Твин Прайм

Простое число на 2 больше или на 2 меньше другого простого числа

Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше, чем другое простое число, например любой член пары простых чисел-близнецов (17, 19) или (41, 43) . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, у которого разница между простыми числами равна двум. Иногда термин «простые числа-близнецы» используется для обозначения пары простых чисел-близнецов; альтернативное название — простой близнец или простая пара .

Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как изучаются большие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией промежутков между соседними простыми числами становиться больше по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует наибольшая пара. Прорывная ^[1] работа Итана Чжана в 2013 году, а также работы Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время эта проблема остается нерешенной. ^[2]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов?

(еще нерешенные задачи по математике)

Характеристики

Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. ^[3] Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены как можно ближе к любым другим простым числам.

Первые несколько пар простых чисел-близнецов

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), ... OEIS : A077800 .

Пять — единственное простое число, принадлежащее двум парам, поскольку каждая пара простых чисел-близнецов больше (3, 5) имеет форму некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. ^[4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12. ${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$

Теорема Брюна

В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел-близнецов сходится . ^[5] Этот знаменитый результат, названный теоремой Брюна , был первым применением сита Брюна и помог положить начало развитию современной теории сита . Современную версию аргумента Брюна можно использовать, чтобы показать, что число простых чисел-близнецов меньше N не превышает

${\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}$

для некоторой абсолютной константы C > 0. ^[6] Фактически она ограничена сверху равенством

$${\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}$$

простого числа близнецов^[7] ${\displaystyle C_{2}}$

Гипотеза о простых числах-близнецах

Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, на протяжении многих лет был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел . В этом состоит содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также является простым. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для каждого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым. ^[8] Случай k = 1 гипотезы де Полиньяка — это гипотеза о простых числах-близнецах .

Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди-Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .

17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что для некоторого целого числа N , меньшего 70 миллионов, существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на  N . ^[9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. ^{[10] Впоследствии} Теренс Тао предложил совместную работу в рамках проекта Polymath Project по оптимизации границы Чжана. ^[11]

По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после объявления Чжана, граница была уменьшена до 246. ^[12] Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был более простым, чем подход Чжана, и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы для наименьшего f ( m ) , необходимые для того, чтобы гарантировать, что бесконечно много интервалов ширины f ( m ) содержат по крайней мере m простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта-Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт Polymath Project утверждает, что оценка равна 12 и 6 соответственно. ^[12]

Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, а также существование нулей Зигеля .

Другие теоремы, более слабые, чем гипотеза о простых числах-близнецах.

В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c < 1 и бесконечное количество простых чисел p таких, что p ′ − p < c ln p , где p′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечное множество интервалов, содержащих два простых числа ( p , p ′) , если мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размерах по мере перехода к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат последовательно улучшался; в 1986 году Хельмут Майер показал, что можно использовать константу c <0,25 . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до c = 0,085786... . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что c можно выбрать сколь угодно малым, ^{[13] [14]} , т.е.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}$

С другой стороны, этот результат не исключает того, что интервалов, содержащих два простых числа, не может быть бесконечно много, если мы позволяем интервалам только увеличиваться в размерах, как, например, c ln ln p .

Приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама или несколько более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 или n + 20 — простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n , n + 2 , n + 4 и n + 6 являются простыми.

Результат Итан Чжана ,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},}$

является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках проекта Polymath и работа Мейнарда уменьшили границу: нижний предел не превышает 246. ^{[15] [16]}

Догадки

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

Первая гипотеза Харди-Литтлвуда (названная в честь Г.Х. Харди и Джона Литтлвуда ) представляет собой обобщение гипотезы о простых числах-близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Обозначим через число простых чисел p ⩽ x таких, что p + 2 также является простым. Определим константу простого близнеца C ₂ как ^[17] ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$

$${\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .}$$

p ≥ 3.

$${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}}$$

стремится кx^[6]интегрированием по частям

Гипотезу можно обосновать (но не доказать), если предположить, что она описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в приведенной выше формуле. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$

Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда неверна.

Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .

Гипотеза Полиньяка

Гипотеза Полиньяка 1849 года утверждает, что для каждого положительного четного числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p' таких, что p ' - p = k (т.е. существует бесконечно много простых пробелов размера k ). Случай k = 2 представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не доказана и не опровергнута ни для какого конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения k . Действительно, если бы такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существовало бы не более конечного числа n таких, что для всех m < N и, следовательно, для достаточно большого n мы имеем , что противоречило бы результату Чжана. ^[8] ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}$ ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}$

Большие простые числа-близнецы

Начиная с 2007 года, два проекта распределенных вычислений , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордных по величине простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 года ^[update]самая крупная известная пара простых чисел-близнецов составляет 2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1 ^[18] с 388 342 десятичными цифрами. Он был обнаружен в сентябре 2016 года. ^[19]

Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10.¹⁸ . ^{[20] [21]}

Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × 10.¹⁵ показывает, что если количество таких пар меньше x равно f  ( x ) · x  /(log x ) ² , то f  ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается примерно до 1,3 по мере того, как x стремится к бесконечности. Согласно гипотезе Харди-Литтлвуда, предельное значение f  ( x ) равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна ).

Другие элементарные свойства

Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если только одно из них не равно 3. Таким образом, пять — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Младший член пары по определению является простым числом Чена .

Доказано ^[22] , что пара ( m ,  m  + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}$

Если m  −4 или m  +6 также простое число, то эти три простых числа называются тройкой простых чисел .

Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1 n должно заканчиваться цифрой 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). .

Изолированное простое число

Изолированное простое число (также известное как простое простое число или простое число, не являющееся близнецом ) — это такое простое число p , что ни p  − 2, ни p  + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 — составные .

Первые несколько изолированных простых чисел

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

Из теоремы Брюна следует , что почти все простые числа изолированы в том смысле, что отношение числа изолированных простых чисел, меньших заданного порога n , к числу всех простых чисел, меньших, чем n , стремится к 1 при стремлении n к бесконечности.

Смотрите также

• Кузен Прайм
• Премьер-разрыв
• Простой k -кортеж
• Премьер четверка
• Премьер тройка
• Сексуальный премьер

Рекомендации

1. Томас, Келли Дивайн (лето 2014 г.). «Захватывающее математическое путешествие Итан Чжана». Письмо института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.
2. Тао, Терри, доктор философии. (ведущий) (7 октября 2014 г.). Маленькие и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Департамент математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube.
3. «Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)» (обычный текст) . Списки. Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
4. Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (прошлые 2 и 3) имеют формы 6n+1 и 6n−1?». Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Проверено 27 сентября 2018 г.
5. Брун, В. (1915). «Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare» [О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел]. Архив Mathematik og Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN  0365-4524. ЯФМ  45.0330.16.
6. Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . Всемирная научная. стр. 313 и 334–335. ISBN 981-256-080-7. Збл  1074.11001.
7. Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс-Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.
8. де Полиньяк, А. (1849). «Recherches nouvelles sur les nombres premiers» [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском языке). 29 : 397–401. [Из стр. 400] «1 ^er Théorème. Tout nombre пары est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ...» (1-я теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел в бесконечном несколько способов...)
9. Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары». Природа . дои : 10.1038/nature.2013.12989. ISSN  0028-0836.
10. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР  3171761.
11. Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Polymath: ограниченные промежутки между простыми числами».
12. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Полимат (michaelnielsen.org) . Проверено 27 марта 2014 г.
13. Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаси, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами». Японская академия. Слушания . Серия А. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . дои : 10.3792/pjaa.82.61. MR  2222213. S2CID  18847478.
14. Голдстон, Д.А .; Грэм, Юго-Запад; Пинц, Дж .; Йылдырым, CY (2009). «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами». Труды Американского математического общества . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . дои : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6. MR  2515812. S2CID  12127823.
15. Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7. МР  3272929. S2CID  55175056.
16. Полимат, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук . 1 . искусство 12, 83. arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР  3373710.
17. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005597 (десятичное разложение константы простого числа-близнеца)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.
18. Колдуэлл, Крис К. «2996863034895 × 21290000 — 1». База данных Прайм . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
19. "Найдены мировые рекорды простых чисел-близнецов!". primegrid.com . 20 сентября 2016 г.
20. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов ниже 10n)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.
21. Оливейра и Силва, Томас (7 апреля 2008 г.). «Таблицы значений π(x) и π2(x)». Университет Авейру . Проверено 7 января 2011 г.
22. П. А. Клемент (1949). «Сравнения множеств простых чисел». Американский математический ежемесячник . 56 : 23–25. дои : 10.2307/2305816. JSTOR  2305816.

дальнейшее чтение

• Слоан, Нил ; Плуфф, Саймон (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.

Внешние ссылки

• «Близнецы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Топ-20 простых чисел-близнецов на сайте Prime Pages Криса Колдуэлла
• Ксавье Гурдон, Паскаль Себа: Введение в простые числа-близнецы и константу Бруна
• «Официальный пресс-релиз» о 58711-значной записи простых чисел-близнецов
• Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы». Математический мир .
• 20 000 первых простых чисел-близнецов
• Полиматематика: ограниченные промежутки между простыми числами
• Внезапный прогресс в решении проблемы простых чисел взволновал математиков