Презентационный комплекс

В геометрической теории групп комплекс представления — это 2 - мерный клеточный комплекс , связанный с любым представлением группы G. Комплекс имеет одну вершину и одну петлю в вершине для каждого генератора G. Для каждого отношения в представлении существует одна 2-ячейка, при этом граница 2-ячейки присоединена вдоль соответствующего слова .

Характеристики

• Фундаментальной группой комплекса представления является сама группа G.
• Универсальной оболочкой комплекса представления является комплекс Кэли для G , 1-скелет которого является графом Кэли для G.
• Любой комплекс представления для G является 2-скелетом пространства Эйленберга–Маклейна . ${\displaystyle K(G,1)}$

Примеры

Пусть будет двумерной целочисленной решеткой , с представлением ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle G=\langle x,y|xyx^{-1}y^{-1}\rangle .}$

Тогда комплекс представления для G представляет собой тор , полученный склеиванием противоположных сторон квадрата, 2-ячейки, которые обозначены x и y . Все четыре угла квадрата склеиваются в одну вершину, 0-ячейку комплекса представления, в то время как пара, состоящая из продольной и меридиональной окружностей на торе, пересекающихся в вершине, составляет его 1-скелет.

Ассоциированный комплекс Кэли — это правильная мозаика плоскости единичными квадратами. 1-скелет этого комплекса — граф Кэли для . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Пусть будет Бесконечной диэдральной группой с представлением . Комплекс представления для — это , клиновидная сумма проективных плоскостей . Для каждого пути есть одна 2-ячейка, приклеенная к каждой петле, что обеспечивает стандартную структуру ячеек для каждой проективной плоскости. Комплекс Кэли — это бесконечная цепочка сфер. ^[1] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2}\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2}}$

Ссылки

1. Хэтчер, Аллен (2001-12-03). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401.

• Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп , Комбинаторная теория групп . Перепечатка издания 1977 года ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 89). Классика по математике. Springer-Verlag , Берлин, 2001 ISBN 3-540-41158-5 
• Рональд Браун и Йоханнес Хюбшман, Тождества среди отношений , в Низкомерная топология, London Math. Soc. Lecture Note Series 48 (ред. Р. Браун и Т. Л. Тикстан, Cambridge University Press, 1982), стр. 153–202.
• Хог-Анджелони, Синтия, Мецлер, Вольфганг и Сирадски, Аллан Дж. (ред.). Двумерная гомотопия и комбинаторная теория групп , Серия лекций Лондонского математического общества, том 197. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (1993).