Подгруппа коммутатора

Наименьшая нормальная подгруппа, по которой фактор коммутативен

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , коммутаторная подгруппа или производная подгруппа группы — это подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы . ^{[1] [2]}

Коммутант важен, поскольку это наименьшая нормальная подгруппа , такая что факторгруппа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами, является абелевой тогда и только тогда, когда содержит коммутант . Так что в некотором смысле она дает меру того, насколько далека группа от абелевости; чем больше коммутант, тем «менее абелева» группа. ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Коммутаторы

Для элементов и группы G коммутатор и равен . Коммутатор равен единичному элементу e тогда и только тогда, когда , то есть тогда и только тогда, когда и коммутируют . В общем случае . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [g,h]}$ ${\displaystyle gh=hg}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

Однако эта нотация несколько произвольна, и существует неэквивалентный вариант определения коммутатора, который имеет обратные величины в правой части уравнения: в этом случае вместо . ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$ ${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

Элемент G вида для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда G абелева. ${\displaystyle [g,h]}$

Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$где (или, соответственно, ) — сопряженное число ${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$ ${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s,}$
• для любого гомоморфизма , ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

Первое и второе тождества подразумевают, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно инверсии и сопряжения. Если в третьем тождестве мы возьмем H = G , то получим, что множество коммутаторов устойчиво относительно любого эндоморфизма G . Это фактически обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять f в качестве автоморфизма сопряжения на G , , чтобы получить второе тождество. ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Типичным примером является [ a , b ][ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; на самом деле существуют две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством. ^[3]

Определение

Это мотивирует определение подгруппы коммутатора (также называемой производной подгруппой и обозначаемой или ) группы G : это подгруппа, порожденная всеми коммутаторами. ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G^{(1)}}$

Из этого определения следует, что любой элемент имеет вид ${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

для некоторого натурального числа , где g _i и h _i являются элементами G . Более того, поскольку , коммутантная подгруппа нормальна в G . Для любого гомоморфизма f : G → H , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

так что . ${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$

Это показывает, что подгруппу коммутатора можно рассматривать как функтор в категории групп , некоторые следствия чего исследуются ниже. Более того, принимая G = H , это показывает, что подгруппа коммутатора стабильна при каждом эндоморфизме G : то есть, [ G , G ] является полностью характеристической подгруппой G , свойство значительно более сильное, чем нормальность.

Коммутантную подгруппу можно также определить как множество элементов g группы, имеющих выражение в виде произведения g = g ₁ g ₂ ... g _k , которое можно переставить так, чтобы получить тождество.

Производные серии

Эту конструкцию можно повторить:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

Группы называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. д., а также нисходящим нормальным рядом ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , члены которого . ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

Для конечной группы производный ряд заканчивается в совершенной группе , которая может быть или не быть тривиальной. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно должен заканчиваться на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии , тем самым получая трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге заканчивается в совершенном ядре группы.

Абелианизация

Для данной группы факторгруппа является абелевой тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle [G,G]\subseteq N}$

Фактор — это абелева группа, называемая абелианизацией или сделанной абелевой . [ ^4] Обычно она обозначается как или . ${\displaystyle G/[G,G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

Существует полезная категорная интерпретация отображения . А именно, является универсальным для гомоморфизмов из в абелеву группу : для любой абелевой группы и гомоморфизма групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает единственность абелианизации с точностью до канонического изоморфизма, тогда как явное построение показывает существование. ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$ ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

Функтор абелианизации является левым сопряженным функтора включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp → Ab делает категорию Ab рефлективной подкатегорией категории групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левый сопряженный.

Другая важная интерпретация — это как первая группа гомологий с целыми коэффициентами. ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$

Классы групп

Группа является абелевой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, тогда и только тогда, когда группа равна своей абелианизации. Определение абелианизации группы см. выше. ${\displaystyle G}$

Группа является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [ G , G ] = G . Эквивалентно, тогда и только тогда, когда абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелевости. ${\displaystyle G}$

Группа с для некоторого n из N называется разрешимой группой ; она слабее абелевой, что имеет место при n = 1. ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

Группа с для всех n из N называется неразрешимой группой . ${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

Группа с для некоторого порядкового числа , возможно бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимая группа, что имеет место, когда α конечно (натуральное число). ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

Идеальная группа

Всякий раз, когда группа имеет производную подгруппу, равную самой себе , она называется совершенной группой . Это включает в себя неабелевы простые группы и специальные линейные группы для фиксированного поля . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{(1)}=G}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k}$

Примеры

• Коммутант любой абелевой группы тривиален .
• Коммутант полной линейной группы над полем или телом k равен специальной линейной группе при условии, что или k не является полем с двумя элементами . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n\neq 2}$
• Коммутантная подгруппа знакопеременной группы A ₄ является четверной группой Клейна .
• Коммутантом симметрической группы S _n является знакопеременная группа A _n .
• Коммутант группы кватернионов Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } равен [ Q , Q ] = {1, −1}.

Карта из Out

Поскольку производная подгруппа является характеристической , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

Смотрите также

• Разрешимая группа
• Нильпотентная группа
• Абелианизация H / H ' подгруппы H  <  G конечного индекса ( G : H ) является целью переноса Артина  T ( G , H ).

Примечания

1. Даммит и Фут (2004)
2. Лэнг (2002)
3. Суарес-Альварес
4. Фрейли (1976, стр. 108)
5. Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы , Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Выпускные тексты по математике , Springer , ISBN 0-387-95385-X
• Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы».

Внешние ссылки

• «Коммутаторная подгруппа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]