Конкурентное равновесие

Концепция экономического равновесия

Конкурентное равновесие (также называемое: равновесие Вальраса ) — это концепция экономического равновесия , введенная Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре в 1951 году ^[1], подходящая для анализа товарных рынков с гибкими ценами и множеством трейдеров, и служащая эталоном эффективности в экономическом анализе. Она в значительной степени опирается на предположение о конкурентной среде , где каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим количеством, торгуемым на рынке, что их индивидуальные транзакции не оказывают никакого влияния на цены. Конкурентные рынки являются идеальным стандартом, по которому оцениваются другие рыночные структуры.

Определения

Конкурентное равновесие (КР) состоит из двух элементов:

• Функция цены . Она принимает в качестве аргумента вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, представляющее его цену. Обычно функция цены линейна — она представлена ​​как вектор цен, цена для каждого типа товара. ${\displaystyle P}$
• Матрица распределения . Для каждого — вектор товаров, выделенных агенту . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Эти элементы должны удовлетворять следующим требованиям:

• Удовлетворенность ( свобода от зависти к рынку ): Каждый агент слабо предпочитает свой набор любому другому доступному набору:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n}$, если тогда . ${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

Часто имеется начальная матрица наделения : для каждого , есть начальный надел агента . Тогда CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle i}$

• Очистка рынка : спрос равен предложению, никакие предметы не создаются и не уничтожаются:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$.

• Индивидуальная рациональность : все агенты становятся богаче после торговли, чем до нее:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$.

• Баланс бюджета : все агенты могут позволить себе выделенные им средства с учетом их вклада:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$.

Определение 2

Это определение явно допускает возможность того, что может быть несколько товарных массивов, которые одинаково привлекательны. Также для нулевых цен. Альтернативное определение ^[2] опирается на концепцию набора спроса . При наличии ценовой функции P и агента с функцией полезности U определенный набор товаров x находится в наборе спроса агента, если: для любого другого набора y. Конкурентное равновесие — это ценовая функция P и матрица распределения X, такие, что: ${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• Набор, выделенный X каждому агенту, входит в набор спроса этого агента для вектора цен P;
• Каждый товар, имеющий положительную цену, полностью распределен (т.е. каждый нераспределенный товар имеет цену 0).

Приблизительное равновесие

В некоторых случаях полезно определить равновесие, в котором условие рациональности смягчено. ^[3] При наличии положительного значения (измеренного в денежных единицах, например, долларах), вектора цен и набора , определим как вектор цен, в котором все элементы в x имеют ту же цену, что и в P, а все элементы, не входящие в x, оценены выше, чем их цена в P. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

В конкурентном равновесии набор x, выделенный агенту, должен входить в набор спроса этого агента для измененного вектора цен, . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Это приближение реалистично, когда есть комиссии за покупку/продажу. Например, предположим, что агент должен заплатить доллары за покупку единицы товара в дополнение к цене этого товара. Этот агент будет хранить свой текущий набор до тех пор, пока он находится в наборе спроса для вектора цен . Это делает равновесие более стабильным. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Примеры

В следующих примерах рассматривается экономика обмена с двумя агентами, Джейн и Кельвином, двумя товарами, например бананами (x) и яблоками (y), и отсутствием денег.

1. Графический пример : Предположим, что начальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.

Рассматривая кривые безразличия Джейн и Кельвина, мы видим, что это не равновесие — оба агента готовы торговать друг с другом по ценам и . После торговли и Джейн, и Кельвин перемещаются на кривую безразличия, которая отображает более высокий уровень полезности, и . Новые кривые безразличия пересекаются в точке E. Наклон касательной обеих кривых равен - . ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

И ; . Предельная норма замещения (MRS) Джейн равна таковой у Кельвина. Таким образом, общество из 2 индивидов достигает эффективности по Парето , где нет способа улучшить положение Джейн или Кельвина, не ухудшив положение другого. ${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$ ${\displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$

2. Арифметический пример: ^{[4] : ​​322–323} предположим, что оба агента имеют полезность Кобба–Дугласа :

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

где константы. ${\displaystyle a,b}$

Предположим, что первоначальный капитал составляет . ${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

Функция спроса Джейн на x имеет вид:

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

Функция спроса Кельвина для x имеет вид:

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

Условие очистки рынка для x:

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

Это уравнение дает равновесное соотношение цен:

