Колоссально обильное число

В теории чисел колоссально обильное число ( иногда сокращенно CA ) — это натуральное число , которое в определенном, строгом смысле имеет много делителей . В частности, оно определяется отношением между суммой делителей целого числа и этим целым числом, возведенным в степень, большую единицы. Для любого такого показателя степени любое целое число с наибольшим отношением является колоссально обильным числом. Это более сильное ограничение, чем ограничение сверхобильного числа , но не строго сильнее, чем ограничение обильного числа .

Формально число $n$ называется колоссально обильным, если существует $ε > 0$ такое, что для всех $k > 1$ ,

{\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}

где $σ$ обозначает функцию суммы делителей . ^[1]

Первые 15 колоссально обильных чисел: 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A004490 в OEIS ) также являются первыми 15 высшими высокосоставными числами , но ни один из наборов не является подмножеством другого.

История

Колоссально обильные числа были впервые изучены Рамануджаном , и его выводы должны были быть включены в его статью 1915 года о весьма составных числах . ^[2] К сожалению, издатель журнала, в который Рамануджан представил свою работу, Лондонское математическое общество , в то время испытывал финансовые трудности, и Рамануджан согласился удалить аспекты работы, чтобы сократить расходы на печать. ^[3] Его выводы были в основном обусловлены гипотезой Римана , и с этим предположением он нашел верхние и нижние границы для размера колоссально обильных чисел и доказал , что то, что стало известно как неравенство Робина (см. ниже), справедливо для всех достаточно больших значений n . ^[4]

Класс чисел был пересмотрен в несколько более сильной форме в статье 1944 года Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдёша , в которой они попытались расширить результаты Рамануджана. ^[5]

Характеристики

Колоссально обильные числа являются одним из нескольких классов целых чисел , которые пытаются уловить идею наличия множества делителей. Для положительного целого числа n функция суммы делителей σ( n ) дает сумму всех тех чисел, которые делят n , включая 1 и само n . Пол Бахман показал, что в среднем σ( n ) составляет около π ²n / 6. ^{[6] Теорема} Грёнвалла , тем временем, гласит, что максимальный порядок σ( n ) всегда немного больше, в частности, существует возрастающая последовательность целых чисел n такая, что для этих целых чисел σ( n ) имеет примерно тот же размер, что и e ^γn log(log( n )), где γ — константа Эйлера–Маскерони . ^[6] Следовательно, колоссально обильные числа улавливают идею наличия множества делителей, требуя от них максимизировать для некоторого ε > 0 значение функции

{\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon}}}

по всем значениям n . Результаты Бахмана и Грёнвалла гарантируют, что для каждого ε > 0 эта функция имеет максимум и что по мере того, как ε стремится к нулю, эти максимумы будут увеличиваться. Таким образом, существует бесконечно много колоссально обильных чисел, хотя они довольно редки, и только 22 из них меньше 10 ¹⁸ . ^[7]

Так же, как и в случае с превосходящими высокосоставными числами, эффективная конструкция множества всех колоссально обильных чисел задается следующим монотонным отображением из положительных действительных чисел . Пусть

e_{p}(\varepsilon )=\left\lfloor {\frac {\ln \left(1+\displaystyle {\frac {p-1}{p^{1+\varepsilon }-p}}\right)}{\ln p}}\right\rfloor \quad

для любого простого числа p и положительного вещественного . Тогда $\varepsilon$

\quad s(\varepsilon)=\prod _{p\in \mathbb {P}}p^{e_{p}(\varepsilon)}\

это колоссально обильное число.

Для каждого ε указанная выше функция имеет максимум, но не очевидно, и фактически неверно, что для каждого ε это максимальное значение уникально. Алаоглу и Эрдёш изучали, сколько различных значений n могут дать одно и то же максимальное значение указанной выше функции для заданного значения ε. Они показали, что для большинства значений ε будет существовать одно целое число n, максимизирующее функцию. Однако позже Эрдёш и Жан-Луи Николя показали, что для определенного набора дискретных значений ε может быть два или четыре различных значения n, дающих одно и то же максимальное значение. ^[8]

В своей статье 1944 года Алаоглу и Эрдёш предположили , что отношение двух последовательных колоссально обильных чисел всегда является простым числом. Они показали, что это следует из особого случая гипотезы о четырех экспоненциалах в теории трансцендентных чисел , в частности, что для любых двух различных простых чисел p и q единственными действительными числами t, для которых и p ^{t ,} и q ^t являются рациональными, являются положительные целые числа. Используя соответствующий результат для трех простых чисел, который, как заверил их Сигел , был верен ^[9] — особый случай теоремы о шести экспоненциалах, доказанной в 1960-х годах ^[10] Сержем Лэнгом и К. Рамачандрой , — им удалось показать, что частное двух последовательных колоссально обильных чисел всегда является либо простым, либо полупростым числом (то есть числом всего с двумя простыми множителями ). Частное никогда не может быть квадратом простого числа.

