Премьер-разрыв

Разница между двумя последовательными простыми числами

Распределение частот простых чисел для простых чисел до 1,6 миллиарда. Пики возникают при кратности 6. ^[1]

Промежуток между простыми числами — это разница между двумя последовательными простыми числами . n - й простой пробел, обозначаемый _gn или g ( pn ) _, представляет собой разность между ( n  + 1)-м и n -м простыми числами, т.е.

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

Имеем g ₁ = 1, g ₂ = g ₃ = 2 и g ₄ = 4. Последовательность ( g _n ) простых пробелов тщательно изучена; однако многие вопросы и предположения остаются без ответа.

Первые 60 простых пробелов:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (последовательность A001223 в OEIS ).

По определению g _n каждое простое число можно записать как

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

Простые наблюдения

Первый, наименьший и единственный нечетный простой пробел — это разрыв размером 1 между 2, единственным четным простым числом, и 3, первым нечетным простым числом. Все остальные простые промежутки четные. Существует только одна пара последовательных пробелов длиной 2: пробелы _{g2 и g3} между простыми числами ₃ , 5 и 7.

Для любого целого числа n факториал n ! является произведением всех положительных целых чисел до n включительно . Тогда в последовательности

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n}$

первое слагаемое делится на 2, второе слагаемое делится на 3 и так далее. Таким образом, это последовательность из n - 1 последовательных составных целых чисел, и она должна принадлежать промежутку между простыми числами, имеющими длину не менее n . Отсюда следует, что между простыми числами есть сколь угодно большие промежутки, то есть для любого целого числа N существует целое число m с g _m ≥ N.

Однако пробелы между простыми числами из n чисел могут возникать и в числах, намного меньших, чем n !. Например, первый пробел между простыми числами размером больше 14 возникает между простыми числами 523 и 541, а 15! это гораздо большее число 1307674368000.

Средний разрыв между простыми числами увеличивается пропорционально натуральному логарифму этих простых чисел, и, следовательно, отношение разрыва между простыми числами к участвующим простым числам уменьшается (и асимптотически равно нулю). Это следствие теоремы о простых числах . С эвристической точки зрения мы ожидаем, что вероятность того, что отношение длины промежутка к натуральному логарифму больше или равно фиксированному положительному числу k , будет равна e ^{- k} ; следовательно, отношение может быть сколь угодно большим. Действительно, отношение пробела к количеству цифр задействованных целых чисел действительно неограниченно увеличивается. Это следствие результата Вестзинтиуса. ^[2]

В противоположном направлении гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что g _n = 2 для бесконечного числа целых чисел n .

Численные результаты

Обычно коэффициент называют добротностью зазора g _n . По состоянию на апрель 2022 года самый большой известный пробел между простыми числами с идентифицированными вероятными концами пробелов в простых числах имеет длину 7186572, с 208095-значными вероятными простыми числами и достоинством M  = 14,9985, найденный Михиэлем Янсеном с помощью программы сита, разработанной Дж. К. Андерсеном. ^{[3] [4]} Самый большой известный пробел в простых числах с идентифицированными проверенными простыми числами на концах пробела имеет длину 1113106 и ценность 25,90, при этом 18662-значные простые числа были найдены П. Ками, М. Янсеном и Дж. К. Андерсеном. ^{[5] [6]} ${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$^{[обновлять]}

По данным сети Gapcoin, по состоянию на сентябрь 2022 года ^{[обновлять]}наибольшее известное значение качества и первое значение качества, превышающее 40, составляет 41,93878373 с 87-значным простым числом 2​9​3​7​0​3​2​3​4 0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​ 6 3 4 2 5 7 0 9 0 7 5 5 7 4 8 1 1 7 6 2 0 9 8 5 8 8 7 9 8 2 1 7 8 9 5 7 2 8 5 8 6 7 6 7 2 8 1 4 3 2​2​7. Разрыв между ним и следующим простым числом составляет 8350. ^{[7] [8]}

Отношение Крамера-Шенкса-Гранвилля представляет собой отношение g _n / (ln( p _n )) ² . ^[7] Если отбросить аномально высокие значения отношения для простых чисел 2, 3, 7, то наибольшее известное значение этого отношения составляет 0,9206386 для простого числа 1693182318746371. Другие рекордные термины можно найти на сайте OEIS : A111943 .

