Refresh | This website ru.stringtranslate.com/%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8/Finitely_generated_group is currently offline. Cloudflare's Always Online™ shows a snapshot of this web page from the Internet Archive's Wayback Machine. To check for the live version, click Refresh. |
В алгебре конечно порожденная группа — это группа G , имеющая некоторое конечное порождающее множество S , так что каждый элемент G может быть записан как комбинация (с помощью групповой операции) конечного числа элементов S и обратных к таким элементам. [1]
По определению, каждая конечная группа конечно порождена, поскольку S можно взять за саму G. Каждая бесконечная конечно порожденная группа должна быть счетной, но счетные группы не обязаны быть конечно порожденными. Аддитивная группа рациональных чисел Q является примером счетной группы, которая не является конечно порожденной.
Каждая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом целых чисел Z , а в конечно порожденной абелевой группе с образующими x 1 , ..., x n каждый элемент группы x может быть записан как линейная комбинация этих образующих,
с целыми числами α 1 , ..., α n .
Подгруппы конечно порождённой абелевой группы сами конечно порождёны.
Основная теорема о конечно порождённых абелевых группах утверждает, что конечно порождённая абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых единственна с точностью до изоморфизма.
Подгруппа конечно порождённой группы не обязана быть конечно порождённой. Коммутант свободной группы с двумя образующими является примером подгруппы конечно порождённой группы, которая не является конечно порождённой.
С другой стороны, все подгруппы конечно порождённой абелевой группы конечно порождёны.
Подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе всегда конечно порождена, а формула индекса Шрайера дает ограничение на количество требуемых генераторов. [2]
В 1954 году Альберт Г. Хаусон показал, что пересечение двух конечно порождённых подгрупп свободной группы снова конечно порождённо. Более того, если и являются числами генераторов двух конечно порождённых подгрупп, то их пересечение порождается не более чем генераторами. [3] Эта верхняя граница была затем значительно улучшена Ханной Нойман до ; см. гипотезу Ханны Нойман .
Решетка подгрупп группы удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда все подгруппы группы конечно порождены. Группа, все ее подгруппы которой конечно порождены, называется нётеровой .
Группа, в которой каждая конечно порождённая подгруппа конечна, называется локально конечной . Каждая локально конечная группа является периодической , т.е. каждый элемент имеет конечный порядок . Обратно , каждая периодическая абелева группа является локально конечной. [4]
Геометрическая теория групп изучает связи между алгебраическими свойствами конечно порождённых групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств , на которых действуют эти группы .
Проблема слов для конечно порожденной группы — это проблема принятия решения о том, представляют ли два слова в генераторах группы один и тот же элемент. Проблема слов для данной конечно порожденной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа может быть вложена в каждую алгебраически замкнутую группу .
Ранг группы часто определяется как наименьшая мощность порождающего множества для группы. По определению, ранг конечно порожденной группы конечен.