кольцо Бэра

В абстрактной алгебре и функциональном анализе кольца Бэра , *-кольца Бэра , кольца Риккарта , *-кольца Риккарта и AW*-алгебры представляют собой различные попытки дать алгебраический аналог алгебр фон Неймана , используя аксиомы об аннуляторах различных множеств.

Любая алгебра фон Неймана является *-кольцом Бэра , и большая часть теории проекций в алгебрах фон Неймана может быть распространена на все *-кольца Бэра. Например, *-кольца Бэра можно разделить на типы I, II и III таким же образом, как и алгебры фон Неймана.

В литературе левые кольца Риккарта также называются левыми PP-кольцами . («Принципиальное подразумевает проективное»: см. определения ниже.)

Определения

• Идемпотентным элементом кольца называется элемент e , обладающий тем свойством, что e ² = e .
• Левый аннулятор множества — это ${\displaystyle X\subseteq R}$ ${\displaystyle \{r\in R\mid rX=\{0\}\}}$
• (Левое) кольцо Рикарта — это кольцо, удовлетворяющее любому из следующих условий:

1. левый аннулятор любого отдельного элемента R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
2. (Для унитальных колец) левый аннулятор любого элемента является прямым слагаемым R.
3. Все главные левые идеалы (идеалы вида Rx ) являются проективными R- модулями. ^[1]

• Кольцо Бэра имеет следующие определения:

1. Левый аннулятор любого подмножества R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
2. (Для унитальных колец) Левый аннулятор любого подмножества R является прямым слагаемым R. ^[2] Для унитальных колец замена всех вхождений «левого» на «правый» дает эквивалентное определение , то есть определение является лево-право симметричным. ^[3]

В теории операторов определения немного усиливаются требованием, чтобы кольцо R имело инволюцию . Поскольку это делает R изоморфным своему противоположному кольцу R ^op , определение *-кольца Риккарта является лево-правосимметричным. ${\displaystyle *:R\rightarrow R}$

• Проекция в *-кольце — это идемпотент p , который является самосопряженным ( p * = p ).
• *-кольцо Рикарта — это *-кольцо, в котором левый аннулятор любого элемента порождается (как левый идеал) проекцией.
• *-кольцо Бэра — это *-кольцо, такое что левый аннулятор любого подмножества порождается (как левый идеал) проекцией.
• AW *-алгебра , введенная Капланским (1951), представляет собой C*-алгебру , которая также является *-кольцом Бэра.

Примеры

• Поскольку главные левые идеалы левого наследственного кольца или левого полунаследственного кольца проективны, ясно, что оба типа являются левыми кольцами Риккарта. Это включает в себя регулярные кольца фон Неймана , которые являются левыми и правыми полунаследственными. Если регулярное кольцо фон Неймана R также является право- или лево- самоинъективным , то R является кольцом Бэра.
• Любое полупростое кольцо является бэровским, поскольку все левые и правые идеалы являются слагаемыми в R , включая аннуляторы.
• Любая область является областью Бэра, поскольку все аннигиляторы являются таковыми , за исключением аннигилятора 0, который есть R , и оба являются слагаемыми R. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
• Кольцо ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве является кольцом Бэра и также является *-кольцом Бэра с инволюцией *, задаваемой сопряженным оператором.
• Алгебры фон Неймана являются примерами всех различных видов колец, перечисленных выше.

Характеристики

Проекции в *-кольце Рикарта образуют решетку , которая является полной , если кольцо является *-кольцом Бэра.

Смотрите также

• *-полугруппа Бэра

Примечания

1. Кольца Рикарта названы в честь Рикарта (1946), который изучал похожее свойство в операторных алгебрах. Это условие «из принципа следует проективность» является причиной того, что кольца Рикарта иногда называют PP-кольцами. (Lam 1999)
2. Это состояние изучал Рейнхольд Бэр  (1952).
3. TY Lam (1999), «Лекции о модулях и кольцах» ISBN  0-387-98428-3 стр.260

Ссылки

• Бэр, Рейнхольд (1952), Линейная алгебра и проективная геометрия, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6, МР  0052795
• Бербериан, Стерлинг К. (1972), *-кольца Бэра, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 195, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-05751-2, МР  0429975
• Капланский, Ирвинг (1951), «Проекции в банаховых алгебрах», Annals of Mathematics , вторая серия, 53 (2): 235–249, doi :10.2307/1969540, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969540, MR  0042067
• Капланский, И. (1968), Кольца операторов, Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Рикарт, CE (1946), «Банаховы алгебры с присоединенной операцией», Annals of Mathematics , вторая серия, 47 (3): 528–550, doi :10.2307/1969091, JSTOR  1969091, MR  0017474
• Л.А. Скорняков (2001) [1994], "Регулярное кольцо (в смысле фон Неймана)", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Л.А. Скорняков (2001) [1994], "Кольцо Рикарта", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• JDM Wright (2001) [1994], "AW* алгебра", Энциклопедия математики , EMS Press