Мы говорим, что g _n является максимальным разрывом , если g _m < g _n для всех m < n . По состоянию на декабрь 2023 года ^{[обновлять]}самый большой известный максимальный пробел между простыми числами имеет длину 1552, найденный Крейгом Лойзидесом. Это 81-й максимальный пробел между простыми числами, и он встречается после простого числа 18470057946260698231. ^[12] Другие рекордные (максимальные) размеры пробелов можно найти в OEIS : A005250 , с соответствующими простыми числами p _n в OEIS : A002386 и значениями n. в OEIS : A005669 . Предполагается, что последовательность максимальных пробелов до n-го простого числа содержит около членов ^[13] (см. таблицу ниже). ${\displaystyle 2\ln n}$

Дальнейшие результаты

Верхние границы

Постулат Бертрана , доказанный в 1852 году, гласит, что между k и 2 k всегда есть простое число , поэтому, в частности, p _{n  +1}  < 2 p _n , что означает g _n  <  p _n  .

Теорема о простых числах , доказанная в 1896 году, гласит, что средняя длина промежутка между простым числом p и следующим простым числом будет асимптотически приближаться к ln( p ), натуральному логарифму числа p , для достаточно больших простых чисел. Фактическая длина зазора может быть намного больше или меньше этой. Однако из теоремы о простых числах можно вывести верхнюю оценку длины пробелов в простых числах:

Для каждого найдется такое число, что для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$.

Можно также сделать вывод, что промежутки становятся сколь угодно меньшими пропорционально простым числам: частное

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

Хохайзель (1930) был первым, кто показал ^[14] , что существует константа θ < 1 такая, что

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

следовательно, показывая, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}$

для достаточно большого  n .

Хохайзель получил возможное значение 32999/33000 для θ . Это было улучшено до 249/250 Хейльбронном [ ^15] и до θ = 3/4 + ε для любого ε > 0 Чудаковым . ^[16]

Основное улучшение принадлежит Ингэму ^[17] , который показал, что для некоторой положительной константы c

если тогда для любого ${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$ ${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$ ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

Здесь O относится к большому обозначению O , ζ обозначает дзета-функцию Римана , а π — функцию подсчета простых чисел . Зная, что любое c > 1/6 допустимо, получаем, что θ может быть любым числом, большим 5/8.

Непосредственным следствием результата Ингэма является то, что между n ³ и ( n  + 1) ³ всегда существует простое число , если n достаточно велико. ^[18] Гипотеза Линделёфа подразумевала бы, что формула Ингхема справедлива для c любого положительного числа: но даже этого было бы недостаточно, чтобы предположить, что существует простое число между n ² и ( n  + 1) ² для достаточно большого n ( см . предположение ). Чтобы проверить это, потребуется более сильный результат, такой как гипотеза Крамера .

Хаксли в 1972 году показал, что можно выбрать θ = 7/12 = 0,58(3). ^[19]

Результат, полученный Бейкером, Харманом и Пинцем в 2001 году, показывает, что θ можно принять равным 0,525. ^[20]

В 2005 году Дэниел Голдстон , Янош Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

и 2 года спустя улучшил это ^[21] до

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

В 2013 году Итан Чжан доказал, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

это означает, что существует бесконечно много пробелов, не превышающих 70 миллионов. ^[22] Совместными усилиями проекта Polymath Project по оптимизации границы Чжана удалось снизить границу до 4680 20 июля 2013 года. ^[23] В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард представил новую усовершенствованную версию сита GPY , позволяющую ему уменьшить границу до 600 и покажите, что для любого m существует ограниченный интервал с бесконечным числом трансляций, каждый из которых содержит m простых чисел. ^[24] Используя идеи Мейнарда, проект Polymath улучшил оценку до 246; ^{В [23] [25]} в предположении гипотезы Эллиотта–Хальберштама и ее обобщенной формы оценка была уменьшена до 12 и 6 соответственно. ^[23]

Нижние границы

В 1931 году Эрик Вестзинтиус доказал, что максимальные пробелы в простых числах растут более чем логарифмически. То есть ^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

В 1938 году Роберт Рэнкин доказал существование константы c  > 0 такой, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

справедливо для бесконечно многих значений n , улучшая результаты Вестзинтиуса и Пауля Эрдеша . Позже он показал, что можно взять любую константу c  <  e ^γ , где γ — константа Эйлера–Машерони . Значение константы c было улучшено в 1997 году до любого значения меньше 2 e ^γ . ^[26]

Пол Эрдеш предложил премию в 10 000 долларов за доказательство или опровержение того, что константу c в приведенном выше неравенстве можно считать сколь угодно большой. ^[27] Это подтвердили в 2014 году Форд-Грин-Конягин-Тао и независимо Джеймс Мейнард. ^{[28] [29]}

Результат был дополнительно улучшен до

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

для бесконечно многих значений n по Форду–Грину–Конягину–Мейнарду–Тао. ^[30]

В духе первоначальной премии Эрдеша Теренс Тао предложил 10 000 долларов США за доказательство того, что в этом неравенстве c можно взять сколь угодно большим. ^[31]

Также были определены нижние оценки для цепочек простых чисел. ^[32]

Гипотезы о промежутках между простыми числами

Функция простого разрыва

Еще лучшие результаты возможны в рамках гипотезы Римана . Харальд Крамер доказал ^[33] , что из гипотезы Римана следует, что разрыв g _n удовлетворяет условию

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

используя большое обозначение О. (На самом деле для этого результата требуется только более слабая гипотеза Линделёфа , если можно допустить бесконечно больший показатель степени. ^[34] ) Позже он предположил, что пробелы еще меньше. Грубо говоря, гипотеза Крамера утверждает, что

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!.}$

Гипотеза Фирозбахта утверждает, что (где – n-е простое число) является строго убывающей функцией от n , т. е. ${\displaystyle p_{n}^{1/n}\!}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}$

Если эта гипотеза верна, то функция удовлетворяет ^[35] . Она подразумевает сильную форму гипотезы Крамера, но несовместима с эвристикой Гранвилля и Пинца ^{[36] [37] [38]} , которые предполагают, что бесконечно часто для любого где обозначает Константа Эйлера-Машерони . ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.}$ ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \gamma }$

Между тем гипотеза Оппермана слабее гипотезы Крамера. Ожидаемый размер разрыва с гипотезой Оппермана составляет порядка

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

В результате согласно гипотезе Оппермана существует (вероятно ), для которого каждое натуральное число удовлетворяет условию ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=30}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

Гипотеза Андрики , которая является более слабой, чем гипотеза Оппермана, утверждает, что ^[39]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это небольшое усиление гипотезы Лежандра о том, что между последовательными квадратными числами всегда находится простое число.

Гипотеза Полиньяка утверждает, что каждое положительное четное число k бесконечно часто встречается как простое число. Случай k  = 2 представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не была доказана или опровергнута для какого-либо конкретного значения  k , но обсуждавшиеся выше улучшения результата Чжана доказывают, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения k  ≤ 246.

Как арифметическая функция

Промежуток g _n между n -м и ( n  + 1)-м простыми числами является примером арифметической функции . В этом контексте ее обычно обозначают d _n и называют функцией простой разности. ^[39] Функция не является ни мультипликативной , ни аддитивной .

