Комптоновская длина волны

Квантово-механические свойства частиц

Комптоновская длина волны — это квантово-механическое свойство частицы , определяемое как длина волны фотона , энергия которого равна энергии покоя этой частицы (см. эквивалентность массы и энергии ). Он был введен Артуром Комптоном в 1923 году при объяснении рассеяния фотонов электронами (процесс, известный как комптоновское рассеяние ).

Стандартная комптоновская длина волны λ частицы массы определяется выражением ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}},}$$

hпостоянная Планкаcскорость светаf

$${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}},}$$

ω

$${\displaystyle \omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$$

Значение CODATA 2018 для комптоновской длины волны электрона равно2,426 310 238 67 ( 73) × 10-12 ^м  . ^[1] Другие частицы имеют разные комптоновские длины волн.

Уменьшенная комптоновская длина волны

Приведенная комптоновская длина волны ƛ ( лямбда с перемычкой , обозначенная ниже ) определяется как комптоновская длина волны, деленная на 2 π : ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$

где ħ – приведенная постоянная Планка .

Роль в уравнениях массивных частиц

Обратная приведенная комптоновская длина волны является естественным представлением массы в квантовом масштабе и как таковая появляется во многих фундаментальных уравнениях квантовой механики. Приведенная комптоновская длина волны появляется в релятивистском уравнении Клейна – Гордона для свободной частицы:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

Оно появляется в уравнении Дирака (следующее является явно ковариантной формой, использующей соглашение Эйнштейна о суммировании ):

$${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

Уменьшенная комптоновская длина волны также присутствует в уравнении Шрёдингера , хотя это неочевидно в традиционных представлениях уравнения. Ниже приводится традиционное представление уравнения Шредингера для электрона в водородоподобном атоме :

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

Разделив на и переписав через константу тонкой структуры , получим: ${\displaystyle \hbar c}$

$${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

Различие между редуцированными и нередуцированными.

Уменьшенная длина волны Комптона является естественным представлением массы в квантовом масштабе и используется в уравнениях, относящихся к инерционной массе, таких как уравнения Клейна-Гордона и Шредингера. ^{[2] : 18–22}

Уравнения, относящиеся к длинам волн фотонов, взаимодействующих с массой, используют нередуцированную комптоновскую длину волны. Частица массы m имеет энергию покоя E = mc ² . Комптоновская длина волны для этой частицы равна длине волны фотона той же энергии. Для фотонов частоты f энергия определяется выражением

$${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

λ

Ограничение на измерение

Комптоновская длина волны выражает фундаментальное ограничение на измерение положения частицы с учетом квантовой механики и специальной теории относительности . ^[3]

Это ограничение зависит от массы m частицы. Чтобы понять, как это сделать, обратите внимание: мы можем измерить положение частицы, отражая от нее свет, но для точного измерения положения требуется свет с короткой длиной волны. Свет с короткой длиной волны состоит из фотонов высокой энергии. Если энергия этих фотонов превышает mc ² , то при столкновении с частицей, положение которой измеряется, столкновение может дать достаточно энергии для создания новой частицы того же типа. ^{[ нужна цитация ]} Это делает спорным вопрос о местоположении исходной частицы.

Этот аргумент также показывает, что уменьшенная комптоновская длина волны является границей, ниже которой квантовая теория поля , которая может описывать рождение и уничтожение частиц, становится важной. Приведенный выше аргумент можно уточнить следующим образом. Предположим, мы хотим измерить положение частицы с точностью Δx . Тогда соотношение неопределенности для положения и импульса говорит, что

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

$${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$$

Используя релятивистское соотношение между импульсом и энергией E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ² , когда Δ p превышает mc , тогда неопределенность в энергии больше, чем mc ² , что достаточно для создания другой частицы того же типа. . Но мы должны исключить эту большую энергетическую неопределенность. Физически это исключается созданием одной или нескольких дополнительных частиц, чтобы поддерживать неопределенность импульса каждой частицы на уровне mc или ниже . В частности, минимальная неопределенность имеет место, когда рассеянный фотон имеет предельную энергию, равную энергии наблюдения падающего фотона. Отсюда следует, что существует фундаментальный минимум для ∆ x :

$${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$$

Таким образом, неопределенность положения должна быть больше половины приведенной комптоновской длины волны ħ / mc .

Связь с другими константами

Типичные атомные длины, волновые числа и области в физике могут быть связаны с приведенной комптоновской длиной волны для электрона ( ) ${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$ и электромагнитной постоянной тонкой структуры ( ). ${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$

Радиус Бора связан с комптоновской длиной волны соотношением:

$${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

Классический радиус электрона примерно в 3 раза больше радиуса протона и записывается:

$${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

Константа Ридберга , имеющая размерность линейного волнового числа , записывается:

$${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$$

Это дает последовательность:

$${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.}$$

Для фермионов уменьшенная комптоновская длина волны задает сечение взаимодействий. Например, сечение томсоновского рассеяния фотона на электроне равно ^{[ необходимы пояснения ]}

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},}$$

калибровочных бозоноввзаимодействия Юкавыфотон

Планковская масса — это тот порядок массы, для которого комптоновская длина волны и радиус Шварцшильда совпадают, когда их значение близко к планковской длине ( ). Радиус Шварцшильда пропорционален массе, тогда как комптоновская длина волны пропорциональна обратной массе. Планковская масса и длина определяются как: ${\displaystyle r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

$${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$$

$${\displaystyle l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.}$$

Геометрическая интерпретация

Геометрическое происхождение комптоновской длины волны было продемонстрировано с помощью полуклассических уравнений, описывающих движение волнового пакета. ^[4] В этом случае комптоновская длина волны равна квадратному корню из квантовой метрики, метрики, описывающей квантовое пространство: ${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$

Смотрите также

• длина волны де Бройля
• Отношение Планка – Эйнштейна

Рекомендации

1. Значение CODATA 2018 для комптоновской длины волны электрона из NIST .
2. Грейнер, В. , Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения ( Берлин / Гейдельберг : Springer , 1990), стр. 18–22.
3. Гарай, Луис Дж. (1995). «Квантовая гравитация и минимальная длина». Международный журнал современной физики А. 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc/9403008 . Бибкод : 1995IJMPA..10..145G. дои : 10.1142/S0217751X95000085. S2CID  119520606.
4. Леблан, К.; Мальпуех, Г.; Солнышков Д.Д. (26.10.2021). «Универсальные квазиклассические уравнения на основе квантовой метрики для двухзонной системы». Физический обзор B . 104 (13): 134312. arXiv : 2106.12383 . Бибкод : 2021PhRvB.104m4312L. doi : 10.1103/PhysRevB.104.134312. ISSN  2469-9950. S2CID  235606464.

Внешние ссылки

• Шкалы длин в физике: длина волны Комптона