Комплексное измерение

В математике комплексная размерность обычно относится к размерности комплексного многообразия или комплексного алгебраического многообразия . ^[1] Это пространства, в которых локальные окрестности точек (или неособых точек в случае многообразия) моделируются на основе декартова произведения вида для некоторого , а комплексная размерность является показателем степени в этом произведении. Поскольку , в свою очередь , пространство со сложными размерами может быть смоделировано , оно будет иметь реальное измерение . ^[2] То есть гладкое многообразие комплексной размерности имеет действительную размерность ; и комплексное алгебраическое многообразие комплексной размерности , вдали от какой-либо особой точки , также будет гладким многообразием вещественной размерности . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$

Однако для реального алгебраического многообразия (то есть многообразия, определяемого уравнениями с действительными коэффициентами) его размерность обычно относится к его комплексной размерности, а его действительная размерность относится к максимуму размерностей многообразий, содержащихся в множестве его действительных чисел. точки. Действительная размерность не больше размерности и равна ей, если многообразие неприводимо и имеет неособые действительные точки . Например, уравнение определяет разновидность (комплексной) размерности 2 (поверхности), но вещественной размерности 0 — она имеет только одну действительную точку (0, 0, 0), которая является особой. ^[3] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Те же соображения применимы и к коразмерности . Например, гладкая комплексная гиперповерхность в комплексном проективном пространстве размерности n будет многообразием размерности 2( n - 1). Комплексная гиперплоскость не разделяет комплексное проективное пространство на две компоненты, поскольку она имеет действительную коразмерность 2.

Рекомендации

1. Каваньяро, Кэтрин ; Хейт, Уильям Т. II (2001), Словарь классической и теоретической математики, CRC Press, стр. 22, ISBN 978-1-58488-050-9.
2. Марсден, Джеррольд Э .; Ратиу, Тудор С. (1999), Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем, Тексты по прикладной математике, том. 17, Спрингер, с. 152, ISBN 978-0-387-98643-2.
3. Бейтс, Дэниел Дж.; Хауэнштайн, Джонатан Д.; Соммесе, Эндрю Дж.; Вамплер, Чарльз В. (2013), Численное решение полиномиальных систем с помощью Бертини, Программное обеспечение, среда и инструменты, том. 25, СИАМ, с. 225, ISBN 978-1-61197-270-2.