Смотрите также

• Математический портал

• Неравенство Бонса
• Гауссов ров
• Твин Прайм

Рекомендации

1. Арес, Саул; Кастро, Марио (1 февраля 2006 г.). «Скрытая структура в случайности последовательности простых чисел?». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 360 (2): 285–296. arXiv : cond-mat/0310148 . doi :10.1016/j.physa.2005.06.066. S2CID  16678116.
2. Westzynthius, E. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (на немецком языке), 5 : 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
3. Мянсен (16 апреля 2022 г.). «Объявление на Mersenneforum.org». Мерсеннефорум.org . Архивировано из оригинала 29 сентября 2022 года.
4. mart_r (14 июля 2022 г.). «Объявление о проверке на Mersenneforum.org». Мерсеннефорум.org . Архивировано из оригинала 27 июля 2022 года.
5. Андерсен, Йенс Крузе. «Топ-20 прайм-гэпов». Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 13 июня 2014 г.
6. Андерсен, Йенс Крузе (8 марта 2013 г.). «Мегаразрыв с достоинством 25,9». primerecords.dk . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
7. Nicely, Томас Р. (2019). «НОВЫЙ ПРЕМЬЕР-ГЭП МАКСИМАЛЬНО ИЗВЕСТНОЙ ЦЕННОСТИ». факультет.lynchburg.edu . Архивировано из оригинала 30 апреля 2021 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
8. "Prime Gap Records". Гитхаб . 11 июня 2022 г.
9. "Запись информации о простом разрыве" . ntheory.org . Архивировано из оригинала 13 октября 2016 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
10. Хорошо, Томас Р. (2019). «ТАБЛИЦЫ ПРОСТЫХ ПРОБЕЛ». факультет.lynchburg.edu . Архивировано из оригинала 27 ноября 2020 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
11. «20 лучших общих достоинств» . Список основных пробелов . Архивировано из оригинала 27 июля 2022 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
12. Андерсен, Йенс Крузе. «Рекордные пробелы в простых числах» . Проверено 28 января 2024 г.
13. Курбатов, А.; Вольф, М. (2020). «О первых появлениях пробелов между простыми числами в классе вычетов». Журнал целочисленных последовательностей . 23 (статья 20.9.3). arXiv : 2002.02115 . МР  4167933. S2CID  211043720. Збл  1444.11191. Архивировано из оригинала 12 апреля 2021 года . Проверено 3 декабря 2020 г.
14. Хохайзель, Г. (1930). «Основная проблема анализа». Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 33 : 3–11. ЖФМ  56.0172.02.
15. Хайльбронн, HA (1933). «Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel». Mathematische Zeitschrift . 36 (1): 394–423. дои : 10.1007/BF01188631. ЯФМ  59.0947.01. S2CID  123216472.
16. Чудаков, Н.Г. (1936). «О разнице двух соседних простых чисел». Мат. Сб . 1 : 799–814. Збл  0016.15502.
17. Ингхэм, AE (1937). «О разнице между последовательными простыми числами». Ежеквартальный математический журнал . Оксфордская серия. 8 (1): 255–266. Бибкод : 1937QJMat...8..255I. doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255.
18. Ченг, Юань-Ю Фу-Жуй (2010). «Явная оценка простых чисел между последовательными кубами». Рокки Маунт-Джей Математика . 40 : 117–153. arXiv : 0810.2113 . doi : 10.1216/rmj-2010-40-1-117. S2CID  15502941. Збл  1201.11111.
19. Хаксли, Миннесота (1972). «О разнице между последовательными простыми числами». Математические изобретения . 15 (2): 164–170. Бибкод : 1971InMat..15..164H. дои : 10.1007/BF01418933. S2CID  121217000.
20. Бейкер, RC; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II». Труды Лондонского математического общества . 83 (3): 532–562. CiteSeerX 10.1.1.360.3671 . дои : 10.1112/plms/83.3.532. S2CID  8964027. 
21. Голдстон, Дэниел А.; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Ялчин (2010). «Простые числа в кортежах II». Акта Математика . 204 (1): 1–47. arXiv : 0710.2728 . дои : 10.1007/s11511-010-0044-9. S2CID  7993099.
22. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР  3171761.
23. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Полимат. Архивировано из оригинала 28 февраля 2020 года . Проверено 21 июля 2013 г.
24. Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7. МР  3272929. S2CID  55175056.
25. DHJ Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук . 1 (12). arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР  3373710. S2CID  119699189.
26. Пинц, Дж. (1997). «Очень большие промежутки между последовательными простыми числами». Дж. Теория чисел . 63 (2): 286–301. doi : 10.1006/Jnth.1997.2081 .
27. Эрдеш, Пол; Боллобас, Бела; Томасон, Эндрю, ред. (1997). Комбинаторика, геометрия и вероятность: дань уважения Паулю Эрдешу. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 9780521584722. Архивировано из оригинала 29 сентября 2022 года . Проверено 29 сентября 2022 г.
28. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Тао, Теренс (2016). «Большие промежутки между последовательными простыми числами». Анна. математики. 183 (3): 935–974. arXiv : 1408.4505 . дои :10.4007/анналы.2016.183.3.4. MR  3488740. S2CID  16336889.
29. Мейнард, Джеймс (2016). «Большие промежутки между простыми числами». Анна. математики. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . дои :10.4007/анналы.2016.183.3.3. MR  3488739. S2CID  119247836.
30. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (2018). «Длинные промежутки между простыми числами». Дж. Амер. Математика. Соц. 31 (1): 65–105. arXiv : 1412.5029 . дои : 10.1090/джем/876. MR  3718451. S2CID  14487001.
31. Тао, Теренс (16 декабря 2014 г.). «Длинные промежутки между простыми числами / Что нового». Архивировано из оригинала 9 июня 2019 года . Проверено 29 августа 2019 г.
32. Форд, Кевин; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (13 октября 2015 г.). «Цепочки больших промежутков между простыми числами». arXiv : 1511.04468 [math.NT].
33. Крамер, Харальд (1936). «О порядке разницы между последовательными простыми числами». Акта Арифметика . 2 : 23–46. дои : 10.4064/aa-2-1-23-46 .
34. Ингхэм, Альберт Э. (1937). «О разнице между последовательными простыми числами» (PDF) . Кварта. Дж. Математика . Оксфорд. 8 (1): 255–266. Бибкод : 1937QJMat...8..255I. doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255. Архивировано (PDF) из оригинала 5 декабря 2022 г.
35. Синха, Нилотпал Канти (2010). «О новом свойстве простых чисел, приводящем к обобщению гипотезы Крамера». arXiv : 1010.1399 [math.NT]..
36. Гранвилл, Эндрю (1995). «Харальд Крамер и распределение простых чисел» (PDF) . Скандинавский актуарный журнал . 1 :12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847 . дои : 10.1080/03461238.1995.10413946. Архивировано (PDF) из оригинала 23 сентября 2015 г. Проверено 2 марта 2016 г. .
37. Гранвилл, Эндрю (1995). «Неожиданные нарушения в распределении простых чисел» (PDF) . Материалы Международного конгресса математиков . Том. 1. С. 388–399. дои : 10.1007/978-3-0348-9078-6_32. ISBN 978-3-0348-9897-3. Архивировано (PDF) из оригинала 7 мая 2016 г. Проверено 2 марта 2016 г..
38. Пинц, Янош (сентябрь 2007 г.). «Крамер против Крамера: о вероятностной модели Крамера для простых чисел». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 232–471. дои : 10.7169/facm/1229619660 .
39. Гай (2004) §A8

