Наследственное кольцо

Кольцо, идеалы которого проективны

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , кольцо R называется наследственным , если все подмодули проективных модулей над R снова проективны. Если это требуется только для конечно порождённых подмодулей, оно называется полунаследственным .

Для некоммутативного кольца R термины левое наследственное и левое полунаследственное и их правосторонние версии используются для различения свойства на одной стороне кольца. Чтобы быть левым (полу)наследственным, все (конечно порожденные) подмодули проективных левых R -модулей должны быть проективными, и аналогично, чтобы быть правым (полу)наследственным, все (конечно порожденные) подмодули проективных правых R -модулей должны быть проективными. Возможно, что кольцо будет левым (полу)наследственным, но не правым (полу)наследственным, и наоборот.

Эквивалентные определения

• Кольцо R является левым (полу)наследственным тогда и только тогда, когда все ( конечно порождённые ) левые идеалы кольца R являются проективными модулями. ^{[1] [2]}
• Кольцо R является левым наследственным тогда и только тогда, когда все левые модули имеют проективные резолюции длины не более 1. Это эквивалентно утверждению, что левая глобальная размерность не превышает 1. Следовательно, обычные производные функторы, такие как и , тривиальны для . ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}}$ ${\displaystyle i>1}$

Примеры

• Полупростые кольца наследственны слева и справа через эквивалентные определения: все левые и правые идеалы являются слагаемыми R , и, следовательно, проективны. Подобным же образом, в регулярном кольце фон Неймана каждый конечно порождённый левый и правый идеал является прямым слагаемым R , и, таким образом, регулярные кольца фон Неймана являются полунаследственными слева и справа.
• Для любого ненулевого элемента x в области R , через отображение . Следовательно, в любой области главный правый идеал свободен , следовательно, проективен. Это отражает тот факт, что области являются правыми кольцами Риккарта . Отсюда следует, что если R является правой областью Безу , так что конечно порожденные правые идеалы являются главными, то R имеет все конечно порожденные правые идеалы проективными, и, следовательно, R является правым полунаследственным. Наконец, если R предполагается областью главного правого идеала , то все правые идеалы проективны, и R является правым наследственным. ${\displaystyle R\cong xR}$ ${\displaystyle r\mapsto xr}$
• Коммутативная наследственная целостная область называется областью Дедекинда . Коммутативная полунаследственная целостная область называется областью Прюфера .
• Важным примером (левого) наследственного кольца является алгебра путей колчана . Это является следствием существования стандартной резолюции (которая имеет длину 1) для модулей над алгеброй путей.
• Треугольное матричное кольцо является правонаследственным и левополунаследственным, но не левонаследственным. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$
• Если S — регулярное кольцо фон Неймана с идеалом I , который не является прямым слагаемым, то кольцо треугольных матриц является левым полунаследственным, но не правым полунаследственным. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$

Характеристики

• Для левого наследственного кольца R каждый подмодуль свободного левого R -модуля изоморфен прямой сумме левых идеалов кольца R и, следовательно, является проективным. ^[2]

Ссылки

1. Лэм 1999, стр. 42
2. Reiner 2003, стр. 27–29

• Кроули-Боуви, Уильям , Заметки о представлении колчана (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 2 мая 2003 г.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR  1653294, Zbl  0911.16001
• Осборн, М. Скотт (2000), Основы гомологической алгебры , Graduate Texts in Mathematics, т. 196, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, ЗБЛ  0948.18001
• Райнер, И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, т. 28, Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, ЗБЛ  1024.16008
• Вайбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, ЗБЛ  0797.18001