Консервативная сила

Сила, при которой работа, совершаемая при перемещении объекта, зависит только от его перемещения.

В физике консервативная сила — это сила, обладающая тем свойством, что полная работа , совершаемая силой при перемещении частицы между двумя точками, не зависит от выбранного пути. ^[1] Эквивалентно, если частица движется по замкнутому контуру, полная работа, совершаемая консервативной силой (сумма силы, действующей вдоль пути, умноженная на смещение ) , равна нулю. ^[2]

Консервативная сила зависит только от положения объекта. Если сила консервативна, то можно присвоить числовое значение потенциалу в любой точке и наоборот, когда объект перемещается из одного места в другое, сила изменяет потенциальную энергию объекта на величину, которая не зависит от пройденного пути, способствуя механической энергии и общему сохранению энергии . Если сила не консервативна, то определение скалярного потенциала невозможно, поскольку выбор разных путей приведет к конфликтующим разностям потенциалов между начальной и конечной точками.

Сила тяготения является примером консервативной силы, тогда как сила трения является примером неконсервативной силы.

Другие примеры консервативных сил: сила в упругой пружине , электростатическая сила между двумя электрическими зарядами и магнитная сила между двумя магнитными полюсами. Последние две силы называются центральными силами, поскольку они действуют вдоль линии, соединяющей центры двух заряженных/намагниченных тел. Центральная сила является консервативной тогда и только тогда, когда она сферически симметрична. ^[3]

Для консервативных сил,

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} =-{\frac {\textit {dU}}{d\mathbf {s} }}}$

где — консервативная сила, — потенциальная энергия, — положение. ^[4] ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s}$

Неформальное определение

Неформально консервативную силу можно рассматривать как силу, которая сохраняет механическую энергию . Предположим, что частица начинает движение в точке A, и на нее действует сила F. Затем частица перемещается другими силами и в конечном итоге снова оказывается в точке A. Хотя частица может все еще двигаться, в тот момент, когда она снова проходит точку A, она проходит замкнутый путь. Если чистая работа, выполненная F в этой точке, равна 0, то F проходит тест замкнутого пути. Любая сила, которая проходит тест замкнутого пути для всех возможных замкнутых путей, классифицируется как консервативная сила.

Сила тяготения , сила упругости , магнитная сила (согласно некоторым определениям, см. ниже) и электрическая сила (по крайней мере, в магнитном поле, не зависящем от времени, см. подробности в законе индукции Фарадея ) являются примерами консервативных сил, в то время как трение и сопротивление воздуха являются классическими примерами неконсервативных сил.

Для неконсервативных сил механическая энергия, которая теряется (не сохраняется), должна пойти куда-то еще, в соответствии с законом сохранения энергии . Обычно энергия превращается в тепло , например, тепло, вырабатываемое трением. Помимо тепла, трение также часто производит некоторую звуковую энергию. Сопротивление воды движущейся лодке преобразует механическую энергию лодки не только в тепловую и звуковую энергию, но и в энергию волн на краях ее следа . Эти и другие потери энергии необратимы из-за второго закона термодинамики .

Независимость пути

Прямым следствием теста замкнутого пути является то, что работа, совершаемая консервативной силой над частицей, движущейся между любыми двумя точками, не зависит от пути, пройденного частицей.

Это показано на рисунке справа: Работа, совершаемая гравитационной силой над объектом, зависит только от изменения его высоты, поскольку гравитационная сила консервативна. Работа, совершаемая консервативной силой, равна отрицательному изменению потенциальной энергии в ходе этого процесса. Для доказательства представьте себе два пути 1 и 2, оба идущие из точки A в точку B. Изменение энергии для частицы, проходящей путь 1 от A до B, а затем путь 2 обратно от B до A, равно 0; таким образом, работа одинакова на пути 1 и 2, т. е. работа не зависит от пройденного пути, пока она идет от A до B.

Например, если ребенок скатывается с горки без трения, работа, совершаемая силой тяжести, действующей на ребенка от начала спуска до конца, не зависит от формы горки; она зависит только от вертикального перемещения ребенка.

Математическое описание

Силовое поле F , определенное всюду в пространстве (или внутри односвязного объема пространства), называется консервативной силой или консервативным векторным полем, если оно удовлетворяет любому из следующих трех эквивалентных условий:

1. Ротор F — это нулевой вектор: в двух измерениях это сводится к : $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0}$$
2. При перемещении частицы по траектории, которая начинается и заканчивается в одном и том же месте, чистая работа ( W ) силы равна нулю: $${\displaystyle W\equiv \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =0.}$$
3. Силу можно записать как отрицательный градиент потенциала : ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .}$$

Доказательство того, что эти три условия эквивалентны, когда F — силовое поле

1 подразумевает 2

Пусть C — любой простой замкнутый путь (т. е. путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке и не имеет самопересечений), и рассмотрим поверхность S , границей которой является C. Тогда теорема Стокса гласит, что если ротор F равен нулю, то левая часть равна нулю — поэтому утверждение 2 верно. $${\displaystyle \int _{S}\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$

2 подразумевает 3

Предположим, что выполняется утверждение 2. Пусть c — простая кривая из начала координат в точку , и зададим функцию Тот факт, что эта функция корректно определена (независимо от выбора c ), следует из утверждения 2. В любом случае, из основной теоремы исчисления следует, что Таким образом, утверждение 2 влечет утверждение 3 ( см. полное доказательство ). ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \Phi (x)=-\int _{c}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .}$$

3 подразумевает 1

Наконец, предположим, что третье утверждение верно. Известное тождество векторного исчисления гласит, что ротор градиента любой функции равен 0. (См. доказательство .) Следовательно, если третье утверждение верно, то и первое утверждение должно быть верным. Это показывает, что утверждение 1 подразумевает 2, 2 подразумевает 3, а 3 подразумевает 1. Следовательно, все три эквивалентны, QED (Эквивалентность 1 и 3 также известна как (один из аспектов) теоремы Гельмгольца .)

Термин консервативная сила происходит от того факта, что когда существует консервативная сила, она сохраняет механическую энергию. Наиболее известные консервативные силы — это гравитация , электрическая сила (в магнитном поле, не зависящем от времени, см. закон Фарадея ) и сила упругости .

Многие силы (особенно те, которые зависят от скорости) не являются силовыми полями . В этих случаях три вышеуказанных условия математически не эквивалентны. Например, магнитная сила удовлетворяет условию 2 (так как работа, совершаемая магнитным полем над заряженной частицей, всегда равна нулю), но не удовлетворяет условию 3, а условие 1 даже не определено (сила не является векторным полем, поэтому нельзя оценить ее ротор). Соответственно, некоторые авторы классифицируют магнитную силу как консервативную, ^[5], а другие — нет. ^[6] Магнитная сила — необычный случай; большинство сил, зависящих от скорости, таких как трение , не удовлетворяют ни одному из трех условий и, следовательно, однозначно неконсервативны.

Неконсервативная сила

Несмотря на сохранение полной энергии, неконсервативные силы могут возникать в классической физике из-за пренебрежения степенями свободы или из-за зависящих от времени потенциалов. ^[7] Многие неконсервативные силы могут восприниматься как макроскопические эффекты консервативных сил малого масштаба. ^[8] Например, трение можно рассматривать без нарушения закона сохранения энергии, рассматривая движение отдельных молекул; однако это означает, что движение каждой молекулы должно рассматриваться, а не обрабатываться статистическими методами. Для макроскопических систем с неконсервативным приближением гораздо проще иметь дело, чем с миллионами степеней свободы.

Примерами неконсервативных сил являются трение и неупругое материальное напряжение . Трение приводит к передаче части энергии от крупномасштабного движения тел к мелкомасштабным движениям в их внутренней части, и поэтому кажется неконсервативным в больших масштабах. ^[8] Общая теория относительности неконсервативна, как видно из аномальной прецессии орбиты Меркурия. ^{[ требуется ссылка ]} Однако общая теория относительности сохраняет псевдотензор напряжения-энергии-импульса .

Смотрите также

• Консервативное векторное поле
• Консервативная система

Ссылки

1. Гиперфизика - Консервативная сила
2. Луис Н. Хэнд, Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Cambridge University Press. стр. 41. ISBN 0-521-57572-9.
3. Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: Univ. Science Books. стр. 133–138. ISBN 1-891389-22-X.
4. "Консервативные силы Определение, Формула, Примеры". physicscatalyst.com . Получено 2024-01-02 .
5. Например, П. К. Шривастава (2004). Механика. New Age International Pub. (P) Limited. стр. 94. ISBN 9788122411126. Получено 2018-11-20 .: "В общем случае сила, которая явно зависит от скорости частицы, не является консервативной. Однако магнитная сила (q v × B ) может быть включена в число консервативных сил в том смысле, что она действует перпендикулярно скорости, и, следовательно, совершаемая работа всегда равна нулю". Веб-ссылка
6. Например, Магнитная Вселенная: Геофизическая и астрофизическая теория динамо , Рюдигер и Холлербах, стр. 178, веб-ссылка
7. Фридхельм Кайперс. Классическая механика. ВИЛИ-ВЧ 2005. Страница 9.
8. Том У. Б. Киббл, Фрэнк Х. Беркшир. Классическая механика. (5-е изд.). Imperial College Press 2004 ISBN 1860944248