Этендю

Мера «распространения» света в оптической системе

Сохранение этэндю

Etendue или étendue ( / ˌ eɪ t ɒ n ˈ d uː / ; французское произношение: [etɑ̃dy] ) — свойство света в оптической системе , характеризующее, насколько «распространён» свет по площади и углу. Оно соответствует параметру пучка (BPP) в гауссовой оптике. Другие названия etendue включают приём , пропускную способность , световой захват , светосборную мощность , оптическую протяжённость , ^[1] и произведение AΩ . Пропускная способность и произведение AΩ особенно используются в радиометрии и переносе излучения, где они связаны с коэффициентом зрения (или фактором формы). Это центральное понятие в невизуальной оптике . ^{[2] [ нужна страница ] [3] [ нужна страница ] [4] [ нужна страница ]}

С точки зрения источника etendue является произведением площади источника и телесного угла , который образует входной зрачок системы, если смотреть со стороны источника. Эквивалентно, с точки зрения системы etendue равен площади входного зрачка, умноженной на телесный угол, который образует источник, если смотреть со стороны зрачка. Эти определения должны применяться для бесконечно малых «элементов» площади и телесного угла, которые затем должны быть просуммированы как по источнику, так и по диафрагме, как показано ниже. Etendue можно рассматривать как объем в фазовом пространстве .

Etendue никогда не уменьшается в любой оптической системе, где оптическая мощность сохраняется. ^[5] Идеальная оптическая система создает изображение с тем же etendue, что и источник. Etendue связан с инвариантом Лагранжа и оптическим инвариантом , которые разделяют свойство быть постоянными в идеальной оптической системе. Яркость оптической системы равна производной лучистого потока по etendue.

Определение

Этендуэ для дифференциального элемента поверхности в 2D (слева) и 3D (справа).

Бесконечно малый элемент поверхности, d S , с нормалью n _S погружен в среду с показателем преломления n . Поверхность пересекается (или испускает) свет, ограниченный телесным углом, d Ω , под углом θ с нормалью n _S . Площадь d S , спроецированная в направлении распространения света, равна d S cos θ . Конец бесконечно малого пучка света, пересекающего d S , определяется как

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,.}$$

Etendue — это произведение геометрической протяженности и квадрата показателя преломления среды, через которую распространяется луч. ^[1] Поскольку углы, телесные углы и показатели преломления являются безразмерными величинами , etendue часто выражается в единицах площади (задаваемых как d S ). Однако его можно также выразить в единицах площади (квадратных метрах), умноженных на телесный угол (стерадианы). ^{[1] [6]}

В свободном пространстве

Нахождение в свободном пространстве.

Рассмотрим источник света Σ и детектор света S , оба из которых являются расширенными поверхностями (а не дифференциальными элементами), и которые разделены средой с показателем преломления n, которая является совершенно прозрачной (показано). Чтобы вычислить eendue системы, необходимо рассмотреть вклад каждой точки на поверхности источника света, поскольку они отбрасывают лучи в каждую точку на приемнике. ^{[7] [ требуется лучший источник ]}

Согласно определению выше, конечный путь света, пересекающего dΣ в направлении d S, определяется по формуле:

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}\,,}$$

где d Ω _Σ — телесный угол, определяемый площадью d S в площади dΣ , а d — расстояние между двумя областями. Аналогично, етендь света, пересекающего d S и исходящего из dΣ, определяется как:

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}}\,,}$$

где d Ω _S — телесный угол, определяемый площадью dΣ . Эти выражения приводят к

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

показывая, что etendue сохраняется при распространении света в свободном пространстве.

Тогда конечный результат всей системы составит:

$${\displaystyle G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G\,.}$$

Если обе поверхности dΣ и d S погружены в воздух (или в вакуум), n = 1 и приведенное выше выражение для этендю можно записать как

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S}\,,}$$

где F _{dΣ→d S} — коэффициент обзора между дифференциальными поверхностями dΣ и d S. Интеграция по dΣ и d S дает G = π Σ F _{Σ→ S} , что позволяет получить отношение между двумя поверхностями из коэффициентов обзора между этими поверхностями, как указано в списке коэффициентов обзора для конкретных случаев геометрии или в нескольких учебниках по теплопередаче .

Сохранение

Etendu данного пучка света сохраняется: etendue может быть увеличена, но не уменьшена в любой оптической системе. Это означает, что любая система, которая концентрирует свет от некоторого источника на меньшей площади, должна всегда увеличивать телесный угол падения (то есть область неба, которую охватывает источник). Например, увеличительное стекло может увеличить интенсивность солнечного света на небольшом пятне, но делает это потому, что, если смотреть с точки, на которой концентрируется свет, видимый размер солнца увеличивается пропорционально концентрации.

