В математике две квадратные матрицы A и B над полем называются конгруэнтными , если существует обратимая матрица P над тем же полем такая, что
где «T» обозначает транспонирование матрицы . Сравнение матриц является отношением эквивалентности .
Сравнение матриц возникает при рассмотрении влияния изменения базиса на матрицу Грама , присоединенную к билинейной форме или квадратичной форме в конечномерном векторном пространстве : две матрицы конгруэнтны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же билинейную форму относительно разных базисов . .
Обратите внимание, что Халмош определяет конгруэнтность в терминах сопряженного транспонирования (по отношению к комплексному пространству внутреннего продукта ), а не транспонирования, [1] , но это определение не было принято большинством других авторов.
Закон инерции Сильвестра гласит, что две конгруэнтные симметричные матрицы с действительными элементами имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений . То есть количество собственных значений каждого знака является инвариантом соответствующей квадратичной формы. [2]