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.

дальнейшее чтение

• Саундарараджан, Каннан (2007). «Малые промежутки между простыми числами: работа Голдстона-Пинца-Йылдырыма». Бык. Являюсь. Математика. Соц . Новая серия. 44 (1): 1–18. arXiv : math/0605696 . дои : 10.1090/s0273-0979-06-01142-6. S2CID  119611838. Збл  1193.11086.
• Михайлеску, Преда (июнь 2014 г.). «О некоторых гипотезах аддитивной теории чисел» (PDF) . Информационный бюллетень EMS (92): 13–16. дои : 10.4171/НОВОСТИ. hdl : 2117/17085 . ISSN  1027-488X.

Внешние ссылки

• Томас Р. Найсли, Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел - вычислительная теория чисел. Этот справочный веб-сайт включает список всех первых известных пробелов в простых числах.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция простой разности». Математический мир .
• «Функция простой разности». ПланетаМатематика .
• Армин Шамс, расширяя теорему Чебышева о гипотезе Бертрана, не предполагает «произвольно большой» константы, как некоторые другие результаты.
• Крис Колдуэлл , Промежутки между простыми числами; элементарное введение
• Эндрю Гранвилл , Простые числа в интервалах ограниченной длины; обзор результатов, полученных на данный момент, вплоть до работы Джеймса Мейнарда в ноябре 2013 года.