Простая группа

Группа без нормальных подгрупп, отличных от тривиальной группы и самой себя

В математике простая группа — это нетривиальная группа , единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа. Группа, которая не является простой, может быть разбита на две меньшие группы, а именно нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую факторгруппу . Этот процесс можно повторять, и для конечных групп в конечном итоге приходим к однозначно определенным простым группам по теореме Жордана–Гёльдера .

Полная классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году, является важной вехой в истории математики.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа классов конгруэнтности по модулю 3 (см. модульная арифметика ) является простой. Если является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должен быть делителем порядка, который равен 3. Поскольку 3 является простым числом, ее единственными делителями являются 1 и 3, поэтому либо является , либо является тривиальной группой. С другой стороны, группа не является простой. Множество классов конгруэнтности 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3, и это нормальная подгруппа, поскольку любая подгруппа абелевой группы является нормальной. Аналогично, аддитивная группа целых чисел не является простой; множество четных целых чисел является нетривиальной собственной нормальной подгруппой. ^[1] ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

Можно использовать тот же тип рассуждений для любой абелевой группы, чтобы вывести, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка. Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшая неабелева простая группа — это знакопеременная группа порядка 60, и каждая простая группа порядка 60 изоморфна . [ ^2] Вторая наименьшая неабелева простая группа — это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168 , и каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL(2,7). ^{[3] [4]} ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$

Бесконечные простые группы

Бесконечная знакопеременная группа , то есть группа четных конечно носимых перестановок целых чисел, является простой. Эта группа может быть записана как возрастающее объединение конечных простых групп относительно стандартных вложений . Другое семейство примеров бесконечных простых групп задается формулой , где — бесконечное поле и . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}\rightarrow A_{n+1}}$ ${\displaystyle PSL_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Гораздо сложнее построить конечно порождённые бесконечные простые группы. Первый результат существования неявный; он принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторов группы Хигмана . ^[5] Явные примеры, которые оказываются конечно представленными, включают бесконечные группы Томпсона и . Конечно представленные без кручения бесконечные простые группы были построены Бюргером и Мозесом. ^[6] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

Классификация

Пока еще не существует известной классификации для общих (бесконечных) простых групп, и такая классификация не ожидается. Одной из причин этого является существование континуумных групп монстров Тарского для каждой достаточно большой простой характеристики, каждая из которых проста и имеет только циклическую группу этой характеристики в качестве своих подгрупп. ^[7]

Конечные простые группы

Конечные простые группы важны, потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, в некоторой степени подобно тому, как простые числа являются основными строительными блоками целых чисел . Это выражается теоремой Жордана–Гёльдера , которая утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые факторы, с точностью до перестановки и изоморфизма . В результате огромных совместных усилий классификация конечных простых групп была объявлена ​​завершенной в 1983 году Дэниелом Горенштейном , хотя возникли некоторые проблемы (в частности, в классификации квазитонких групп , которые были устранены в 2004 году).

Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие одному из 18 семейств или являющиеся одним из 26 исключений:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$– циклическая группа простого порядка
• ${\displaystyle A_{n}}$– чередующаяся группа для ${\displaystyle n\geq 5}$

  Знакопеременные группы можно рассматривать как группы лиева типа над полем с одним элементом , который объединяет это семейство со следующим, и, таким образом, все семейства неабелевых конечных простых групп можно считать группами лиева типа.

• Одно из 16 семейств групп типа Ли или их производных

  Группа Тиц обычно считается группой этой формы, хотя, строго говоря, она не относится к типу Ли, а скорее является индексом 2 в группе типа Ли.

• Одно из 26 исключений — спорадические группы , из которых 20 являются подгруппами или субфакторами группы -монстра и называются «Счастливой семьей», а остальные 6 называются изгоями .

Структура конечных простых групп

Знаменитая теорема Фейта и Томпсона утверждает, что каждая группа нечетного порядка разрешима . Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок , если только она не является циклической простого порядка.

Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов любой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью теоремы классификации .

История для конечных простых групп

В истории конечных простых групп есть две нити — открытие и построение конкретных простых групп и семейств, которые имели место от работы Галуа в 1820-х годах до построения Монстра в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, которое началось в 19 веке, наиболее значимо имело место в 1955-1983 годах (когда победа была первоначально объявлена), но было в целом согласовано завершить только в 2004 году. К 2018 году его публикация была задумана как серия из 12 монографий , ^[8] десятая из которых была опубликована в 2023 году. ^[9] См. (Silvestri 1979) для истории простых групп 19 века.

Строительство

Простые группы изучались по крайней мере с ранней теории Галуа , где Эварист Галуа понял, что тот факт, что знакопеременные группы на пяти или более точках являются простыми (и, следовательно, неразрешимыми), что он доказал в 1831 году, был причиной того, что нельзя было решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над простым конечным полем, PSL(2, p ) , и заметил, что они были простыми для p, а не 2 или 3. Это содержится в его последнем письме Шевалье ^[10] и является следующим примером конечных простых групп. ^[11]

Следующие открытия были сделаны Камиллом Жорданом в 1870 году. ^[12] Жордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы .

Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, названных группами Матье и впервые описанных Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также было простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечного множества возможностей, Уильям Бернсайд в своем учебнике 1897 года назвал их « спорадическими » .

