Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала

Соответствие в функциональном анализе

В функциональном анализе , дисциплине в математике , для заданной C*-алгебры A , конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала устанавливает соответствие между циклическими *-представлениями A и некоторыми линейными функционалами на A (называемыми состояниями ). Соответствие показывается явным построением *-представления из состояния. Она названа в честь Израиля Гельфанда , Марка Наймарка и Ирвинга Сигала .

Государства и представительства

*-Представление C * -алгебры A в гильбертовом пространстве H — это отображение π из A в алгебру ограниченных операторов в H такое, что

• π — кольцевой гомоморфизм , который переводит инволюцию на A в инволюцию на операторах
• π невырожден , то есть пространство векторов π( x ) ξ плотно, когда x пробегает A , а ξ пробегает H. Обратите внимание, что если A имеет тождество, невырожденность означает , что π сохраняет единицу, то есть π отображает тождество A в оператор тождества на H.

Состояние на C*-алгебре A — это положительный линейный функционал f нормы 1. Если A имеет мультипликативный единичный элемент , это условие эквивалентно f (1) = 1.

Для представления π C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H элемент ξ называется циклическим вектором , если множество векторов

${\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}$

является нормой плотной в H , в этом случае π называется циклическим представлением . Любой ненулевой вектор неприводимого представления является циклическим. Однако ненулевые векторы в общем циклическом представлении могут не быть циклическими.

Строительство ГНС

Пусть π — *-представление C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H , а ξ — циклический вектор единичной нормы для π. Тогда — состояние A. $${\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$$

И наоборот, каждое состояние A можно рассматривать как векторное состояние , как указано выше, при подходящем каноническом представлении.

Теорема. ^[1]  —  Для данного состояния ρ оператора A существует *-представление π оператора A, действующее в гильбертовом пространстве H с выделенным единичным циклическим вектором ξ, такое, что для любого a из A. ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

Доказательство

1. Построение гильбертова пространства H

   Определим на A полуопределенную полуторалинейную форму $${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}$$

   По неравенству треугольника вырожденные элементы a в A , удовлетворяющие ρ( a* a )= 0, образуют векторное подпространство I пространства A . Посредством C*-алгебраического аргумента можно показать, что I является левым идеалом A ( известным как левое ядро ​​ρ). Фактически, это наибольший левый идеал в нулевом пространстве ρ. Фактор - пространство A по векторному подпространству I является пространством скалярного произведения со скалярным произведением, определяемым как , которое хорошо определено из-за неравенства Коши–Шварца . Пополнение Коши A / I в норме, индуцированной этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, которое мы обозначаем как H . ${\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A}$
2. Построение представления π
   Определим действие π оператора A на A / I как π( a )( b + I ) = ab + I оператора A на A / I . Тот же аргумент, показывающий, что I является левым идеалом, также подразумевает, что π( a ) является ограниченным оператором на A / I и, следовательно, может быть расширен единственным образом до завершения. Раскрывая определение сопряженного оператора в гильбертовом пространстве, π оказывается *-сохраняющим. Это доказывает существование *-представления π.
3. Определение циклического вектора единичной нормы ξ

   Если A имеет мультипликативное тождество 1, то сразу видно, что класс эквивалентности ξ в ГНС-гильбертовом пространстве H, содержащем 1, является циклическим вектором для указанного выше представления. Если A не является унитальным, возьмем приближенное тождество { e _λ } для A . Поскольку положительные линейные функционалы ограничены, классы эквивалентности сети { e _λ } сходятся к некоторому вектору ξ в H , который является циклическим вектором для π.

   Из определения скалярного произведения на ГНС-гильбертовом пространстве H ясно , что состояние ρ может быть восстановлено как векторное состояние на H. Это доказывает теорему.

Метод, используемый для получения *-представления из состояния A в доказательстве вышеприведенной теоремы, называется конструкцией GNS . Для состояния C*-алгебры A соответствующее представление GNS по существу однозначно определяется условием, как показано в теореме ниже. ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

Теорема. ^[2]  —  Дано состояние ρ множества A , пусть π, π' будут *-представлениями A в гильбертовых пространствах H , H ′ соответственно, каждое с циклическими векторами ξ ∈ H , ξ' ∈ H ′ с единичной нормой , такими что для всех . Тогда π, π' являются унитарно эквивалентными *-представлениями, т. е. существует унитарный оператор U из H в H ′ такой, что π'( a ) = Uπ( a )U* для всех a из A . Оператор U , реализующий унитарную эквивалентность, отображает π( a )ξ в π'( a )ξ' для всех a из A . ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }$ ${\displaystyle a\in A}$

Значение строительства ГНС

Конструкция GNS лежит в основе доказательства теоремы Гельфанда–Наймарка, характеризующей C*-алгебры как алгебры операторов. AC*-алгебра имеет достаточно много чистых состояний (см. ниже), так что прямая сумма соответствующих неприводимых представлений GNS является точной .

Прямая сумма соответствующих GNS-представлений всех состояний называется универсальным представлением A. Универсальное представление A содержит каждое циклическое представление. Поскольку каждое *-представление является прямой суммой циклических представлений, отсюда следует, что каждое *-представление A является прямым слагаемым некоторой суммы копий универсального представления.

Если Φ — универсальное представление C*-алгебры A , то замыкание Φ( A ) в слабой операторной топологии называется обертывающей алгеброй фон Неймана алгебры A. Ее можно отождествить с двойным дуальным A** .