Как показано ниже, etendue сохраняется при прохождении света через свободное пространство и при преломлениях или отражениях. Затем он также сохраняется при прохождении света через оптические системы, где он претерпевает идеальные отражения или преломления. Однако, если бы свет попал, скажем, в рассеиватель , его телесный угол увеличился бы, увеличивая etendue. Тогда etendue может оставаться постоянным или увеличиваться при распространении света через оптику, но не может уменьшаться. Это прямой результат того факта, что энтропия должна быть постоянной или возрастающей.

Сохранение etendue может быть выведено в различных контекстах, например, из первых принципов оптики, из гамильтоновой оптики или из второго закона термодинамики . ^{[2] [ нужна страница ]}

С точки зрения термодинамики etendue является формой энтропии. В частности, etendue пучка света вносит вклад в его энтропию на . Etendue может быть экспоненциально уменьшена увеличением энтропии в другом месте. Например, материал может поглощать фотоны и испускать фотоны с более низкой частотой, а разницу в энергии испускать в виде тепла. Это увеличивает энтропию из-за тепла, что позволяет соответственно уменьшить etendue. ^{[8] [9]} ${\displaystyle S_{etendue}=k_{B}\ln \Omega }$

Сохранение этендю в свободном пространстве связано с теоремой взаимности для коэффициентов обзора .

В преломлениях и отражениях

Этендю в рефракции.

Сохранение etendue, обсуждавшееся выше, применимо к случаю распространения света в свободном пространстве или, в более общем смысле, в среде с любым показателем преломления . В частности, etendue сохраняется при преломлениях и отражениях. ^{[2] [ нужна страница ]} Рисунок "etendue при преломлении" показывает бесконечно малую поверхность d S на плоскости xy , разделяющую две среды с показателями преломления n _Σ и n _S .

Нормаль к d S направлена ​​в направлении оси z . Входящий свет ограничен телесным углом d Ω _Σ и достигает d S под углом θ _Σ к своей нормали. Преломленный свет ограничен телесным углом d Ω _S и покидает d S под углом θ _S к своей нормали. Направления входящего и преломленного света содержатся в плоскости, составляющей угол φ с осью x , определяя эти направления в сферической системе координат . С этими определениями закон преломления Снеллиуса можно записать как

$${\displaystyle n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S}\,,}$$

и ее производная относительно θ

$${\displaystyle n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S}\,,}$$

умноженные друг на друга, дают результат

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right)\,,}$$

где обе стороны уравнения также были умножены на d φ , который не меняется при преломлении. Это выражение теперь можно записать как

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,.}$$

Умножая обе части на d S получаем

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,;}$$

то есть

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

показывая, что etenue света, преломленного на d S, сохраняется. Тот же результат справедлив и для случая отражения от поверхности d S , в этом случае n _Σ = n _S и θ _Σ = θ _S .

Теорема яркости

Следствием сохранения etendue является теорема о яркости , которая гласит, что никакая линейная оптическая система не может увеличить яркость света, излучаемого источником, до более высокого значения, чем яркость поверхности этого источника (где «яркость» определяется как оптическая мощность, излучаемая на единицу телесного угла на единицу излучающей или принимающей площади). ^[10]

Сохранение основного сияния

Яркость поверхности связана с ее освещенностью следующим образом:

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}}\,,}$$

где

• Φ _e — поток излучения , испускаемый, отражаемый, передаваемый или принимаемый;
• n — показатель преломления, в который погружена эта поверхность;
• G — это длина светового луча.

При прохождении света через идеальную оптическую систему как этендю, так и лучистый поток сохраняются. Таким образом, базовая яркость определяется как: ^{[11] [ нужна страница ]}

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}}}$$

также сохраняется. В реальных системах etendue может увеличиваться (например, из-за рассеяния) или лучистый поток может уменьшаться (например, из-за поглощения) и, следовательно, базовая яркость может уменьшаться. Однако etendue может не уменьшаться, а лучистый поток может не увеличиваться и, следовательно, базовая яркость может не увеличиваться.

Как объем в фазовом пространстве

Оптический импульс.

В контексте гамильтоновой оптики в точке пространства луч света может быть полностью определен точкой r = ( x , y , z ) , единичным евклидовым вектором v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z ), указывающим его направление, и показателем преломления n в точке r . Оптический импульс луча в этой точке определяется как

$${\displaystyle \mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r)\,,}$$

где ‖ p ‖ = n . Геометрия вектора оптического импульса проиллюстрирована на рисунке «оптический импульс».

В сферической системе координат p можно записать как

$${\displaystyle \mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)\,,}$$

из которого

$${\displaystyle \mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,,}$$

и поэтому для бесконечно малой области d S = d x dy на плоскости xy , погруженной в среду с показателем преломления n , этендью определяется выражением

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q\,,}$$

что является бесконечно малым объемом в фазовом пространстве x , y , p , q . Сохранение etendue в фазовом пространстве эквивалентно в оптике теореме Лиувилля в классической механике. ^{[2] [ нужна страница ]} Etendue как объем в фазовом пространстве обычно используется в неизображающей оптике .

Максимальная концентрация

Etendue для большого телесного угла.

