В разделе абстрактной алгебры, известном как теория колец , левое примитивное кольцо — это кольцо , имеющее точный простой левый модуль . Известные примеры включают кольца эндоморфизмов векторных пространств и алгебры Вейля над полями нулевой характеристики .
Кольцо R называется левым примитивным кольцом, если оно имеет точный простой левый R -модуль . Правое примитивное кольцо определяется аналогично правым R -модулям. Существуют кольца, которые примитивны с одной стороны, но не с другой. Первый пример был построен Джорджем М. Бергманом в (Bergman 1964). Другой пример, найденный Джатегаонкаром, показывающий различие, можно найти в Rowen (1988, стр. 159).
Внутренняя характеристика левых примитивных колец следующая: кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда существует максимальный левый идеал , не содержащий ненулевых двусторонних идеалов . Аналогичное определение для правых примитивных колец также справедливо.
Структура левых примитивных колец полностью определяется теоремой плотности Джекобсона : кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно изоморфно плотному подкольцу кольца эндоморфизмов левого векторного пространства над телом .
Другое эквивалентное определение гласит, что кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно является первичным кольцом с точным левым модулем конечной длины (Lam 2001, Ex. 11.19, p. 191).
Односторонние примитивные кольца являются как полупримитивными кольцами , так и первичными кольцами . Поскольку кольцо произведения двух или более ненулевых колец не является первичным, ясно, что произведение примитивных колец никогда не является примитивным.
Для левого артинова кольца известно, что условия "левое примитивное", "правое примитивное", "простое" и " простое " эквивалентны, и в этом случае это полупростое кольцо , изоморфное кольцу квадратных матриц над телом. В более общем случае, в любом кольце с минимальным односторонним идеалом "левое примитивное" = "правое примитивное" = "простое".
Коммутативное кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно является полем .
Левая примитивность является инвариантным свойством Мориты .
Каждое простое кольцо R с единицей является как лево-, так и правопримитивным. (Однако простое неунитальное кольцо может не быть примитивным.) Это следует из того факта, что R имеет максимальный левый идеал M , и того факта, что фактор-модуль R / M является простым левым R -модулем, и что его аннулятор является собственным двусторонним идеалом в R . Поскольку R является простым кольцом, этот аннулятор равен {0} и, следовательно, R / M является точным левым R -модулем.
Алгебры Вейля над полями нулевой характеристики примитивны, и поскольку они являются областями , они являются примерами без минимальных односторонних идеалов.
Частным случаем примитивных колец является полное линейное кольцо . Полное левое линейное кольцо — это кольцо всех линейных преобразований бесконечномерного левого векторного пространства над телом. ( Полное правое линейное кольцо отличается тем, что вместо него используется правое векторное пространство.) В символах, где V — векторное пространство над телом D. Известно, что R является полным левым линейным кольцом тогда и только тогда, когда R является регулярным по фон Нейману , самоинъективным слева с цоколем soc( R R ) ≠ {0}. [1] С помощью аргументов линейной алгебры можно показать, что изоморфно кольцу конечных по строкам матриц , где I — множество индексов, размер которого равен размерности V над D. Аналогично полные правые линейные кольца могут быть реализованы как конечные по столбцам матрицы над D.
Используя это, мы можем видеть, что существуют непростые левые примитивные кольца. Согласно характеристике плотности Джекобсона, левое полное линейное кольцо R всегда является левопримитивным. Когда dim D V конечна, R является квадратным матричным кольцом над D , но когда dim D V бесконечна, множество линейных преобразований конечного ранга является собственным двусторонним идеалом R , и, следовательно, R не является простой.
