Коммутативная магма

В математике существуют магмы , которые являются коммутативными , но не ассоциативными . Простой пример такой магмы можно получить из детской игры «камень, ножницы, бумага» . Такие магмы порождают неассоциативные алгебры .

Магма, которая является одновременно коммутативной и ассоциативной, является коммутативной полугруппой .

Пример: камень, ножницы, бумага

В игре «камень, ножницы , бумага» пусть обозначают жесты «камень», «бумага» и «ножницы» соответственно, и рассмотрим бинарную операцию, выведенную из правил игры следующим образом: ^[1] ${\displaystyle M:=\{r,p,s\}}$ ${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$

Для всех : ${\displaystyle x,y\in M}$

• Если и бьет в игре, то ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x}$     Т.е. каждый является идемпотентом . ${\displaystyle x}$

Так, например:

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$   «бумага бьет камень»;
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$   "ножницы связать ножницами".

В результате получается таблица Кэли : ^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$

По определению магма коммутативна, но она также неассоциативна, ^[2], как показано: ${\displaystyle (M,\cdot )}$

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$

но

${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$

то есть

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$

Это простейшая неассоциативная магма, которая является консервативной , в том смысле, что результатом любой операции с магмой является одно из двух значений, заданных в качестве аргументов операции. ^[2]

Приложения

Среднее арифметическое и обобщенные средние числа или многомерные величины, такие как средние Фреше , часто являются коммутативными, но неассоциативными. ^[3]

Коммутативные, но неассоциативные магмы могут быть использованы для анализа генетической рекомбинации . ^[4]

Ссылки

1. Aten, Charlotte (2020), "Многопользовательская игра в камень-ножницы-бумагу", Algebra Universalis , 81 (3): Статья № 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi : 10.1007/s00012-020-00667-5, MR  4123817
2. Бодри, Мартин; Дюбе, Дэнни; Дюбе, Максим; Латендресс, Марио; Тессон, Паскаль (2014), «Консервативные группоиды распознают только обычные языки», Information and Computation , 239 : 13–28, doi : 10.1016/j.ic.2014.08.005, MR  3281897
3. Жинесте, Седрик Э.; Симмонс, Эндрю; Колачик, Эрик Д. (2012), «Взвешенные средние Фреше как выпуклые комбинации в метрических пространствах: свойства и обобщенные медианные неравенства», Statistics & Probability Letters , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi : 10.1016/j.spl.2012.06.001, MR  2956628
4. Этерингтон, IMH (1941), «Неассоциативная алгебра и символизм генетики», Труды Королевского общества Эдинбурга, Раздел B: Биология , 61 (1): 24–42, doi :10.1017/s0080455x00011334