В геометрии аполлоновы окружности — это два семейства ( пучка ) окружностей, такие , что каждая окружность в первом семействе пересекает каждую окружность во втором семействе ортогонально , и наоборот. Эти окружности образуют основу для биполярных координат . Они были открыты Аполлонием Пергским , известным греческим геометром .
Окружности Аполлона определяются двумя различными способами с помощью отрезка прямой, обозначаемого CD .
Каждая окружность в первом семействе (синие окружности на рисунке) связана с положительным действительным числом r и определяется как геометрическое место точек X, такое, что отношение расстояний от X до C и до D равно r . Для значений r, близких к нулю, соответствующая окружность близка к C , в то время как для значений r, близких к ∞ , соответствующая окружность близка к D ; для промежуточного значения r = 1 окружность вырождается в прямую, перпендикулярную к середине CD . Уравнение, определяющее эти окружности как геометрическое место, можно обобщить для определения окружностей Ферма–Аполлония более крупных наборов взвешенных точек.
Каждая окружность во втором семействе (красные окружности на рисунке) связана с углом θ и определяется как геометрическое место точек X, таких что вписанный угол ∠ CXD равен θ ,
Сканирование θ от 0 до π генерирует набор всех окружностей, проходящих через две точки C и D.
Две точки пересечения всех красных кругов являются предельными точками пар кругов в синем семействе.
Данный синий круг и данный красный круг пересекаются в двух точках. Чтобы получить биполярные координаты , требуется метод, указывающий, какая точка является правильной. Изоптическая дуга — это геометрическое место точек X , которое видит точки C, D под данным ориентированным углом векторов, т.е. такая дуга содержится в красном круге и ограничена точками C, D. Оставшаяся часть соответствующего красного круга — isopt( θ + π ) . Когда нам действительно нужен весь красный круг, необходимо использовать описание с использованием ориентированных углов прямых линий:
Оба семейства аполлоновых окружностей являются пучками окружностей . Каждое из них определяется любыми двумя своими членами, называемыми образующими пучка. В частности, одно из них является эллиптическим пучком (красное семейство окружностей на рисунке), который определяется двумя образующими, проходящими друг через друга ровно в двух точках ( C, D ). Другое — гиперболическим пучком (синее семейство окружностей на рисунке), который определяется двумя образующими, не пересекающимися друг с другом ни в одной точке. [1]
Любые две из этих окружностей в пределах пучка имеют одну и ту же радикальную ось , и все окружности в пучке имеют коллинеарные центры. Любые три или более окружностей из одного семейства называются коаксиальными окружностями или коаксиальными окружностями . [2]
Эллиптический пучок окружностей, проходящий через две точки C, D (набор красных окружностей на рисунке), имеет прямую CD в качестве своей радикальной оси. Центры окружностей в этом пучке лежат на перпендикуляре к середине CD . Гиперболический пучок, определяемый точками C, D (синие окружности), имеет свою радикальную ось на перпендикуляре к середине прямой CD , а все его центры окружностей находятся на прямой CD .
Инверсия окружности преобразует плоскость таким образом, что отображает окружности в окружности, а пучки окружностей в пучки окружностей. Тип пучка сохраняется: инверсия эллиптического пучка — это другой эллиптический пучок, инверсия гиперболического пучка — это другой гиперболический пучок, а инверсия параболического пучка — это другой параболический пучок.
Сравнительно легко показать с помощью инверсии, что в аполлоновых кругах каждый синий круг пересекает каждый красный круг ортогонально, т. е. под прямым углом . Инверсия синих аполлоновых кругов относительно круга с центром в точке C приводит к пучку концентрических кругов с центром в изображении точки D. Та же инверсия преобразует красные круги в набор прямых линий, которые все содержат изображение D. Таким образом, эта инверсия преобразует биполярную систему координат, определяемую аполлоновыми кругами, в полярную систему координат . Очевидно, что преобразованные пучки пересекаются под прямым углом. Поскольку инверсия является конформным преобразованием , она сохраняет углы между преобразуемыми ею кривыми, поэтому исходные аполлоновские круги также пересекаются под прямым углом.
В качестве альтернативы, [3] ортогональное свойство двух пучков следует из определяющего свойства радикальной оси, что из любой точки X на радикальной оси пучка P длины касательных из X к каждой окружности в P равны. Из этого следует, что окружность с центром в точке X и длиной , равной этим касательным, пересекает все окружности P перпендикулярно. То же построение можно применить для каждой точки X на радикальной оси P , образуя другой пучок окружностей, перпендикулярных P.
В более общем смысле, для каждого пучка окружностей существует уникальный пучок, состоящий из окружностей, перпендикулярных первому пучку. Если один пучок эллиптический, его перпендикулярный пучок гиперболический, и наоборот; в этом случае два пучка образуют набор аполлоновых окружностей. Пучок окружностей, перпендикулярный параболическому пучку, также является параболическим; он состоит из окружностей, имеющих одну и ту же общую точку касания, но с перпендикулярной касательной линией в этой точке. [4]
Было показано, что аполлоновские траектории следуют в своем движении за вихревыми ядрами или другими определенными псевдоспиновыми состояниями в некоторых физических системах, включающих интерференционные или связанные поля, такие как фотонные или связанные поляритонные волны. [5] Траектории возникают из вращения Раби сферы Блоха и ее стереографической проекции на реальное пространство, где производится наблюдение.
