Кольцо когомологий

В математике , особенно в алгебраической топологии , кольцо когомологий топологического пространства X представляет собой кольцо , образованное из групп когомологий X вместе с произведением чашки, служащим кольцом умножения. Здесь под когомологиями обычно понимают сингулярные когомологии , но кольцевая структура присутствует и в других теориях, таких как когомологии де Рама . Оно также функториально : для непрерывного отображения пространств получается кольцевой гомоморфизм на кольцах когомологий, который является контравариантным.

В частности, учитывая последовательность групп когомологий H ^k ( X ; R ) на X с коэффициентами в коммутативном кольце R (обычно R равно Z _n , Z , Q , R или C ), можно определить произведение чашки , которое принимает форма

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

Произведение чашки дает умножение на прямую сумму групп когомологий.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Это умножение превращает H ^• ( X ; R ) в кольцо. Фактически, это, естественно, N - градуированное кольцо , степенью которого служит целое неотрицательное число k . Чашка соответствует этому классу.

Кольцо когомологий градуированно-коммутативно в том смысле, что чашечное произведение коммутирует до знака, определяемого градуировкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; у нас есть

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Численный инвариант, полученный из кольца когомологий, — это длина чашки , что означает максимальное количество градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, длина чашки комплексного проективного пространства равна его комплексному размеру .

Примеры

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$где . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$где . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$где . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$где . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$где . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$где . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• По формуле Кюннета кольцо когомологий mod 2 декартова произведения n копий представляет собой кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• Приведенное кольцо когомологий клиновых сумм является прямым произведением их приведенных колец когомологий.
• Кольцо когомологий надстроек обращается в нуль, за исключением части степени 0.

Смотрите также

• Квантовые когомологии

Рекомендации

• Новиков, СП (1996). Топология I, Общий обзор . Спрингер-Верлаг. ISBN 7-03-016673-6.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.