Теорема о комплексно-сопряженных корнях

Если a + bi является корнем действительного многочлена, то и a − bi является корнем действительного многочлена.

В математике теорема о комплексно сопряженных корнях гласит, что если P — многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами , а a  +  bi — корень P с действительными числами a и b , то его комплексно сопряженный корень a  −  bi также является корнем P. ^[1 ]

Из этого (и основной теоремы алгебры ) следует , что если степень действительного многочлена нечетна , то он должен иметь по крайней мере один действительный корень. ^[2] Этот факт также можно доказать с помощью теоремы о промежуточном значении .

Примеры и последствия

• Многочлен x ²  + 1 = 0 имеет корни ±  i .
• Любая действительная квадратная матрица нечетной степени имеет по крайней мере одно действительное собственное значение . Например, если матрица ортогональна , то 1 или −1 является собственным значением.
• Многочлен

${\displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

имеет корни

${\displaystyle 3,\,2+5i,\,2-5i,}$

и, таким образом, может быть разложена на множители

${\displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

При вычислении произведения последних двух множителей мнимые части сокращаются, и мы получаем

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

Недействительные множители идут парами, которые при умножении дают квадратные многочлены с действительными коэффициентами. Поскольку каждый многочлен с комплексными коэффициентами можно разложить на множители 1-й степени (это один из способов сформулировать фундаментальную теорему алгебры ), отсюда следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители степени не выше 2: только множители 1-й степени и квадратные множители.

• Если корни равны a + bi и a − bi , они образуют квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$.

Если третий корень равен c , это становится

${\displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)}$

${\displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$.

Следствие о многочленах нечетной степени

Из настоящей теоремы и основной теоремы алгебры следует , что если степень действительного многочлена нечетна, то он должен иметь по крайней мере один действительный корень. ^[2]

Это можно доказать следующим образом.

• Поскольку недействительные комплексные корни образуют сопряженные пары, их число четное ;
• Но многочлен нечетной степени имеет нечетное число корней;
• Следовательно, некоторые из них должны быть реальными.

Это требует некоторой осторожности при наличии кратных корней ; но комплексный корень и его сопряженный корень имеют одинаковую кратность (и эту лемму несложно доказать). Это также можно обойти, рассматривая только неприводимые многочлены ; любой действительный многочлен нечетной степени должен иметь неприводимый множитель нечетной степени, который (не имея кратных корней) должен иметь действительный корень по рассуждениям выше.

Это следствие можно доказать и напрямую, используя теорему о промежуточном значении .

Доказательство

Одно из доказательств теоремы следующее: ^[2]

Рассмотрим многочлен

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

где все a _r действительны. Предположим, что некоторое комплексное число ζ является корнем P , то есть . Нужно показать, что ${\displaystyle P(\zeta )=0}$

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0}$

также.

Если P ( ζ   ) = 0, то

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0}$

что можно выразить как

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.}$

Сейчас

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}}$

и учитывая свойства комплексного сопряжения ,

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.}$

С

${\displaystyle {\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},}$

следует, что

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.}$

То есть,

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{n}=0.}$

Обратите внимание, что это работает только потому, что a _r являются действительными, то есть . Если бы какой-либо из коэффициентов был недействительным, корни не обязательно были бы сопряженными парами. ${\displaystyle {\overline {a_{r}}}=a_{r}}$

Примечания

1. Энтони Г. О'Фарелл и Гэри Макгуайр (2002). "Комплексные числа, 8.4.2 Комплексные корни действительных многочленов". Maynooth Mathematical Olympiad Manual . Logic Press. стр. 104. ISBN 0954426908.Предварительный просмотр доступен в Google Books
2. Алан Джеффри (2005). "Аналитические функции". Комплексный анализ и приложения . CRC Press. стр. 22–23. ISBN 158488553X.