Рассмотрим бесконечно малую поверхность d S , погруженную в среду с показателем преломления n , пересекаемую (или испускающую) свет внутри конуса с углом α . Конец этого света определяется как

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}\mathrm {d} S\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha \,.}$$

Учитывая, что n sin α — числовая апертура NA луча света, это можно также выразить как

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

Обратите внимание, что dΩ выражается в сферической системе координат . Теперь, если большая поверхность S пересекается (или испускает) свет, также ограниченный конусом с углом α , то конечный размер пересечения света S равен

$${\displaystyle G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

Этендю и идеальная концентрация.

Предел максимальной концентрации (показан) — это оптика с входной апертурой S , в воздухе ( n _i = 1 ), собирающая свет в пределах телесного угла угла 2 α (его угла приема ) и отправляющая его в приемник меньшей площади Σ, погруженный в среду с показателем преломления n , точки которой освещаются в пределах телесного угла угла 2 β . Из приведенного выше выражения, e-endue входящего света равен

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha }$$

и длина светового потока, достигающего приемника, равна

$${\displaystyle G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta \,.}$$

Сохранение этендю G _i = G _r тогда дает

$${\displaystyle C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}\,,}$$

где C — концентрация оптики. Для заданной угловой апертуры α падающего света эта концентрация будет максимальной для максимального значения sin β , то есть β = π /2 . Максимально возможная концентрация тогда ^{[2] [ нужна страница ] [3]}

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}\,.}$$

В случае, если индекс инцидентности не равен единице, имеем

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta \,,}$$

и так

$${\displaystyle C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2}\,,}$$

и в лучшем случае предела β = π /2 это становится

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}\,.}$$

Если бы оптика была коллиматором вместо концентратора, направление света менялось бы на противоположное, и сохранение etendue давало бы нам минимальную апертуру S для заданного выходного полного угла 2 α .

Смотрите также

• Излучательная способность луча
• Произведение параметров пучка
• Световое поле
• Теорема Нётер
• Симплектическая геометрия

Ссылки

1. "Оптическая протяженность / Etendue". CIE e-ILV: Международный светотехнический словарь (2-е изд.). Международная комиссия по освещению . 17-21-048 . Получено 19 февраля 2022 г.
2. Чавес, Хулио (2015). Введение в неизображающую оптику (2-е изд.). CRC Press . ISBN 978-1482206739.
3. Уинстон, Роланд; Минано, Хуан С.; Бенитес, Пабло Г. (2004). Nonimaging Optics . Academic Press. ISBN 978-0127597515.
4. Бреннесхольц, Мэтью С.; Стапп, Эдвард Х. (2008). Проекционные дисплеи . John Wiley & Sons. ISBN 978-0470518038.
5. "Basic Optics: Radiance" (PDF) (Конспект лекций). Астрономия 525. Колледж Святого Бенедикта и Университет Святого Иоанна.
6. Bureau International des Poids et Mesures (2019). Брошюра Международной системы единиц (СИ) (9-е изд.). Международное бюро мер и весов . ISBN 978-92-822-2272-0.
7. «Фотометрия / Notion d'étendue géométrique» [Фотометрия / Понятие геометрической протяженности]. Photographie [ Фотография ] (на французском языке). Викикниги . Проверено 27 января 2009 г.
8. Уинстон, Роланд; Ван, Чуньхуа; Чжан, Вэйя (20 августа 2009 г.). Уинстон, Роланд; Гордон, Джеффри М. (ред.). «Побеждая оптическую теорему Лиувилля: как геометрическая оптика узнает второй закон термодинамики?»: 742309. doi :10.1117/12.836029. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
9. Маркварт, Т (1 января 2008 г.). «Термодинамика оптического étendue». Журнал оптики A: Pure and Applied Optics . 10 (1): 015008. doi :10.1088/1464-4258/10/01/015008. ISSN  1464-4258.
10. Quimby, RS (17 марта 2006 г.). «Приложение A: Телесный угол и теорема о яркости». Фотоника и лазеры: Введение . Библиотека науки Wiley. стр. 495–498. doi :10.1002/0471791598.app1. ISBN 9780471719748. Получено 13 сентября 2022 г. .
11. МакКлуни, Уильям Росс (1994). Введение в радиометрию и фотометрию . Бостон: Artech House. ISBN 978-0890066782.

Дальнейшее чтение

• Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . SPIE Field Guides. Том FG01. SPIE. ISBN 0-8194-5294-7.
• Манро, Рэндалл (nd). «Огонь из лунного света». Что если? . Архивировано из оригинала 6 августа 2023 г. . Получено 28 июля 2020 г. . xkcd – автор Рэндалл Манро объясняет, почему невозможно разжечь огонь с помощью концентрированного лунного света, используя аргумент о сохранении энергии.
• Сан, Сюйтао; Чжэн, Чжэньронг; Лю, Сюй; Гу, Пэйфу (март 2006 г.). «Анализ и измерение источника света с эллиптическим отражателем». Дисплеи . 27 (2): 56–61.