${\displaystyle {\frac {p_{y}}{p_{x}}}={\frac {1-a}{b}}}$

Мы могли бы сделать аналогичный расчет для y, но это не нужно, поскольку закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав, чтобы . Тогда мы получим . Но любая другая нормализация также будет работать. ${\displaystyle p_{x}+p_{y}=1}$ ${\displaystyle p_{x}={\frac {b}{1+b-a}},p_{y}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3. Пример несуществования: Предположим, что полезности агентов следующие:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

и начальный запас равен [(2,1),(2,1)]. В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт не вносит никакого вклада в полезность, поэтому агент хотел бы обменять его). Следовательно, единственно возможными распределениями CE являются [(4,0),(0,2)] и [(0,2),(4,0)]. Поскольку агенты имеют одинаковый доход, обязательно . Но тогда агент, владеющий 2 единицами y, захочет обменять их на 4 единицы x. ${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. Примеры существования и несуществования, связанные с линейными полезностями, см. в разделе Линейная полезность#Примеры .

Неделимые предметы

Когда в экономике есть неделимые предметы, принято считать, что есть также деньги, которые делимы. Агенты имеют квазилинейные функции полезности: их полезность — это сумма денег, которые у них есть, плюс полезность от набора предметов, которые они имеют.

A. Отдельный товар: у Алисы есть автомобиль, который она оценивает в 10. У Боба нет автомобиля, и он оценивает автомобиль Алисы в 20. Возможный CE: цена автомобиля составляет 15, Боб получает автомобиль и платит 15 Алисе. Это равновесие, поскольку рынок очищен, и оба агента предпочитают свой окончательный пакет своему первоначальному пакету. Фактически, каждая цена между 10 и 20 будет ценой CE с тем же распределением. Та же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально не принадлежит Алисе, а находится на аукционе, на котором и Алиса, и Боб являются покупателями: автомобиль достанется Бобу, а цена будет где-то между 10 и 20.

С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной, поскольку существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят купить машину по этой цене), а любая цена выше 20 не является равновесной, поскольку существует избыточное предложение (ни Алиса, ни Боб не хотят купить машину по этой цене).

Этот пример представляет собой частный случай двойного аукциона .

B. Заменители: Автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алису интересует только транспорт, поэтому для нее это идеальные заменители: она получает полезность 8 от лошади, 9 от автомобиля, и если у нее есть и то, и другое, то она использует только автомобиль, поэтому ее полезность составляет 9. Боб получает полезность 5 от лошади и 7 от автомобиля, но если у него есть и то, и другое, то его полезность составляет 11, так как ему также нравится лошадь как домашнее животное. В этом случае найти равновесие сложнее (см. ниже). Возможное равновесие заключается в том, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает автомобиль за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, что даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы платить 7 за автомобиль, что даст ей только 1 дополнительную полезность.

C. Дополнения : ^[5] Лошадь и экипаж продаются на аукционе. Есть два потенциальных покупателя: AND и XOR. AND хочет только лошадь и экипаж вместе - он получает полезность от владения ими обоими, но полезность 0 от владения только одним из них. XOR хочет либо лошадь, либо экипаж, но не нуждается в обоих - он получает полезность от владения одним из них и ту же полезность от владения ими обоими. Здесь, когда , конкурентного равновесия НЕ существует, т. е. никакая цена не очистит рынок. Доказательство : рассмотрите следующие варианты для суммы цен (цена лошади + цена экипажа): ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$ ${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$

• Сумма меньше . Тогда AND хочет оба товара. Поскольку цена хотя бы одного товара меньше , XOR хочет этот товар, поэтому существует избыточный спрос. ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$
• Сумма равна точно . Тогда AND безразлично, покупать ли оба товара или не покупать ни одного. Но XOR все равно хочет ровно один товар, поэтому либо есть избыточный спрос, либо избыточное предложение. ${\displaystyle v_{and}}$
• Сумма больше . Тогда AND не хочет ни одного элемента, а XOR по-прежнему хочет максимум один элемент, поэтому имеется избыточное предложение. ${\displaystyle v_{and}}$

D. Потребители с единичным спросом: Есть n потребителей. У каждого потребителя есть индекс . Есть один тип товара. Каждый потребитель хочет максимум одну единицу товара, что дает ему полезность . Потребители упорядочены таким образом, что является слабо возрастающей функцией . Если предложение составляет единицы, то любая цена, удовлетворяющая , является равновесной ценой, поскольку есть k потребителей, которые либо хотят купить продукт, либо им безразлично, покупать его или нет. Обратите внимание, что увеличение предложения приводит к снижению цены. ${\displaystyle i=1,...,n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

