«Доказательства и опровержения: логика математических открытий» — книга философа Имре Лакатоса, вышедшая в 1976 году , в которой излагается его взгляд на прогресс математики . Книга написана как серия сократических диалогов с участием группы студентов, которые обсуждают доказательство эйлеровой характеристики, определенной для многогранника . Центральная тема заключается в том, что определения не высечены в камне, а часто должны быть исправлены в свете более поздних открытий, в частности, неудачных доказательств . Это придает математике несколько экспериментальный оттенок. В конце введения Лакатос объясняет, что его цель — бросить вызов формализму в математике и показать, что неформальная математика развивается за счет логики «доказательств и опровержений».
Книга 1976 года «Доказательства и опровержения» основана на первых трех главах его четырехглавной докторской диссертации 1961 года « Очерки логики математических открытий» . Но ее первая глава представляет собой собственную редакцию Лакатоса первой главы, которая была впервые опубликована под названием « Доказательства и опровержения» в четырех частях в 1963–1964 годах в « Британском журнале философии науки» .
В книге объяснены многие важные логические идеи. Например, обсуждается разница между контрпримером к лемме (так называемым «локальным контрпримером») и контрпримером к конкретной гипотезе, подвергающейся критике (в данном случае «глобальным контрпримером» к эйлеровой характеристике). [1]
Лакатос выступает за другой тип учебника, использующий эвристический стиль. Критикам, которые говорят, что такой учебник будет слишком длинным, он отвечает: «Ответ на этот банальный аргумент таков: давайте попробуем».
Книга включает два приложения. В первом Лакатос приводит примеры эвристического процесса математических открытий. Во втором он противопоставляет дедуктивистский и эвристический подходы и обеспечивает эвристический анализ некоторых «порожденных доказательствами» концепций, включая равномерную сходимость , ограниченную вариацию и определение измеримого множества, данное Каратеодори .
Ученики в книге названы в честь букв греческого алфавита.
Хотя книга написана как повествование, ее цель — разработать реальный метод расследования, основанный на «доказательствах и опровержениях». В Приложении I Лакатос резюмирует этот метод следующим списком этапов:
Он продолжает и описывает дальнейшие стадии, которые иногда могут иметь место:
Книга 1976 года была переведена более чем на 15 языков мира, включая китайский, корейский, сербохорватский и турецкий, а второе издание на китайском языке вышло в 2007 году.
Ряд учителей математики применяли метод доказательств и опровержений Лакатоса в классе при преподавании других математических тем. [2] Этот метод применялся для анализа и презентации решения задач по механике старшими классами студентов колледжей. [3]
Математическая ассоциация Америки включила эту книгу в список книг, которые они считают «необходимыми для библиотек по математике для студентов». [4]