Гиперповерхность

В геометрии гиперповерхность является обобщением понятий гиперплоскости , плоской кривой и поверхности . Гиперповерхность — это многообразие или алгебраическое многообразие размерности $n$ $- 1$ , которое вложено в окружающее пространство размерности $n$ , обычно евклидово пространство , аффинное пространство или проективное пространство . ^[1] Гиперповерхности разделяют, с поверхностями в трехмерном пространстве , свойство определяться одним неявным уравнением , по крайней мере локально (вблизи каждой точки), а иногда и глобально.

Гиперповерхность в (евклидовом, аффинном или проективном) пространстве размерности два является плоской кривой. В пространстве размерности три это поверхность.

Например, уравнение

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

определяет алгебраическую гиперповерхность размерности $n - 1$ в евклидовом пространстве размерности $n$ . Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или $(n - 1)$ -сферой .

Гладкая гиперповерхность

Гиперповерхность, являющаяся гладким многообразием, называется гладкой гиперповерхностью .

В $R n$ гладкая гиперповерхность является ориентируемой . ^[2] Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является множеством уровня и разделяет R ⁿ на две связные компоненты; это связано с теоремой Жордана–Брауэра о разделении . ^[3]

Аффинная алгебраическая гиперповерхность

Алгебраическая гиперповерхность — это алгебраическое многообразие , которое может быть определено одним неявным уравнением вида

p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,

где $p$ — многомерный многочлен . Обычно предполагается, что многочлен неприводим . Если это не так, гиперповерхность не является алгебраическим многообразием, а только алгебраическим множеством . От авторов или контекста может зависеть, определяет ли приводимый многочлен гиперповерхность. Во избежание двусмысленности часто используется термин неприводимая гиперповерхность .

Что касается алгебраических многообразий, то коэффициенты определяющего многочлена могут принадлежать любому фиксированному полю $k$ , а точки гиперповерхности являются $нулями$ p в аффинном пространстве , где $K$ $—$ алгебраически замкнутое расширение k . $К^{н},$

Гиперповерхность может иметь особенности , которые являются общими нулями, если таковые имеются, определяющего многочлена и его частных производных. В частности, действительная алгебраическая гиперповерхность не обязательно является многообразием.

Характеристики

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которые не свойственны другим алгебраическим многообразиям.

Одним из основных таких свойств является теорема Гильберта о нулях (Nullstellensatz) , которая утверждает, что гиперповерхность содержит заданное алгебраическое множество тогда и только тогда, когда определяющий многочлен гиперповерхности имеет степень, принадлежащую идеалу, порожденному определяющими многочленами алгебраического множества.

Следствием этой теоремы является то, что если два неприводимых многочлена (или, в более общем случае, два бесквадратных многочлена ) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один из них является произведением другого на ненулевую константу.

Гиперповерхности — это в точности подмногообразия размерности $n - 1$ аффинного пространства размерности $n$ . Это геометрическая интерпретация того факта, что в кольце полиномов над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом . В случае возможно приводимых гиперповерхностей этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности — это в точности алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность $n - 1$ .

Реальные и рациональные моменты

Действительная гиперповерхность — это гиперповерхность, которая определяется полиномом с действительными коэффициентами. В этом случае алгебраически замкнутое поле, над которым определяются точки, обычно является полем комплексных чисел . Действительные точки действительной гиперповерхности — это точки, которые принадлежат Множество действительных точек действительной гиперповерхности — это действительная часть гиперповерхности. Часто в зависимости от контекста определяется, относится ли термин гиперповерхность ко всем точкам или только к действительной части. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Если коэффициенты определяющего многочлена принадлежат полю $k,$ которое не является алгебраически замкнутым (обычно полю рациональных чисел , конечному полю или числовому полю ), говорят, что гиперповерхность определена над $k$ , а точки, принадлежащие, являются рациональными над $k$ (в случае поля рациональных чисел «над $k$ » обычно опускается). $к^{н}$

Например, воображаемая $n$ -сфера определяется уравнением

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

является реальной гиперповерхностью без какой-либо реальной точки, которая определена над рациональными числами. Она не имеет рациональной точки, но имеет много точек, которые рациональны над гауссовыми рациональными числами .

Проективная алгебраическая гиперповерхность

Проективная (алгебраическая) гиперповерхность размерности $n - 1$ в проективном пространстве размерности $n$ над полем $k$ определяется однородным многочленом от $n$ $+ 1$ неизвестных. Как обычно, однородный многочлен означает, что все одночлены P имеют одинаковую степень, или, что то же самое, что для каждой константы $c$ , где $d$ — степень многочлена. Точки гиперповерхности — это точки проективного пространства, $проективные$ координаты которых являются нулями $P$ . $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$

Если выбрать гиперплоскость уравнения как гиперплоскость на бесконечности , то дополнение этой гиперплоскости будет аффинным пространством , а точки проективной гиперповерхности, принадлежащие этому аффинному пространству, образуют аффинную гиперповерхность уравнения. Наоборот, если задана аффинная гиперповерхность уравнения , то она определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным пополнением , уравнение которой получается путем гомогенизации $p$ . То есть, уравнение проективного пополнения имеет вид $x_{0}=0$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

где $d$ — степень $P.$

Эти два процесса проективное пополнение и ограничение на аффинное подпространство являются обратными друг другу. Поэтому аффинная гиперповерхность и ее проективное пополнение имеют по сути одни и те же свойства и часто рассматриваются как две точки зрения на одну и ту же гиперповерхность.

Однако может случиться, что аффинная гиперповерхность неособенная , а ее проективное пополнение имеет особые точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность особая на бесконечности . Например, круговой цилиндр уравнения

x^{2}+y^{2}-1=0

в аффинном пространстве размерности три имеет единственную особую точку, которая находится на бесконечности, в направлении $x = 0, y = 0$ .

Смотрите также

Ссылки

^ Ли, Джеффри (2009). «Кривые и гиперповерхности в евклидовом пространстве». Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс: Американское математическое общество. стр. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
^ Ганс Самельсон (1969) «Ориентируемость гиперповерхностей в Rn», Труды Американского математического общества 22(1): 301,2
^ Лима, Элон Л. (1988). «Теорема разделения Джордана-Брауэра для гладких гиперповерхностей». The American Mathematical Monthly . 95 (1): 39–42. doi :10.1080/00029890.1988.11971963.

«Гиперповерхность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Сёсичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1969), Основы дифференциальной геометрии, том II, Wiley Interscience
П. А. Симионеску и Д. Бил (2004) Визуализация гиперповерхностей и многомерных (целевых) функций с помощью частичной глобализации, The Visual Computer 20(10):665–81.