Существование конкурентного равновесия

Делимые ресурсы

Модель Эрроу–Дебре показывает, что CE существует в каждой экономике обмена с делимыми товарами, удовлетворяющими следующим условиям:

• Все агенты имеют строго выпуклые предпочтения ;
• Все товары желанны. Это означает, что если какой-либо товар дается бесплатно ( ), то все агенты хотят получить от этого товара как можно больше. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p_{j}=0}$

Доказательство проводится в несколько этапов. ^{[4] : 319–322}

A. Для конкретности предположим, что есть агенты и делимые товары. Нормализуем цены так, чтобы их сумма была 1, т.е. . Тогда пространство всех возможных цен представляет собой -мерный единичный симплекс в . Назовем этот симплекс ценовым симплексом . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B. Пусть будет функцией избыточного спроса . Это функция вектора цен , когда начальный запас остается постоянным: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}}$

Известно, что при строго выпуклых предпочтениях агентов маршалловская функция спроса непрерывна. Следовательно, также является непрерывной функцией . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

C. Определим следующую функцию от ценового симплекса к себе:

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

Это непрерывная функция, поэтому по теореме Брауэра о неподвижной точке существует вектор цен, такой что: ${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

так,

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D. Используя закон Вальраса и немного алгебры, можно показать, что для этого вектора цен не существует избыточного спроса ни на один продукт, т.е.:

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. Предположение о желательности подразумевает, что все продукты имеют строго положительные цены:

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

По закону Вальраса , . Но это означает, что неравенство выше должно быть равенством: ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Это означает, что — ценовой вектор конкурентного равновесия. ${\displaystyle p^{*}}$

Обратите внимание, что линейные полезности являются лишь слабо выпуклыми, поэтому они не соответствуют модели Эрроу–Дебре . Однако Дэвид Гейл доказал, что CE существует в каждой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробности см. в разделе Линейные полезности#Существование конкурентного равновесия .

Алгоритмы расчета рыночного равновесия описаны в разделе Расчет рыночного равновесия .

Неделимые предметы

В приведенных выше примерах конкурентное равновесие существовало, когда товары были заменителями, но не когда товары были комплементарными. Это не совпадение.

Если задана функция полезности двух товаров X и Y , то скажем, что товары являются слабо валовыми заменителями (GS), если они являются либо независимыми товарами , либо валовыми заменителями , но не взаимодополняющими товарами . Это означает, что . То есть, если цена Y увеличивается, то спрос на X либо остается постоянным, либо увеличивается, но не уменьшается. Если цена Y уменьшается, то спрос на X либо остается постоянным, либо уменьшается. ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

Функция полезности называется GS, если, согласно этой функции полезности, все пары различных товаров являются GS. При функции полезности GS, если у агента есть набор спроса по заданному вектору цен, и цены на некоторые товары увеличиваются, то у агента есть набор спроса, который включает все товары, цена которых осталась постоянной. ^{[3] [6]} Он может решить, что ему не нужен товар, который стал дороже; он также может решить, что ему нужен другой товар вместо него (заменитель); но он не может решить, что ему не нужен третий товар, цена которого не изменилась.

Когда функции полезности всех агентов равны GS, всегда существует конкурентное равновесие. ^[7]

Более того, набор оценок GS является наибольшим набором, содержащим оценки спроса на единицу товара , для которых существование конкурентного равновесия гарантировано: для любой оценки не-GS существуют оценки спроса на единицу товара, такие что конкурентное равновесие не существует для этих оценок спроса на единицу товара в сочетании с данной оценкой не-GS. ^[8]

Для вычислительной задачи поиска конкурентного равновесия на особом виде рынка см. Fisher market#indivisible .

Конкурентное равновесие и эффективность распределения ресурсов

Согласно фундаментальным теоремам экономики благосостояния , любое распределение CE является Парето-эффективным , и любое эффективное распределение может быть устойчивым посредством конкурентного равновесия. Более того, согласно теоремам Вариана , распределение CE, в котором все агенты имеют одинаковый доход, также является свободным от зависти .

