stringtranslate.com

Матричное соответствие

В математике две квадратные матрицы A и B над полем называются конгруэнтными , если существует обратимая матрица P над тем же полем такая, что

П Т АП = В

где «T» обозначает транспонирование матрицы . Сравнение матриц является отношением эквивалентности .

Сравнение матриц возникает при рассмотрении влияния изменения базиса на матрицу Грама , присоединенную к билинейной форме или квадратичной форме в конечномерном векторном пространстве : две матрицы конгруэнтны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же билинейную форму относительно разных базисов . .

Обратите внимание, что Халмош определяет конгруэнтность в терминах сопряженного транспонирования (по отношению к комплексному пространству внутреннего продукта ), а не транспонирования, [1] , но это определение не было принято большинством других авторов.

Сравнение с реальными данными

Закон инерции Сильвестра гласит, что две конгруэнтные симметричные матрицы с действительными элементами имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений . То есть количество собственных значений каждого знака является инвариантом соответствующей квадратичной формы. [2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства . Ван Ностранд . п. 134.
  2. ^ Сильвестр, Джей-Джей (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен с помощью вещественных ортогональных замен можно привести к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . IV : 138–142 . Проверено 30 декабря 2007 г.