Сумматорная функция Totient

Арифметическая функция

В теории чисел сумматорная функция тотиента является суммирующей функцией тотиента Эйлера, определяемой как: ${\displaystyle \Phi (n)}$

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }$

Это число пар взаимно простых целых чисел {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n .

Первые несколько значений: 0, 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32 (последовательность A002088 в OEIS ). Значения для степеней 10 в (последовательность A064018 в OEIS ).

Характеристики

Используя инверсию Мёбиуса к функции тотиента, получаем

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right)}$

Φ( n ) имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

где ζ(2) — дзета-функция Римана для значения 2.

Φ( n ) — количество пар взаимно простых целых чисел {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n .

Сумматор обратной функции тотиента

Сумма обратной функции тотиента определяется как

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}$

Эдмунд Ландау показал в 1900 году, что эта функция имеет асимптотическое поведение

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

где γ — константа Эйлера–Маскерони ,

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}$

и

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

Константа A  = 1,943596... иногда называется тотиентом Ландау . Сумма сходится и равна: ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }$

В этом случае произведение простых чисел в правой части является константой, известной как сумматорная константа тотиента ^[1] , и ее значение равно:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

Смотрите также

• Арифметическая функция

Ссылки

1. OEIS : A065483

• Вайсштейн, Эрик В. "Totient Summatory Function" (Сумматорная функция Totient). MathWorld .

Внешние ссылки

• Сумматорная функция OEIS Totient
• Десятичное разложение постоянной константы произведения (1 + 1/(p^2*(p-1))), p prime >= 2)