Теорема Бруна

Теорема о том, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится

Сходимость к постоянной Бруна.

В теории чисел теорема Бруна утверждает, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов (пар простых чисел , отличающихся на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна , обычно обозначаемому как B ₂ (последовательность A065421 в OEIS ). Теорема Бруна была доказана Вигго Бруном в 1919 году и имеет историческое значение для введения методов решета .

Асимптотические границы простых чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных чисел простых чисел-близнецов следует из границ плотности последовательности простых чисел-близнецов. Пусть обозначает число простых чисел p ≤ x, для которых p + 2 также является простым (т.е. число простых чисел-близнецов с наименьшим не более x ). Тогда, мы имеем ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

То есть, близнецы-простые числа встречаются реже, чем простые числа почти на логарифмический множитель. Эта граница дает интуитивное представление о том, что сумма обратных чисел близнецов-простых чисел сходится, или, другими словами, близнецы-простые числа образуют небольшой набор . В явных терминах сумма

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но является сходящимся: его значение известно как константа Бруна.

Если бы сумма расходилась, то этот факт означал бы, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Поскольку сумма обратных чисел простых чисел-близнецов вместо этого сходится, из этого результата невозможно сделать вывод, что существует конечное или бесконечное количество простых чисел-близнецов. Константа Бруна может быть иррациональным числом только в том случае, если существует бесконечно много простых чисел-близнецов.

Численные оценки

Ряд сходится крайне медленно. Томас Найсли замечает, что после суммирования первого миллиарда (10 ⁹ ) членов относительная погрешность все еще больше 5%. ^[1]

Вычислив близнецовые простые числа до 10 ¹⁴ (и попутно обнаружив ошибку Pentium FDIV ), Найсли эвристически оценил константу Бруна как 1,902160578. ^[1] Найсли расширил свои вычисления до 1,6 × 10¹⁵ по состоянию на 18 января 2010 г., однако это не самое крупное вычисление такого типа.

В 2002 году Паскаль Себах и Патрик Демишель использовали все простые числа-близнецы до 10 ¹⁶ , чтобы дать оценку ^[2], что B ₂  ≈ 1,902160583104. Следовательно,

Последнее основано на экстраполяции суммы 1,830484424658... для простых чисел-близнецов ниже 10 ¹⁶ . Доминик Клайв показал условно (в неопубликованной диссертации), что B ₂  < 2,1754 (предполагая расширенную гипотезу Римана ). Было показано безусловно, что B ₂  < 2,347. ^[3]

Существует также константа Бруна для простых четверок . Простой четверкой называется пара из двух пар простых близнецов, разделенных расстоянием 4 (минимально возможное расстояние). Первые простые четверки — это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, обозначаемая как B ₄ , представляет собой сумму обратных величин всех простых четверок:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

со значением:

B ₄  = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, диапазон ошибки имеет уровень достоверности 99% согласно Nicely. ^[1]

Эту константу не следует путать с константой Бруна для двоюродных простых чисел , как простых пар вида ( p ,  p  + 4), которая также записывается как B _4. Вольф вывел оценку для сумм типа Бруна B _{n ,} равную 4/ n .

Дальнейшие результаты

Пусть (последовательность A005597 в OEIS ) будет константой-близнецом . Тогда предполагается , что ${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

В частности,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

для всех достаточно больших x . ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Было доказано много частных случаев вышеизложенного. Цзе Ву доказал, что для достаточно больших x ,

${\displaystyle \pi _{2}(x)\leq 3.3996\cdot 2C_{2}\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в ставке в $1,902,160,540 на патентном аукционе Nortel . Ставка была размещена Google и была одной из трех ставок Google, основанных на математических константах . ^[4] Более того, академические исследования константы в конечном итоге привели к тому, что ошибка Pentium FDIV стала заметным фиаско в связях с общественностью для Intel . ^{[5] [6]}

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных величин простых чисел
• Константа Мейсселя–Мертенса

Примечания

1. Nicely, Thomas R. (18 января 2010 г.). «Перечисление до 1,6*10^15 простых чисел-близнецов и константа Бруна». Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел (вычислительная теория чисел) . Архивировано из оригинала 8 декабря 2013 г. Получено 16 февраля 2010 г.
2. Себах, Паскаль; Гурдон, Ксавье. «Введение в простые числа-близнецы и вычисление константы Бруна». CiteSeerX 10.1.1.464.1118 . 
3. Клайв, Доминик. "Явные границы простых чисел-близнецов и константа Бруна" . Получено 24 мая 2021 г.
4. Damouni, Nadia (1 июля 2011 г.). "Dealtalk: Google сделала ставку "pi" на патенты Nortel и проиграла". Reuters . Архивировано из оригинала 3 июля 2011 г. Получено 6 июля 2011 г.
5. "Часто задаваемые вопросы о дефекте Pentium FDIV". www.trnicely.net . Архивировано из оригинала 18 июня 2019 . Получено 22 февраля 2022 .
6. Прайс, Д. (1995). «Извлеченные уроки недостатков Pentium FDIV». IEEE Micro . 15 (2): 86–88. doi :10.1109/40.372360.

Ссылки

• Брун, Вигго (1915). «Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare». Архив Mathematik og Naturvidenskab . Б34 (8).
• Брун, Вигго (1919). "Серия 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61 +..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est сходящиеся или конечные». Бюллетень математических наук (на французском языке). 43 : 100–104, 124–128.
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Введение в методы решета и их применение . London Mathematical Society Student Texts. Vol. 66. Cambridge University Press . pp. 73–74. ISBN 0-521-61275-6.
• Ландау, Э. (1927). Элементарная теория теории . Лейпциг, Германия: Хирцель.Перепечатано Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., 1990.
• Левек, Уильям Джадсон (1996). Основы теории чисел . Нью-Йорк: Издательство Dover Publishing. стр. 1–288. ISBN 0-486-68906-9.Содержит более современное доказательство.
• Ву, Дж. (2004) [24 сентября 2007 г.]. «Двойное решето Чена, гипотеза Гольдбаха и проблема простых чисел-близнецов». Акта Арифметика . 114 (3): 215–273. arXiv : 0705.1652 . Бибкод : 2004AcAri.114..215W. дои : 10.4064/aa114-3-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Бруна». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Брюна». Математический мир .
• Константа Бруна на PlanetMath .
• Себах, Паскаль и Ксавье Гурдон, Введение в простые числа-близнецы и вычисление константы Бруна, 2002. Современное подробное исследование.
• Статья Вольфа о суммах типа Бруно