Сигел ноль

Потенциальный контрпример к обобщенной гипотезе Римана.

В математике , точнее в области аналитической теории чисел , ноль Ландау-Зигеля или просто ноль Зигеля (также известный как исключительный ноль ^[1] ), названный в честь Эдмунда Ландау и Карла Людвига Зигеля , является типом потенциального контрпримера к обобщенная гипотеза Римана о нулях L-функций Дирихле, связанных с полями квадратичных чисел . Грубо говоря, это возможные нули, очень близкие (в количественном смысле) к . ${\displaystyle s=1}$

Мотивация и определение

То, как нули Зигеля появляются в теории L-функций Дирихле, представляет собой потенциальные исключения из классических областей без нулей , которые могут возникнуть только тогда, когда L-функция связана с реальным характером Дирихле.

Настоящие примитивные персонажи Дирихле

Для целого числа q ≥ 1 характер Дирихле по модулю q является арифметической функцией, удовлетворяющей следующим свойствам: ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

• ( Вполне мультипликативный ) для каждого m , n ; ${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• (периодический) для каждого n ; ${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (Поддержка) , если . ${\textstyle \chi (n)=0}$ ${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

Т. е. х — поднятие гомоморфизма . ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

Тривиальный характер — это характер по модулю 1, а главный характер по модулю q , обозначаемый , — это подъем тривиального гомоморфизма . ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$

Характер называется импримитивным, если существует некоторое целое число с такое, что индуцированный гомоморфизм факторизуется как ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ ${\textstyle d\neq q}$ ${\textstyle d\mid q}$ ${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

для какого-то персонажа ; в противном случае называется примитивным . ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$ ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$

Символ является вещественным (или квадратичным ), если он равен своему комплексно-сопряженному элементу (определяемому как ), или, что то же самое, если . Действительные примитивные характеры Дирихле находятся во взаимно однозначном соответствии с символами Кронекера для фундаментального дискриминанта ( т. е. дискриминанта поля квадратичных чисел ). ^[2] Один из способов определения — это полностью мультипликативная арифметическая функция, определяемая (для простого числа p ): ${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$ ${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Таким образом, принято писать , что это настоящие примитивные символы по модулю . ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$ ${\textstyle |D|}$

Классические области без нуля

L-функция Дирихле, связанная с характером, определяется как аналитическое продолжение ряда Дирихле, определенного для , где s - комплексная переменная . Для неглавного это продолжение является целым ; в противном случае он имеет простой полюс вычета в точке s = 1 как единственную особенность. При L-функции Дирихле можно разложить в произведение Эйлера , откуда следует, что не имеет нулей в этой области. Теорема о простых числах для арифметических прогрессий эквивалентна (в определенном смысле) теореме ( ). Более того, с помощью функционального уравнения мы можем отразить эти области и прийти к выводу, что, за исключением отрицательных целых чисел той же четности, что и χ , ^[3] все остальные нули должны лежать внутри . Эта область называется критической полосой , а нули в этой области называются нетривиальными нулями . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$ ${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle s\mapsto 1-s}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

Классическая теорема о областях без нуля (Грёнволл, ^[4] Ландау, ^[5] Титчмарш ^[6] ) утверждает, что существует эффективно вычислимое действительное число такое, что при записи комплексной переменной функция не имеет нулей в области ${\textstyle A>0}$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

если нереально. Если действительно, то в этой области имеется не более одного нуля, который обязательно должен быть вещественным и простым . Этот возможный ноль является так называемым нулем Зигеля . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle \chi }$

Обобщенная гипотеза Римана (GRH) утверждает, что для каждого все нетривиальные нули лежат на прямой . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

Определение «нулей Зигеля»

Нерешенная задача по математике :

Существует ли что для каждого фундаментального дискриминанта D ? ${\textstyle \delta >0}$ ${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$ ${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$

(еще нерешенные задачи по математике)

Представленное определение нулей Зигеля связывает их с константой A в области без нулей. Это часто усложняет работу с этими объектами, поскольку во многих ситуациях конкретное значение константы A не имеет особого значения. ^[1] Следовательно, обычно приходится работать с более определенными утверждениями, утверждающими или отрицающими существование бесконечного семейства таких нулей, например:

• Гипотеза («нет нулей Зигеля»): Если ${\textstyle \beta _{D}}$ обозначает наибольший действительный ноль , то ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

Возможность существования или отсутствия нулей Зигеля оказывает большое влияние на тесно связанные темы теории чисел, при этом гипотеза об отсутствии нулей Зигеля служит более слабой (хотя и мощной, а иногда и полностью достаточной) заменой GRH (см. ниже). для примера, включающего теорему Сигела-Тацудзавы и проблему идонеального числа ). Эквивалентной формулировкой «отсутствия нулей Зигеля», которая не ссылается на нули явно, является утверждение:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

Эквивалентность можно вывести, например, используя области без нулей и классические оценки количества нетривиальных нулей до определенной высоты. ^[7] ${\textstyle L(s,\chi )}$

Оценки Ландау – Зигеля

Первый прорыв в работе с этими нулями был сделан Ландау, который показал, что существует эффективно вычислимая константа, такая что для любых и вещественных примитивных характеров с различными модулями, если они являются действительными нулями соответственно, то ${\displaystyle B>0}$ ${\textstyle \chi _{D}}$ ${\textstyle \chi _{D'}}$ ${\textstyle \beta ,\beta '}$ ${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

Это значит, что если нули Зигеля существуют, то их не может быть слишком много. Это доказывается с помощью «перекручивающего» аргумента, который сводит проблему к дзета-функции Дедекинда биквадратичного поля . Этот прием до сих пор широко применяется в современных работах. ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

Этот «эффект отталкивания» (см. феномен Дойринга-Хейльбронна ), после более тщательного анализа, привел Ландау к его теореме 1936 года, ^[8] , которая утверждает, что для каждого существует такое, что если является действительным нулем , то . Однако в том же году в том же номере того же журнала Сигел ^[9] прямо улучшил эту оценку до ${\textstyle \varepsilon >0}$ ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

Доказательства Ландау и Зигеля не дают явного способа вычисления , поэтому являются примерами неэффективного результата . ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

Теорема Сигела – Тацудзавы.

В 1951 году Тикао Тацудзава доказал «почти» эффективную версию теоремы Сигела, ^[10] показав, что для любого фиксированного , если то ${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$ ${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

за возможным исключением не более одного фундаментального дискриминанта. Используя «почти эффективность» этого результата, П. Дж. Вайнбергер (1973) ^[11] показал, что список Эйлера из 65 идонеальных чисел полон, за исключением не более двух элементов. ^[12]

Связь с квадратичными полями

Нули Зигеля часто кажутся чем-то большим, чем просто искусственная проблема в аргументах в пользу вывода областей без нулей, поскольку оценки областей без нулей глубоко связаны с арифметикой квадратичных полей. Например, тождество можно интерпретировать как аналитическую формулировку квадратичной взаимности (см. §Утверждение закона взаимности Артина в терминах L-функций ). Точная связь между распределением нулей вблизи s = 1 и арифметикой возникает из формулы числа классов Дирихле : ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

где:

• ${\textstyle h(D)}$— идеальное число классов ; ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$— количество корней из единицы в ( D < 0 ); ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$является фундаментальной единицей ( D > 0 ). ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Таким образом, оценки наибольшего реального нуля можно перевести в оценки для (посредством, например, того факта, что для ), ^[13] которые, в свою очередь, становятся оценками для . Классические работы по этой теме рассматривают эти три величины по существу как взаимозаменяемые, хотя случай D > 0 вносит дополнительные сложности, связанные с фундаментальной единицей. ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$ ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$ ${\textstyle h(D)}$

Нули Зигеля как «квадратичные явления»

В каком-то смысле трудность, связанная с явлением нулей Зигеля в целом, полностью ограничивается квадратичными расширениями. Например, следствием теоремы Кронекера-Вебера является то, что дзета-функция Дедекинда абелева числового поля может быть записана как произведение L-функций Дирихле. ^[14] Таким образом, если есть нуль Зигеля, должно существовать некоторое подполе с таким, которое имеет нуль Зигеля. ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

Хотя неабелев случай можно разложить только на более сложные L-функции Артина , то же самое верно: ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• Теорема ( Старк , 1974) . ^[15] Пусть числовое поле степени n > 1 . Существует константа ( если нормально, иначе), такая что, если в диапазоне есть вещественное число ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle c(n)}$ ${\textstyle =4}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle =4n!}$ ${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

при , то существует квадратичное подполе такое, что . Здесь – дискриминант поля расширения . ${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$ ${\textstyle \Delta _{K}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

«Нет нулей Зигеля» для D

Когда имеешь дело с квадратичными полями, этот случай имеет тенденцию быть неуловимым из-за поведения фундаментальной единицы. Таким образом, принято рассматривать случаи и отдельно. Гораздо больше известно о случае отрицательного дискриминанта: ${\textstyle D>0}$ ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle D>0}$

Нижние оценки для h ( D )

В 1918 году Эрих Хекке показал, что «отсутствие нулей Зигеля» для означает, что ^[5] (для сравнения см. «Проблему о числе классов »). Это можно расширить до эквивалентности, поскольку это является следствием теоремы 3 в работе Гранвилля – Старка (2000): ^[16] ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

где суммирование проводится по приведенным двоичным квадратичным формам дискриминанта . Используя это, Гранвилл и Старк показали, что определенная единая формулировка гипотезы abc для числовых полей подразумевает «отсутствие нулей Зигеля» для отрицательных дискриминантов. ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\textstyle D}$

В 1976 году Дориан Голдфельд ^[17] доказал следующую безусловную эффективную нижнюю оценку для : ${\textstyle h(D)}$

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Комплексное умножение

Другая эквивалентность «отсутствию нулей Зигеля» для может быть выражена в терминах верхних оценок высот сингулярных модулей : ${\textstyle D<0}$

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

где:

• ${\textstyle h}$— абсолютная логарифмическая наивная высота числовых полей;
• ${\textstyle j}$– j-инвариантная функция ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

Число порождает поле класса Гильберта , которое является его максимальным неразветвленным абелевым расширением. ^[18] Эта эквивалентность является прямым следствием результатов Гранвилля–Старка (2000), ^[16] и может быть замечена в К. Тафула (2019). ^[19] ${\textstyle j(\tau _{D})}$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Точная связь между высотами и значениями L-функций была получена Пьером Колмезом (1993, ^[20] 1998 ^[21] ), который показал, что для эллиптической кривой с комплексным умножением на мы имеем ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

где обозначает высоту Фальтингса . ^[22] Используя тождества ^[23] и , ^[24] теорема Колмеза также дает доказательство приведенной выше эквивалентности. ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$ ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$ ${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

Последствия существования нулей Зигеля

Хотя ожидается, что обобщенная гипотеза Римана будет верной, поскольку гипотеза «об отсутствии нулей Зигеля» остается открытой, интересно изучить, какие последствия могут повлечь за собой столь серьезные контрпримеры к GRH. Другая причина изучить эту возможность заключается в том, что доказательство некоторых безусловных теорем требует разделения на два случая: сначала доказательство, предполагающее, что нули Зигеля не существуют, а затем другое, предполагающее, что нули Зигеля действительно существуют. Классической теоремой такого типа является теорема Линника о наименьшем простом числе арифметической прогрессии .

Ниже приведены некоторые примеры фактов, вытекающих из существования нулей Зигеля.

Бесконечность простых чисел-близнецов

Поразительным результатом в этом направлении является результат Роджера Хита-Брауна 1983 года ^[25] , который, следуя Теренсу Тао , ^[26] можно сформулировать следующим образом:

• Теорема (Хит-Браун, 1983) . Верно хотя бы одно из следующих утверждений: (1) Нулей Зигеля нет. ( 2) Существует бесконечно много простых чисел-близнецов .

Проблема четности

Проблема четности в теории решета примерно относится к тому факту, что аргументы просеивания, вообще говоря, не могут определить, имеет ли целое число четное или нечетное количество простых делителей. Это приводит к тому, что многие верхние границы ситовых оценок, например, оценки линейного сита ^[27] , отличаются в 2 раза от ожидаемого значения. В 2020 году Гранвиль ^[28] показал, что в предположении существования нулей Зигеля общие верхние оценки проблемы интервалов просеивания оптимальны, а это означает, что дополнительный множитель 2, возникающий из явления четности, таким образом, не будет искусственным ограничение метода.

Смотрите также

• Обобщенная гипотеза Римана
• Феномен Дойринга – Хейльбронна
• Проблема с номером класса
• Теорема Брауэра – Зигеля
• Теорема Зигеля–Вальфиса

Рекомендации

1. См. Иванец (2006).
2. См. Satz 4, §5 Zagier (1981).
3. χ (mod q ) четно , если χ (-1) = 1 , и нечетно, если χ (-1) = -1 .
4. Грёнвалль, TH (1913). «Серия Дирихле, корреспондент комплексов персонажей». Рендиконти ди Палермо (на французском языке). 35 : 145–159. дои : 10.1007/BF03015596. S2CID  121161132.
5. Ландау , Э. (1918). «Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper». Göttinger Nachrichten (на немецком языке): 285–295.
6. Титчмарш, ЕС (1930). «Проблема делителя». Рендиконти ди Палермо . 54 : 414–429. дои : 10.1007/BF03021203. S2CID  119578445.
7. См. главу 16 Давенпорта (1980).
8. Ландау, Э. (1936). «Bemerkungen zum Heilbronnschen Satz». Acta Arithmetica (на немецком языке): 1–18.
9. Сигел, CL (1935). «Über die Klassenzahl Squaretischer Zahlkörper» [О числах классов квадратичных полей]. Acta Arithmetica (на немецком языке). 1 (1): 83–86. дои : 10.4064/aa-1-1-83-86 .
10. Татузава, Т. (1951). «К теореме Зигеля». Японский математический журнал . 21 : 163–178. дои : 10.4099/jjm1924.21.0_163 .
11. Вайнбергер, П.Дж. (1973). «Экспоненты группы классов комплексных квадратичных полей». Акта Арифметика . 22 (2): 117–124. дои : 10.4064/aa-22-2-117-124 .
12. Кани, Эрнст (2011). «Идональные числа и некоторые обобщения» (PDF) . Анналы математических наук Квебека . 35 (2). Замечание 24.
13. См. (11) в главе 14 Давенпорта (1980).
14. Теорема 10.5.25 в книге Коэна Х. (2007). Теория чисел: Том II: Аналитические и современные инструменты. Тексты для аспирантов по математике, теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-49893-5..
15. Лемма 8 в книге Stark, HM (1 июня 1974 г.). «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра-Зигеля». Математические изобретения . 23 (2): 135–152. Бибкод : 1974InMat..23..135S. дои : 10.1007/BF01405166. ISSN  1432-1297. S2CID  119482000.
16. Гранвиль, А.; Старк, Х.М. (1 марта 2000 г.). «ABC не подразумевает никаких «нулей Зигеля» для L-функций символов с отрицательным дискриминантом». Математические изобретения . 139 (3): 509–523. Бибкод : 2000InMat.139..509G. дои : 10.1007/s002229900036. ISSN  1432-1297. S2CID  6901166.
17. Голдфельд, Дориан М. (1976). «Число классов квадратичных полей и гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze (на французском языке). 3 (4): 623–663.
18. Теорема II.4.1 в книге Сильвермана, Джозефа Х. (1994), Расширенные темы арифметики эллиптических кривых , Тексты для выпускников по математике , том. 151, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94325-1.
19. Тафула, К. (2021). «О нулях Ландау – Зигеля и высотах сингулярных модулей». Акта Арифметика . 201 : 1–28. arXiv : 1911.07215 . дои : 10.4064/aa191118-18-5. S2CID  208138549.
20. Кольмез, Пьер (1993). «Периоды разнообразия Abéliennes в комплексе умножения». Анналы математики . 138 (3): 625–683. дои : 10.2307/2946559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946559.
21. Кольмез, Пьер (1 мая 1998 г.). «Sur la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à complexe multiplication». Математическая композиция . 111 (3): 359–369. дои : 10.1023/A:1000390105495 . ISSN  1570-5846.
22. См. диаграмму в подразделе 0.6 Colmez (1993). В правом верхнем углу этой диаграммы есть небольшая опечатка, вместо этого следует читать " ". ${\textstyle -2h_{\mathrm {Fal} }(X)-{\frac {1}{2}}\log D}$
23. Предложение 2.1, Глава X Корнелла, Г.; Сильверман, Дж. Х., ред. (1986). Арифметическая геометрия. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96311-2.
24. Следствие функционального уравнения , где γ = 0,57721... — константа Эйлера – Маскерони .
25. Хит-Браун, доктор медицинских наук (1983-09-01). «Простые близнецы и зеро Сигела». Труды Лондонского математического общества . с3-47 (2): 193–224. дои : 10.1112/plms/s3-47.2.193. ISSN  0024-6115.
26. «Теорема Хита-Брауна о простых близнецах и нулях Зигеля». Что нового . 27 августа 2015 г. Проверено 13 марта 2021 г.
27. См. главу 9 Натансона, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел. Классические основы. Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6.
28. Гранвилл, А. (2020). «Интервалы просеивания и нули Зигеля». arXiv : 2010.01211 [math.NT].

• Давенпорт, Х. (1980). Мультипликативная теория чисел. Тексты для аспирантов по математике. Том. 74. дои : 10.1007/978-1-4757-5927-3. ISBN 978-1-4757-5929-7. ISSN  0072-5285.
• Иванец, Х. (2006), Фридлендер, Дж.Б.; Хит-Браун, ДР; Иванец, Х.; Качоровски Дж. (ред.), «Беседы об исключительном характере», Аналитическая теория чисел: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Четраро, Италия, 11–18 июля 2002 г. , Конспекты лекций по математике, том. 1891, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 97–132, doi : 10.1007/978-3-540-36364-4_3, ISBN. 978-3-540-36364-4
• Монтгомери, HL ; Воган, RC (2006). Мультипликативная теория чисел I: Классическая теория. Кембриджские исследования по высшей математике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Загер, Д.Б. (1981). Zetafunktionen und Squaretische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Hochschultext (на немецком языке). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6.