Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . п. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7.
  129. ^ Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера 1744 года о вариационном исчислении. Elsevier. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 168–180
  130. ^ Эйлер, Леонард (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio pumpatis isoperimetrici lattissimo sensu Accepti [ Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком принятом смысле ] (на латыни). Боскет. Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
  131. Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ. Elsevier. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 181–190
  132. ^ abcd Ферраро, Джованни (2007). «Трактаты Эйлера об анализе бесконечно малых: Введение в анализ бесконечности, учреждения дифференциального исчисления, учреждения интегрального исчисления ». В Бейкер, Роджер (ред.). Пересмотр Эйлера: Очерки трехсотлетия (PDF) . Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. стр. 39–101. MR  2384378. Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 года.
  133. ^ Обзоры Введения в Анализ Бесконечного :
    • Эйтон, Э. Дж. "Введение в анализ бесконечности. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)". zbMATH . Zbl  0657.01013.
    • Shiu, P. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечности (книга II)» Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». The Mathematical Gazette . 74 (470): 392–393. doi :10.2307/3618156. JSTOR  3618156.
    • Штефэнеску, Дору. "Эйлер, Леонард Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латинского и с введением Джона Д. Блэнтона". Mathematical Reviews . MR  1025504.
  134. ^ Демидов, С.С. (2005). Трактат о дифференциальном исчислении. Elsevier. ISBN 978-0080457444. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 . Получено 12 ноября 2015 .В Grattan-Guinness 2005, стр. 191–198.
  135. ^ abc Kleinert, Andreas (2015). "Leonhardi Euleri Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера". Prace Komisji Historii Nauki PAU . 14. Ягеллонский университет : 13–35. doi : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
  136. ^ Эйлер, Леонард; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Opera postuma mathematica et physica anno 1844 Deteta Que Academiae scientiarum Petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss . Императорская академия наук (Россия) . ОКЛК  9094558695.
  137. ^ Calinger 2016, стр. ix–x.
  138. ^ "The Eneström Index". Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 г. Получено 27 мая 2021 г.
  139. ^ Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторических математиков». Vox of Dartmouth . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 г.
  140. ^ Клайв, Доминик (июнь–июль 2011 г.). «Архив Эйлера перемещается на сайт MAA». MAA FOCUS . Математическая ассоциация Америки . Получено 9 января 2020 г.
  141. ^ "Архив Эйлера". Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 г.
  142. ^ ab Plüss, Matthias. "Der Goethe der Mathematik". Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 г. Получено 16 июня 2021 г.
  143. ^ Варадараджан, ВС (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7. OCLC  803144928.
  144. ^ Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Correspondance mathématique et Physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, ...» [Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров восемнадцатого века, ...]. Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

Источники

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки