Бруновое сито

В области теории чисел сито Бруна ( также называемое чистым ситом Бруна ) — это метод оценки размера «просеянных наборов» положительных целых чисел , которые удовлетворяют набору условий, которые выражаются с помощью сравнений . Она была разработана Вигго Брюном в 1915 году, а затем другими авторами обобщена на фундаментальную лемму теории решета .

Описание

С точки зрения теории сит сито Брюна относится к комбинаторному типу ; то есть это результат тщательного использования принципа включения-исключения .

Пусть – конечное множество натуральных чисел. Пусть - некоторый набор простых чисел . Для каждого простого числа из , обозначим множество его элементов, которые делятся на . Это обозначение может быть распространено на другие целые числа , которые являются произведениями различных простых чисел в . В этом случае определите, что это пересечение множеств для простых факторов . Наконец, определитесь , чтобы быть самим собой. Пусть – произвольное положительное действительное число. Целью сита является оценка: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}$$

где обозначение обозначает мощность множества , которая в данном случае представляет собой просто количество его элементов. Предположим, что, кроме того, это можно оценить по формуле ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A_{d}|}$

$${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}$$

мультипликативная функция ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R_{d}}$

$${\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}$$

чистое сито Брюна

Эта формулировка взята из Кожокару и Мурти, теорема 6.1.2. Используя обозначения, принятые выше, предположим, что

• ${\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}$для любого квадрата, состоящего из простых чисел в ; ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle w(p)<C}$для всех в ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$
• Существуют константы такие, что для любого положительного действительного числа ${\displaystyle C,D,E}$ ${\displaystyle z}$
  $${\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}$$

Затем

$${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}$$

где - кардинал , - любое положительное целое число, и используется обозначение большого О. В частности, через обозначим максимальный элемент в , если для достаточно малого , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}$$

Приложения

• Теорема Брюна : сумма обратных чисел-близнецов сходится;
• Теорема Шнирельмана : каждое четное число представляет собой сумму не более чем простых чисел (где можно принять за 6); ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Существует бесконечно много пар целых чисел, отличающихся на 2, где каждый член пары является произведением не более 9 простых чисел;
• Каждое четное число представляет собой сумму двух чисел, каждое из которых является произведением не более 9 простых чисел.

Последние два результата были заменены теоремой Чена , а второй — слабой гипотезой Гольдбаха ( ). ${\displaystyle C=3}$

Рекомендации

• Вигго Брун (1915). «Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare». Архив Mathematik og Naturvidenskab . Б34 (8).
• Вигго Брун (1919). «Серия о знаменателях с «номинами премьер-министров» est сходящимся или конечным». Бюллетень математических наук . 43 : 100–104, 124–128. ЖФМ  47.0163.01. ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }$
• Алина Кармен Кожокару; М. Рам Мурти (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета. стр. 80–112. ISBN 0-521-61275-6.
• Джордж Гривз (2001). Сита в теории чисел . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Том. 43. Шпрингер-Верлаг. стр. 71–101. ISBN 3-540-41647-1.
• Хейни Хальберштам ; HE Richert (1974). Ситовые методы . Академическая пресса . ISBN 0-12-318250-6.
• Кристофер Хули (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-20915-3..