Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ; [b] немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ,швейцарский стандартный немецкий:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]; 15 апреля 1707 г. — 18 сентября 1783 г.) —швейцарскийматематик,физик,астроном,географ,логикиинженер, который основал исследованиятеории графовитопологиии сделал пионерские и влиятельные открытия во многих других разделах математики, таких каканалитическая теория чисел,комплексный анализиисчисление бесконечно малых. Он ввёл большую часть современной математической терминологии иобозначений, включая понятиематематической функции.[6]Он также известен своими работами в областимеханики,гидродинамики,оптики,астрономииитеории музыки.[7]
Эйлер считается одним из величайших, самых плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, которые создали свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, как показывают цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель для всех нас». [8] [c] Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не может заменить его». [9] [d] Его 866 публикаций и его переписка собираются в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . [11] [12] [13] Он провел большую часть своей взрослой жизни в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .
Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы (строчной пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также первое использование обозначения для значения функции, буквы для выражения мнимой единицы , греческой буквы (заглавной сигмы ) для выражения сумм , греческой буквы (заглавной дельты ) для обозначения конечных разностей и строчных букв для обозначения сторон треугольника, а также представление углов заглавными буквами. [14] Он дал современное определение константы , основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . [15]
Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи мостов Кёнигсберга , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, предоставлением решения нескольких нерешенных проблем в теории чисел и анализе, включая знаменитую Базельскую проблему . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма чисел вершин и граней за вычетом числа ребер многогранника равна 2, числу, теперь общеизвестному как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер переформулировал законы физики Ньютона в новые законы в своем двухтомном труде Mechanica, чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес значительный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора Реформатской церкви Павла III Эйлера и Маргариты (урожденной Брукер), среди предков которой было много известных ученых-классиков. [16] Он был старшим из четырех детей, у него было две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат, Иоганн Генрих. [17] [16] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риен , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви, и Леонард провел большую часть своего детства. [16]
С юных лет Эйлер получил математическое образование от своего отца, который несколько лет назад посещал курсы Якоба Бернулли в Базельском университете . Примерно в возрасте восьми лет Эйлера отправили жить в дом его бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное обучение у Иоганнеса Буркхардта, молодого теолога с живым интересом к математике. [16]
В 1720 году, в возрасте тринадцати лет, Эйлер поступил в Базельский университет . [7] Посещение университета в столь юном возрасте не было необычным в то время. [16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (который учил отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: [18]
Именно в это время Эйлер, при поддержке Бернулли, получил согласие отца стать математиком, а не пастором. [19] [20]
В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии , защитив диссертацию, в которой сравнил философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . [16] После этого он поступил на теологический факультет Базельского университета. [20]
В 1726 году Эйлер завершил диссертацию о распространении звука под названием De Sono [21] [22], с которой он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. [23] В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на премию Парижской академии (ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года) [24] . Задача, поставленная в том году, состояла в том, чтобы найти наилучший способ размещения мачт на корабле. Пьер Бугер , который стал известен как «отец корабельной архитектуры», победил, а Эйлер занял второе место. [25] За эти годы Эйлер участвовал в этом конкурсе 15 раз, [24] выиграв 12 из них. [25]
Двое сыновей Иоганна Бернулли, Даниил и Николай , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру заверение, что они порекомендуют его на должность, когда таковая появится. [23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. [26] [27] Когда Даниил занял должность своего брата в отделении математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность по физиологии занял его друг Эйлер. [23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, пока безуспешно подавал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. [23]
Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. [23] [20] Он был повышен с должности младшего специалиста в медицинском отделении академии до должности в математическом отделении. Он поселился у Даниила Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. [28] Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу в качестве врача в российском флоте . [29]
Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. [25] Благодетельница академии, Екатерина I , которая продолжила прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла до прибытия Эйлера в Санкт-Петербург. [30] Затем русское консервативное дворянство получило власть после восхождения на престол двенадцатилетнего Петра II . [30] Дворянство, подозрительно относящееся к иностранным ученым академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег и предотвратило поступление иностранных и неаристократических студентов в гимназию и университеты. [30]
Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находившаяся под влиянием Германии Анна Российская . [31] Эйлер быстро продвигался по служебной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики . [31] Он также покинул российский флот, отказавшись от повышения до лейтенанта . [31] Два года спустя Даниил Бернулли, устав от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер стал его преемником на посту главы математического факультета. [32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля . [33] Фридрих II предпринял попытку завербовать Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер изначально предпочел остаться в Санкт-Петербурге. [34] Но после смерти императрицы Анны и согласия Фридриха II выплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России) он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, утверждая, что ему нужен более мягкий климат для его зрения. [34] Российская академия дала свое согласие и стала выплачивать ему 200 рублей в год как одному из ее действительных членов. [34]
Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер покинул Санкт-Петербург в июне 1741 года, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий из Пруссии . [35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. [20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием Introductio in analysin infinitorum , а в 1755 году был опубликован текст о дифференциальном исчислении под названием Institutiones calculi differentis . [36] [37] В 1755 году он был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук [38] и Французской академии наук . [39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. [40] [41] В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. [20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. [42] [43]
Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. Он написал ей более 200 писем в начале 1760-х годов, которые позже были собраны в том под названием « Письма Эйлера о различных предметах натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . [44] Эта работа содержала изложение Эйлером различных предметов, относящихся к физике и математике, и предлагала ценные сведения о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в Соединенных Штатах и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность «Писем» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного исследователю ученого. [37]
Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что он был выдвинут в качестве кандидата на пост президента Жаном Лероном Д'Аламбером , Фридрих II назвал себя ее президентом. [43] У прусского короля был большой круг интеллектуалов при дворе, и он нашел математика неискушенным и плохо информированным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, искренне религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые верования. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , который пользовался высоким престижем при дворе Фридриха. Эйлер не был искусным спорщиком и часто считал обязательным обсуждать темы, в которых он мало что знал, что делало его частой мишенью для острот Вольтера. [37] Фридрих также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:
Я хотел иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в резервуар, откуда она должна была падать обратно по каналам, наконец, вырываясь в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к резервуару. Суета сует! Суета геометрии! [45]
Однако разочарование было почти наверняка необоснованным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, скорее всего, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть дисфункциональным. [46]
На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесную связь с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 работ в России. [47] Он также помогал студентам из Санкт-Петербургской академии и время от времени размещал русских студентов в своем доме в Берлине. [47] В 1760 году, когда бушевала Семилетняя война , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. [42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, нанесенный имению Эйлера, а императрица Елизавета Петровна позже добавила еще 4000 рублей — непомерную сумму по тем временам. [48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. [49]
В берлинские годы (1741–1766) Эйлер был на пике своей продуктивности. Он написал 380 работ, 275 из которых были опубликованы. [50] Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Введение Эйлера в Analysin Infinitorum было опубликовано в двух частях в 1748 году. В дополнение к собственным исследованиям Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом и публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. [51] Он даже принимал участие в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. [52]
Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую академию. Его условия были весьма непомерными — 3000 рублей годового жалованья, пенсия для жены и обещание высоких должностей для его сыновей. В университете ему помогал его ученик Андерс Иоганн Лекселл . [53] Когда он жил в Санкт-Петербурге, пожар в 1771 году уничтожил его дом. [54]
7 января 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника из Академической гимназии в Санкт-Петербурге. [33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .
Из их тринадцати детей только пятеро пережили детство [55] , трое сыновей и две дочери [56] . Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах [56] .
Через три года после смерти жены в 1773 году [54] Эйлер женился на ее единокровной сестре Саломее Абигайль Гзелль (1723–1794). [57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.
Его брат Иоганн Генрих поселился в Санкт-Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. [34]
В раннем возрасте Эйлер выучил наизусть всю «Энеиду» Вергилия , а к старости мог прочесть поэму целиком, а также назвать первое и последнее предложение на каждой странице издания, из которого он ее выучил. [58] [59]
Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он почти умер от лихорадки, [60] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер обвинил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Санкт-Петербургской академии, [61] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. [62] [63] Зрение Эйлера в этом глазу ухудшалось на протяжении всего его пребывания в Германии, до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер заметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». [61] В 1766 году у него обнаружили катаракту на левом глазу. Хотя удаление катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге сделали его почти полностью слепым и на левый глаз. [39] Однако его состояние, по-видимому, мало повлияло на его производительность. С помощью его писцов производительность Эйлера во многих областях исследований возросла; [64] а в 1775 году он выпускал в среднем одну математическую работу каждую неделю. [39]
В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Юханом Лекселлем, когда он упал и умер от кровоизлияния в мозг . [62] Якоб фон Штелин написал краткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николя Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробную панегирик, [55] который он произнес на мемориальном собрании. В своей панегирике Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе написал:
il cessa de Calculer et de vivre — … он перестал считать и жить. [65]
Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив заросшую надгробную плиту. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро -Невской лавры . [66]
Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он является основополагающей фигурой в истории математики; если бы его работы были напечатаны, многие из которых представляют фундаментальный интерес, заняли бы от 60 до 80 томов кварто. [39] Имя Эйлера связано с большим количеством тем . Работы Эйлера в среднем составляют 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Было подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти объединенных результатов по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. [14]
Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений с помощью своих многочисленных и широко распространенных учебников. В частности, он ввел понятие функции [ 6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f, примененной к аргументу x . Он также ввел современную нотацию для тригонометрических функций , букву e для основания натурального логарифма (теперь также известную как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . [67] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно возникло благодаря валлийскому математику Уильяму Джонсу . [68]
Развитие исчисления бесконечно малых было на переднем крае математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение исчисления стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости [69] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим великим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов , выражения функций в виде сумм бесконечного числа членов, [70] таких как
Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить Базельскую проблему , найдя сумму обратных квадратов каждого натурального числа в 1735 году (он представил более подробное обоснование в 1741 году). Базельская проблема была первоначально поставлена Пьетро Менголи в 1644 году, и к 1730-м годам стала известной открытой проблемой, популяризированной Якобом Бернулли и безуспешно атакованной многими ведущими математиками того времени. Эйлер обнаружил, что: [71] [72] [69]
Эйлер ввел константу, теперь известную как константа Эйлера или константа Эйлера–Маскерони, и изучил ее связь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана . [73]
Эйлер ввел использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математических приложений логарифмов. [67] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и открыл ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (принятого в радианах) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет
которую Ричард Фейнман назвал «самой замечательной формулой в математике» . [74]
Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .
Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию [75] [76] и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . [77] Он нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, предвосхитив развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа для сведения задач оптимизации в этой области к решению дифференциальных уравнений .
Эйлер был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. Тем самым он объединил две разрозненные ветви математики и ввел новую область изучения — аналитическую теорию чисел . Прокладывая путь для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя расходимость гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределены простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к разработке теоремы о простых числах . [78]
Интерес Эйлера к теории чисел можно проследить под влиянием Христиана Гольдбаха , [79] его друга по Санкт-Петербургской академии. [60] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, такие как его гипотеза о том, что все числа вида ( числа Ферма ) являются простыми. [80]
Эйлер связал природу распределения простых чисел с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных величин простых чисел расходится . При этом он открыл связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . [81]
Эйлер изобрел функцию тотиента φ( n ), число положительных целых чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . [82] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая увлекала математиков со времен Евклида . Он доказал, что показанная связь между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он доказал ранее) была взаимно-однозначной, результат, также известный как теорема Евклида–Эйлера . [83] Эйлер также выдвинул гипотезу о законе квадратичной взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работы Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . [84] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 31 − 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. [85]
Эйлер также внес значительный вклад в теорию разбиений целого числа . [86]
В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кёнигсберга» . [87] Город Кёнигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, возможно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: не существует эйлерова контура . Это решение считается первой теоремой теории графов . [87]
Эйлер также открыл формулу, связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника [88] и , следовательно, планарного графа . Константа в этой формуле теперь известна как характеристика Эйлера для графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта [89] . Изучение и обобщение этой формулы, в частности, Коши [90] и Люилье [91] , лежит в основе топологии [88] .
Некоторые из величайших успехов Эйлера были в аналитическом решении реальных проблем и в описании многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он интегрировал дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, которые упростили применение исчисления к физическим проблемам. Он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что сейчас известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера [92] и формула Эйлера–Маклорена . [93] [94] [95]
Эйлер помог разработать уравнение Эйлера-Бернулли для пучка , которое стало краеугольным камнем инженерии. [96] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к проблемам классической механики , Эйлер применял эти методы к небесным проблемам. Его работа в астрономии была отмечена многочисленными премиями Парижской академии на протяжении всей его карьеры. Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и вычисление параллакса Солнца . Его вычисления способствовали разработке точных таблиц долготы . [97]
Эйлер внес важный вклад в оптику . [98] Он не соглашался с корпускулярной теорией света Ньютона , [99] которая была господствующей теорией того времени. Его работы 1740-х годов по оптике помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере до разработки квантовой теории света . [100]
В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19 века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его связанной работы по эффективности турбин . [101] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого потока в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . [102]
Эйлер хорошо известен в строительной инженерии своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . [103]
Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . [104]
Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их взаимосвязей. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно окружностей) на плоскости, которые изображают множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры или формы кривых не важны; значение диаграммы заключается в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни то, ни другое), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет множество элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, которая полностью содержится во внутренней зоне другой, представляет ее подмножество .