Позднее результаты Жордана о классических группах были обобщены на произвольные конечные поля Леонардом Диксоном , следуя классификации простых комплексных алгебр Ли Вильгельмом Киллингом . Диксон также построил группы исключений типа G ₂ и E 6 , но не типов F ₄ , E ₇ или E ₈ (Wilson 2009, стр. 2). В 1950-х годах работа над группами типа Ли была продолжена, и Клод Шевалле дал единообразную конструкцию классических групп и групп исключительного типа в статье 1955 года. Это исключило некоторые известные группы (проективные унитарные группы), которые были получены путем «скручивания» конструкции Шевалле. Остальные группы типа Ли были получены Стейнбергом, Титсом и Герцигом (которые создали ³ D ₄ ( q ) и ² E ₆ ( q )) и Судзуки и Ри ( группы Судзуки–Ри ).

Считалось, что эти группы (группы типа Ли, вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) составляют полный список, но после почти столетнего затишья с момента работы Матье, в 1964 году была открыта первая группа Янко , а оставшиеся 20 спорадических групп были открыты или предположены в 1965–1975 годах, достигнув кульминации в 1981 году, когда Роберт Грисс объявил, что он построил « группу монстров » Бернда Фишера . Монстр — это самая большая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196 884-мерной алгебре Грисса , что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица размером 196 883 на 196 883.

Классификация

Полная классификация, как правило, начинается с теоремы Фейта–Томпсона 1962–1963 годов и в основном просуществовала до 1983 года, но была завершена только в 2004 году.

Вскоре после создания Монстра в 1981 году было представлено доказательство, в общей сложности более 10 000 страниц, что теоретики групп успешно перечислили все конечные простые группы , и в 1983 году победу объявил Дэниел Горенштейн. Это было преждевременно — позднее были обнаружены некоторые пробелы, в частности, в классификации квазитонких групп , которые в конечном итоге были заменены в 2004 году классификацией квазитонких групп на 1300 страниц, которая в настоящее время общепринято считается полной.

Тесты на простоту

Тест Силова : Пусть n — положительное целое число, не являющееся простым, и пусть p — простой делитель числа n . Если 1 — единственный делитель числа n , сравнимый с 1 по модулю p , то не существует простой группы порядка n .

Доказательство: Если n — степень простого числа, то группа порядка n имеет нетривиальный центр ^[13] и, следовательно, не является простой. Если n не является степенью простого числа, то каждая силовская подгруппа является собственной, и, по третьей теореме Силова , мы знаем, что число силовских p -подгрупп группы порядка n равно 1 по модулю p и делит n . Поскольку 1 — единственное такое число, силовская p -подгруппа уникальна, и, следовательно, она нормальна. Поскольку это собственная, неединичная подгруппа, группа не является простой.

Бернсайд : Неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда .

Смотрите также

• Почти простая группа
• Характерно простая группа
• Квазипростая группа
• Полупростая группа
• Список конечных простых групп

Ссылки

Примечания

1. Кнапп (2006), стр. 170
2. Ротман (1995), стр. 226
3. Ротман (1995), стр. 281
4. Смит и Табачникова (2000), с. 144
5. Хигман, Грэм (1951), «Конечно порожденная бесконечная простая группа», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 26 (1): 61–64, doi :10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN  0024-6107, MR  0038348
6. Burger, M.; Mozes, S. (2000). «Решетки в произведении деревьев». Publ. Math. IHÉS . 92 : 151–194. doi :10.1007/bf02698916. S2CID  55003601.
7. Отал, Хавьер (2004), «Классификация конечных простых групп: обзор» (PDF) , в Boya, LJ (редактор), « Problems del Milenio » , Monografías de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas, Químicas y Naturales de Zaragoza, vol. 26, Реал Академия точных наук, физики, химии и естественных наук Сарагосы
8. Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 65 (6): 646–651, MR  3792856
9. Капдебосц, Инна; Горенштейн, Дэниел; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2023), Классификация конечных простых групп, Номер 10. Часть V. Главы 9–17. Теорема и Теорема , Случай A , Математические обзоры и монографии, т. 40, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN ${\displaystyle C_{6}}$ ${\displaystyle C_{4}^{\ast }}$ 978-1-4704-7553-6, г-н  4656413
10. Галуа, Эварист (1846), «Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI : 408–415 , получено 4 февраля 2009 г. , PSL(2, p ) и простота обсуждаются на стр. . 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL( ν , p ), обсуждаемый на стр. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
11. Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 1: Введение», Конечные простые группы
12. Джордан, Камилла (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques
13. См. доказательство , например, в p -группе .

Учебники

• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ  1203.20012; Препринт 2007 г.
• Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , Cambridge University Press

• Кнапп, Энтони В. (2006), Основы алгебры , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Выпускные тексты по математике, т. 148, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Смит, Джефф; Табачникова, Ольга (2000), Темы теории групп , бакалаврская серия по математике Springer (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Статьи

• Сильвестри, Р. (сентябрь 1979 г.), «Простые группы конечного порядка в девятнадцатом веке», Архив истории точных наук , 20 (3–4): 313–356, doi :10.1007/BF00327738, S2CID  120444304