В конкурентном равновесии ценность, которую общество придает товару, эквивалентна ценности ресурсов, отданных для его производства ( предельная выгода равна предельным издержкам ). Это обеспечивает эффективность распределения : дополнительная ценность, которую общество придает другой единице товара, равна тому, от чего общество должно отказаться в ресурсах для его производства. ^[9]

Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает аддитивной полезности и не предполагает никаких межличностных компромиссов полезности. Эффективность, таким образом, относится к отсутствию улучшений по Парето . Она никоим образом не высказывает мнения о справедливости распределения (в смысле распределительной справедливости или равенства ). Эффективное равновесие может быть таким, когда у одного игрока есть все товары, а у других игроков нет ничего (в крайнем случае), что является эффективным в том смысле, что нельзя найти улучшение по Парето — что делает всех игроков (включая того, у кого все в этом случае) более обеспеченными (для строгого улучшения по Парето) или не ухудшает их положение.

Теоремы благосостояния для неделимого распределения предметов

В случае неделимых предметов мы имеем следующие сильные версии двух теорем о благосостоянии : ^[2]

1. Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние (сумму полезностей) не только по всем реалистичным назначениям предметов, но и по всем дробным назначениям предметов. То есть, даже если бы мы могли назначить доли предмета разным людям, мы не смогли бы добиться большего, чем конкурентное равновесие, в котором назначаются только целые предметы.
2. Если существует интегральное распределение (без дробных распределений), которое максимизирует общественное благосостояние, то существует конкурентное равновесие с этим распределением.

Нахождение равновесия

В случае неделимого назначения предметов, когда функции полезности всех агентов равны GS (и, таким образом, существует равновесие), можно найти конкурентное равновесие с помощью восходящего аукциона . На восходящем аукционе аукционист публикует вектор цен, изначально равный нулю, и покупатели объявляют свой любимый набор по этим ценам. В случае, если каждый предмет желает максимум один участник торгов, предметы делятся, и аукцион заканчивается. В случае, если на один или несколько предметов наблюдается избыточный спрос, аукционист увеличивает цену предмета с избыточным спросом на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.

В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона. ^{[3] [7] [10]} Такие механизмы часто называют аукционом Вальраса , нащупыванием Вальраса или английским аукционом .

Смотрите также

• Ценообразование без зависти — смягчение равновесия Вальраса, при котором некоторые товары могут оставаться нераспределенными.
• Рынок Фишера — упрощенная модель рынка с одним продавцом и множеством покупателей, в которой CE может быть эффективно рассчитан.
• Эффективность распределения ресурсов
• Экономическое равновесие
• Теория общего равновесия
• Вальрасовский аукцион

Ссылки

1. К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Ж. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951)
2. Лиад Блюмрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Равновесие Вальраса». В Нисан, Ноам; Рафгарден, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF) . стр. 277–279. ISBN 978-0521872829.
3. Лиад Блумрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Восходящие аукционы». В Нисан, Ноам; Рафгарден, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF) . стр. 289–294. ISBN 978-0521872829.
4. Varian, Hal (1992). Микроэкономический анализ (третье изд.). Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
5. Хассидим, Авинатан; Каплан, Хаим; Мансур, Ишай; Нисан, Ноам (2011). «Неценовые равновесия на рынках дискретных товаров». Труды 12-й конференции ACM по электронной коммерции — EC '11 . стр. 295. arXiv : 1103.3950 . doi : 10.1145/1993574.1993619. ISBN 9781450302616.
6. Термин был введен в: Kelso, AS; Crawford, VP (1982). "Job Matching, Coalition Formation, and Gross Substitutes". Econometrica . 50 (6): 1483. doi :10.2307/1913392. JSTOR  1913392.
7. Gul, F.; Stacchetti, E. (2000). «Английский аукцион с дифференцированными товарами». Журнал экономической теории . 92 : 66–95. doi : 10.1006/jeth.1999.2580.
8. Гул, Ф.; Стакетти, Э. (1999). «Равновесие Вальраса с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. doi :10.1006/jeth.1999.2531.
9. Каллан, С. Дж. и Томас, Дж. М. (2007). «Моделирование рыночного процесса: обзор основ», Глава 2 в «Экономике и менеджменте окружающей среды: теория, политика и приложения» , 4-е изд., Томпсон Юго-Западный, Мейсон, Огайо, США
10. Бен-Цви, Орен; Лави, Рон; Ньюман, Илан (2013). «Восходящие аукционы и вальрасовское равновесие». arXiv : 1301.1153v3 [cs.GT].

• Рихтер, MK; Вонг, KC (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория . 14 : 1–27. doi :10.1007/s001990050281. S2CID  121248813.

Внешние ссылки

• Конкурентное равновесие, равновесие Вальраса и аукцион Вальраса в Economics Stack Exchange.