Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше, чем другое простое число, например любой член пары простых чисел-близнецов (17, 19) или (41, 43) . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, у которого разница между простыми числами равна двум. Иногда термин «простые числа-близнецы» используется для обозначения пары простых чисел-близнецов; альтернативное название — простой близнец или простая пара .
Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как изучаются большие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией промежутков между соседними простыми числами становиться больше по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует наибольшая пара. Прорывная [1] работа Итана Чжана в 2013 году, а также работы Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время эта проблема остается нерешенной. [2]
Существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов?
Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. [3] Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены как можно ближе к любым другим простым числам.
Первые несколько пар простых чисел-близнецов
Пять — единственное простое число, принадлежащее двум парам, поскольку каждая пара простых чисел-близнецов больше (3, 5) имеет форму некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. [4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.
В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел-близнецов сходится . [5] Этот знаменитый результат, названный теоремой Брюна , был первым применением сита Брюна и помог положить начало развитию современной теории сита . Современную версию аргумента Брюна можно использовать, чтобы показать, что число простых чисел-близнецов меньше N не превышает
для некоторой абсолютной константы C > 0. [6] Фактически она ограничена сверху равенством
Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, на протяжении многих лет был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел . В этом состоит содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также является простым. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для каждого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым. [8] Случай k = 1 гипотезы де Полиньяка — это гипотеза о простых числах-близнецах .
Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди-Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .
17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что для некоторого целого числа N , меньшего 70 миллионов, существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на N . [9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. [10] Впоследствии Теренс Тао предложил совместную работу в рамках проекта Polymath Project по оптимизации границы Чжана. [11]
По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после объявления Чжана, граница была уменьшена до 246. [12] Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был более простым, чем подход Чжана, и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы для наименьшего f ( m ) , необходимые для того, чтобы гарантировать, что бесконечно много интервалов ширины f ( m ) содержат по крайней мере m простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта-Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт Polymath Project утверждает, что оценка равна 12 и 6 соответственно. [12]
Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, а также существование нулей Зигеля .
В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c < 1 и бесконечное количество простых чисел p таких, что p ′ − p < c ln p , где p′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечное множество интервалов, содержащих два простых числа ( p , p ′) , если мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размерах по мере перехода к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат последовательно улучшался; в 1986 году Хельмут Майер показал, что можно использовать константу c <0,25 . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до c = 0,085786... . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что c можно выбрать сколь угодно малым, [13] [14] , т.е.
С другой стороны, этот результат не исключает того, что интервалов, содержащих два простых числа, не может быть бесконечно много, если мы позволяем интервалам только увеличиваться в размерах, как, например, c ln ln p .
Приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама или несколько более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 или n + 20 — простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n , n + 2 , n + 4 и n + 6 являются простыми.
Результат Итан Чжана ,
является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках проекта Polymath и работа Мейнарда уменьшили границу: нижний предел не превышает 246. [15] [16]
Первая гипотеза Харди-Литтлвуда (названная в честь Г.Х. Харди и Джона Литтлвуда ) представляет собой обобщение гипотезы о простых числах-близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Обозначим через число простых чисел p ⩽ x таких, что p + 2 также является простым. Определим константу простого близнеца C 2 как [17]
Гипотезу можно обосновать (но не доказать), если предположить, что она описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в приведенной выше формуле.
Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда неверна.
Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .
Гипотеза Полиньяка 1849 года утверждает, что для каждого положительного четного числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p' таких, что p ' - p = k (т.е. существует бесконечно много простых пробелов размера k ). Случай k = 2 представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не доказана и не опровергнута ни для какого конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения k . Действительно, если бы такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существовало бы не более конечного числа n таких, что для всех m < N и, следовательно, для достаточно большого n мы имеем , что противоречило бы результату Чжана. [8]
Начиная с 2007 года, два проекта распределенных вычислений , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордных по величине простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 года [update]самая крупная известная пара простых чисел-близнецов составляет 2996863034895 × 2 1290000 ± 1 [18] с 388 342 десятичными цифрами. Он был обнаружен в сентябре 2016 года. [19]
Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10.18 . [20] [21]
Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × 10.15 показывает, что если количество таких пар меньше x равно f ( x ) · x /(log x ) 2 , то f ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается примерно до 1,3 по мере того, как x стремится к бесконечности. Согласно гипотезе Харди-Литтлвуда, предельное значение f ( x ) равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна ).
Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если только одно из них не равно 3. Таким образом, пять — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Младший член пары по определению является простым числом Чена .
Доказано [22] , что пара ( m , m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда
Если m −4 или m +6 также простое число, то эти три простых числа называются тройкой простых чисел .
Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1 n должно заканчиваться цифрой 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). .
Изолированное простое число (также известное как простое простое число или простое число, не являющееся близнецом ) — это такое простое число p , что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 — составные .
Первые несколько изолированных простых чисел
Из теоремы Брюна следует , что почти все простые числа изолированы в том смысле, что отношение числа изолированных простых чисел, меньших заданного порога n , к числу всех простых чисел, меньших, чем n , стремится к 1 при стремлении n к бесконечности.
[Из стр.
400]
«1
er
Théorème.
Tout nombre пары est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ...»
(1-я теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел в бесконечном несколько способов...)