Диаграммы Эйлера (и их уточнение до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. [105] С тех пор они стали широко использоваться как способ визуализации комбинаций характеристик. [106]
Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( Попытка новой теории музыки ), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию в математику. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. [107] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический, [108] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. [109] Его труды о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц из его общего объема около тридцати тысяч страниц), но они отражают раннюю озабоченность, которая оставалась с ним на протяжении всей его жизни. [108]
Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», т. е. возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 m A, где A — «показатель» жанра (т. е. сумма показателей 3 и 5), а 2 m (где «m — неопределенное число, малое или большое, при условии, что звуки воспринимаются» [110] ), выражает, что отношение сохраняется независимо от количества соответствующих октав. Первый жанр, с A = 1, — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 m .3, — это октава, деленная на квинту (квинта + кварта, C–G–C); третий жанр — 2 m .5, большая терция + малая секста (C–E–C); четвертый - 2 m .3 2 , две четверти и тон (C–F–B ♭ –C); пятый - 2 m .3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанры 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2 .5 2 ) и 14 (2 m .3.5 3 ) являются исправленными версиями диатонического , хроматического и энгармонического , соответственно, Древних. Жанр 18 (2 m .3 3 .5 2 ) является «диатонико-хроматическим», «используемым вообще во всех композициях», [111] и который оказывается идентичным с системой, описанной Иоганном Маттезоном . [112] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. [113]
Эйлер разработал специальный график, Speculum musicum , [114] [115] для иллюстрации диатонико-хроматического жанра и обсудил пути в этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше). Устройство привлекло новый интерес как Tonnetz в неоримановой теории (см. также Lattice (music) ). [116]
Эйлер далее использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени мягкости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – следует иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. [117] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме, где p i – простые числа, а k i – их показатели степеней. [118]
Эйлер был религиозным человеком на протяжении всей своей жизни. [20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Писем к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( Защита Божественного Откровения от Возражений Свободомыслящих ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который верил, что Библия вдохновлена; « Rettung» был в первую очередь аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . [119] [120]
Эйлер выступал против концепций монадизма Лейбница и философии Христиана Вольфа . [121] Эйлер настаивал на том, что знание основано частично на основе точных количественных законов, чего монадизм и вольфианская наука не могли предоставить. Эйлер также называл идеи Вольфа «языческими и атеистическими». [122]
Существует известная легенда [123], вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами о религии, которая происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма оказали влияние на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили встретиться с французом. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть доказательство, как оно было представлено в суде. Эйлер появился, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности объявил этот non sequitur :
«Сэр, следовательно, Бог существует – ответьте!»
Дидро, для которого (как гласит история) вся математика была тарабарщиной, стоял онемевший, когда при дворе раздался взрыв смеха. Смущенный, он попросил разрешения покинуть Россию, и императрица любезно удовлетворила его просьбу. Как бы забавен ни был этот анекдот, он апокрифический, учитывая, что сам Дидро занимался исследованиями в области математики. [124] Легенда, по-видимому, была впервые рассказана Дьедонне Тиебо с приукрашиванием Августа де Моргана . [123]
Эйлер был изображен на шестой [125] и седьмой [126] серии швейцарской 10- франковой банкноты и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В 1782 году он был избран иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук . [127] Астероид 2002 Эйлер был назван в его честь. [128]
У Эйлера обширная библиография . Среди его книг:
Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была индивидуально опубликована [135] , а дополнительная партия из 61 неопубликованной работы была обнаружена Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фуса ) и опубликована в виде сборника в 1862 году. [135] [136] Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестрёмом и публиковался с 1910 по 1913 год. [137] Каталог, известный как индекс Энестрёма , нумерует работы Эйлера от E1 до E866. [138] Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже [139], а затем переехал в Математическую ассоциацию Америки [140] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году. [141]
В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в 19 веке [135] первый том Opera Omnia был опубликован в 1911 году. [142] Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера неуклонно продвигалась вперед, и к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. [143] [12] [14] Эти тома организованы в четыре серии. Первая серия объединяет работы по анализу, алгебре и теории чисел; она состоит из 29 томов и чисел объемом более 14 000 страниц. 31 том Серии II, общий объем которых составляет 10 660 страниц, содержит работы по механике, астрономии и инженерии. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, которая содержит огромное количество переписки Эйлера, неопубликованных рукописей и заметок, начала собираться только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов Серии IV, в 2022 году проект решил опубликовать оставшиеся запланированные тома Серии IV только в онлайн-формате. [12] [142] [14]