Неприводимость

Также имеет значение связь между неприводимыми *-представлениями и крайними точками выпуклого множества состояний. Представление π на H неприводимо тогда и только тогда, когда не существует замкнутых подпространств H , инвариантных относительно всех операторов π( x ), отличных от самого H и тривиального подпространства {0}.

Теорема  —  Множество состояний C*-алгебры A с единичным элементом является компактным выпуклым множеством в слабой-* топологии. В общем случае (независимо от того, имеет ли A единичный элемент) множество положительных функционалов нормы ≤ 1 является компактным выпуклым множеством.

Оба эти результата непосредственно следуют из теоремы Банаха–Алаоглу .

В унитальном коммутативном случае для C*-алгебры C ( X ) непрерывных функций на некотором компакте X теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани утверждает, что положительные функционалы нормы ≤ 1 являются в точности положительными мерами Бореля на X с полной массой ≤ 1. Из теоремы Крейна–Мильмана следует , что экстремальные состояния являются точечно-массовыми мерами Дирака.

С другой стороны, представление C ( X ) неприводимо тогда и только тогда, когда оно одномерно. Следовательно, GNS-представление C ( X ), соответствующее мере μ, неприводимо тогда и только тогда, когда μ является экстремальным состоянием. Это фактически верно для C*-алгебр в целом.

Теорема  —  Пусть A — C*-алгебра. Если π — *-представление A в гильбертовом пространстве H с единичной нормой циклического вектора ξ, то π неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее состояние f является крайней точкой выпуклого множества положительных линейных функционалов на A с нормой ≤ 1.

Чтобы доказать этот результат, сначала следует отметить, что представление неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π ( A ), обозначаемый как π( A )', состоит из скалярных кратных единицы.

Любой положительный линейный функционал g на A , доминируемый f, имеет вид для некоторого положительного оператора T _g в π( A )' с 0 ≤ T ≤ 1 в порядке оператора. Это версия теоремы Радона–Никодима . $${\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle }$$

Для такого g можно записать f как сумму положительных линейных функционалов: f = g + g' . Таким образом, π унитарно эквивалентно подпредставлению π _g ⊕ π _g' . Это показывает, что π неприводимо тогда и только тогда, когда любое такое π _g унитарно эквивалентно π, т. е. g является скалярным кратным f , что доказывает теорему.

Экстремальные состояния обычно называются чистыми состояниями . Обратите внимание, что состояние является чистым состоянием тогда и только тогда, когда оно является экстремальным в выпуклом множестве состояний.

Приведенные выше теоремы для C*-алгебр справедливы в более общем случае в контексте B*-алгебр с приближенной идентичностью.

Обобщения

Факторизационная теорема Стайнспринга, характеризующая вполне положительные отображения, является важным обобщением конструкции ГНС.

История

Статья Гельфанда и Наймарка о теореме Гельфанда–Наймарка была опубликована в 1943 году. ^[3] Сигал распознал конструкцию, которая подразумевалась в этой работе, и представил ее в более заостренной форме. ^[4]

В своей статье 1947 года Сигал показал, что для любой физической системы, которая может быть описана алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, достаточно рассмотреть неприводимые представления C*-алгебры. В квантовой теории это означает, что C*-алгебра порождается наблюдаемыми. Это, как указал Сигал, было показано ранее Джоном фон Нейманом только для частного случая нерелятивистской теории Шредингера-Гейзенберга. ^[5]

Смотрите также

• Циклический и разделительный вектор
• Строительство КСГНС

Ссылки

• Уильям Арвесон , Приглашение в C*-алгебру , Springer-Verlag, 1981
• Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр , т. I: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191 .
• Жак Диксмье , Les C*-algèbres et leurs Représentations , Готье-Виллар, 1969.
  Английский перевод: Диксмье, Жак (1982). С*-алгебры . Северная Голландия. ISBN 0-444-86391-5.
• Томас Тиммерманн, Приглашение к квантовым группам и дуальности: от алгебр Хопфа до мультипликативных унитарных и далее , Европейское математическое общество, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Приложение 12.1, раздел: Построение ГНС (стр. 371) 
• Стефан Вальдман: О теории представлений деформационного квантования , В: Деформационное квантование: Труды встречи физиков-теоретиков и математиков, Страсбург, 31 мая – 2 июня 2001 г. (Исследования по генеративной грамматике) , Грюйтер, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8 , стр. 107–134 – раздел 4. Конструкция GNS (стр. 113) 
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике . World Scientific. ISBN 981-256-129-3.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Шойчиро Сакаи , C*-алгебры и W*-алгебры , Springer-Verlag 1971. ISBN 3-540-63633-1 

Встроенные ссылки

1. Кадисон, Р. В. , Теорема 4.5.2, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 
2. Кадисон, Р. В. , Предложение 4.5.3, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 
3. И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве». Математический сборник . 12 (2): 197–217.(также Google Books, см. стр. 3–20)
4. Ричард В. Кадисон : Заметки о теореме Гельфанда–Неймарка . В: Роберт С. Доран (ред.): C*-Алгебры: 1943–1993. Пятидесятилетний праздник , специальная сессия AMS, посвященная первым пятидесяти годам теории C*-алгебры, 13–14 января 1993 г., Сан-Антонио, Техас, Американское математическое общество, стр. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 (доступно в Google Books, см. стр. 21 и далее.) 
5. IE Segal (1947). "Неприводимые представления операторных алгебр" (PDF) . Bull. Am. Math. Soc . 53 (2): 73–88. doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .