В римановой геометрии коллапсирующее или сжатое многообразие — это n -мерное многообразие M , допускающее последовательность римановых метрик g i , такую, что при стремлении i к бесконечности многообразие близко к k -мерному пространству, где k < n , в смысле расстояния Громова–Хаусдорфа . Обычно существуют некоторые ограничения на секционные кривизны ( M , g i ). Простейшим примером является плоское многообразие , метрику которого можно масштабировать на 1/ i , так что многообразие близко к точке, но его кривизна остается равной 0 для всех i .
Вообще говоря, существует два типа обрушения:
(1) Первый тип — это коллапс при сохранении кривизны равномерно ограниченной, скажем .
Пусть будет последовательностью размерных римановых многообразий, где обозначает секционную кривизну i- го многообразия. Существует теорема, доказанная Джеффом Чигером , Кэндзи Фукая и Михаилом Громовым , которая утверждает, что: Существует константа такая, что если и , то допускает N-структуру, с обозначением радиуса инъективности многообразия M . Грубо говоря, N -структура является локально действием нильмногообразия , которое является обобщением F-структуры, введенной Чигером и Громовым. Эта теорема обобщила предыдущие теоремы Чигера-Громова и Фукая, в которых они имели дело только со случаями действия тора и ограниченного диаметра соответственно.
(2) Второй тип — это схлопывание с сохранением только нижней границы кривизны, скажем .
Это тесно связано с так называемым случаем почти неотрицательно искривленного многообразия, который обобщает как неотрицательно искривленные многообразия, так и почти плоские многообразия. Многообразие называется почти неотрицательно искривленным, если оно допускает последовательность метрик , таких что и . Роль, которую играет почти неотрицательно искривленное многообразие в этом коллапсирующем случае, когда кривизна ограничена снизу, та же самая, что и почти плоское многообразие в случае ограниченной кривизны.
Когда кривизна ограничена только снизу, предельное пространство называется пространством Александрова . Ямагучи доказал, что на регулярной части предельного пространства существует локально тривиальная форма расслоения на , когда достаточно велико, волокно является почти неотрицательно искривленным многообразием. [ требуется ссылка ] Здесь регулярность означает, что радиус -стрейнера равномерно ограничен снизу положительным числом, или, грубо говоря, пространство локально замкнуто к евклидову пространству.
Что происходит в особой точке ? На этот вопрос в общем случае нет ответа. Но в размерности 3 Сиоя и Ямагучи дают полную классификацию этого типа схлопнувшегося многообразия. Они доказали, что существует и такое, что если 3-мерное многообразие удовлетворяет , то верно одно из следующих: (i) M является графовым многообразием или (ii) имеет диаметр меньше и имеет конечную фундаментальную группу.