Гипотеза Алаоглу и Эрдёша остаётся открытой, хотя она была проверена по крайней мере до 10 ⁷ . ^[11] Если бы это было верно, это означало бы, что существовала бы последовательность неразличимых простых чисел p ₁ , p ₂ , p ₃ ,... такая, что n -е колоссально обильное число имело бы вид

c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}

Если предположить, что гипотеза верна, то эта последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (последовательность A073751 в OEIS ). Гипотеза Алаоглу и Эрдёша также будет означать, что ни одно значение ε не даёт четыре различных целых числа n в качестве максимумов указанной выше функции.

Отношение к обильным числам

Как и сверхизбыточные числа , колоссально изобильные числа являются обобщением избыточных чисел . Также как и сверхизбыточные числа, это не строгое обобщение; число может быть колоссально изобильным, не будучи избыточным. Это верно в случае 6; делители 6 — 1, 2, 3 и 6, но избыточное число определяется как такое, у которого сумма делителей, исключая себя , больше самого числа; 1+2+3=6, поэтому это условие не выполняется (и 6 вместо этого является совершенным числом ). Однако все колоссально изобильные числа также являются сверхизбыточными числами. ^[12]

Связь с гипотезой Римана

В 1980-х годах Гай Робин показал ^[13] , что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что для всех n > 5040 справедливо следующее неравенство : (где γ — константа Эйлера–Маскерони )

\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1.781072418n\log \log n\,

Известно, что это неравенство не выполняется для 27 чисел (последовательность A067698 в OEIS ):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040

Робин показал, что если гипотеза Римана верна, то n = 5040 — последнее целое число, для которого она неверна. Это неравенство теперь известно как неравенство Робина в честь его работы. Известно, что неравенство Робина, если оно когда-либо не выполняется, будет неверным для колоссально обильного числа n ; таким образом, гипотеза Римана фактически эквивалентна неравенству Робина, верному для любого колоссально обильного числа n > 5040.

В 2001–2002 годах Лагариас ^[7] продемонстрировал альтернативную форму утверждения Робина, которая не требует исключений, используя гармонические числа вместо логарифма:

\сигма (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})

Или, за исключением 8 исключений n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

\сигма (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})

Ссылки

^ К. Бриггс, «Изобильные числа и гипотеза Римана», Experimental Mathematics 15:2 (2006), стр. 251–256, doi :10.1080/10586458.2006.10128957.
^ С. Рамануджан, «Высокосоставные числа», Труды Лондонского математического общества 14 (1915), стр. 347–407, MR 2280858.
↑ С. Рамануджан, Сборник статей , Челси, 1962.
^ С. Рамануджан, «Высокосоставные числа. Аннотации и предисловие Дж.-Л. Николаса и Г. Робина», Ramanujan Journal 1 (1997), стр. 119–153.
^ Алаоглу, Л.; Эрдёш , П. (1944), «О высоко составных и подобных числах» (PDF) , Труды Американского математического общества , 56 (3): 448–469, doi :10.2307/1990319, JSTOR 1990319, MR 0011087.
^ ab G. Hardy, EM Wright, Введение в теорию чисел. Пятое издание , Oxford Univ. Press, Оксфорд, 1979.
^ ab JC Lagarias, Элементарная задача, эквивалентная гипотезе Римана, American Mathematical Monthly 109 (2002), стр. 534–543.
^ П. Эрдеш, Ж.-Л. Николя, «Перераспределение сверхобильных номеров», Bull. Математика. Соц. Франция 103 (1975), стр. 65–90.
^ Алаоглу и Эрдёш, (1944), стр.455: «Профессор Сигел сообщил нам результат, что q ^x , r ^x и s ^x не могут быть одновременно рациональными числами, за исключением случая, когда x является целым числом».
^ Вальдшмидт, Мишель (2022). «Теорема о шести экспоненциалах — иррациональность». Resonance . 27 (4): 599–607. doi :10.1007/s12045-022-1351-0. ISSN 0973-712X. S2CID 248307621.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A073751 (Простые числа, которые при умножении в определенном порядке дают последовательность колоссально обильных чисел)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A004490 (Колоссально обильные числа)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.«Подпоследовательность A004394 (сверхизбыточные числа)».
^ Г. Робин, «Великие значения некоторых функций делителей и гипотез Римана», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63 (1984), стр. 187–213.

Внешние ссылки

Кит Бриггс о колоссально обильных числах и гипотезе Римана
запись MathWorld
Заметки о гипотезе Римана и избыточных числах
Подробнее о формулировке Робином RH