Контроль громкости

Воображаемый объем, через который моделируется и анализируется поток вещества.

В механике сплошных сред и термодинамике контрольный объем ( КУ ) — математическая абстракция, используемая в процессе создания математических моделей физических процессов. В инерциальной системе отсчета это фиктивная область заданного объема, фиксированная в пространстве или движущаяся с постоянной скоростью потока , через которую течет континуум ( непрерывная среда , такая как газ , жидкость или твердое тело ). Замкнутая поверхность, охватывающая область, называется поверхностью управления . ^[1]

В устойчивом состоянии контрольный объем можно рассматривать как произвольный объем, в котором масса континуума остается постоянной. При движении континуума через контрольный объем масса, входящая в контрольный объем, равна массе, покидающей контрольный объем. В установившемся режиме и при отсутствии работы и теплопередачи энергия внутри контрольного объема остается постоянной. Это аналогично классической механике концепции диаграммы свободного тела .

Обзор

Обычно, чтобы понять, как тот или иной физический закон применяется к рассматриваемой системе, сначала нужно рассмотреть, как он применяется к небольшому контрольному объему или «репрезентативному объему». В определенном контрольном объеме нет ничего особенного, он просто представляет собой небольшую часть системы, к которой можно легко применить физические законы. Это приводит к так называемой объемной или объемной формулировке математической модели.

Тогда можно утверждать, что, поскольку физические законы ведут себя определенным образом в определенном контрольном объеме, они ведут себя одинаково и во всех таких объемах, поскольку этот конкретный контрольный объем ни в чем не является особенным. Таким образом, можно разработать соответствующую точечную формулировку математической модели , чтобы она могла описывать физическое поведение всей (и, возможно, более сложной) системы.

В механике сплошных сред уравнения сохранения (например, уравнения Навье-Стокса ) имеют интегральную форму. Поэтому они применяются к объемам. Нахождение форм уравнения, не зависящих от контрольных объемов, позволяет упростить знаки интегралов. Контрольные объемы могут быть стационарными или перемещаться с произвольной скоростью. ^[2]

Существенная производная

Вычисления в механике сплошной среды часто требуют замены оператора вывода по регулярному времени оператором основной производной . Это можно увидеть следующим образом. ${\displaystyle d/dt\;}$ ${\displaystyle D/Dt}$

Рассмотрим ошибку, которая движется через объем, где есть некоторая скалярная величина , например, давление , которая меняется со временем и положением: . ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$

Если ошибка в течение интервала времени от до перемещается от до , то у ошибки происходит изменение скалярного значения, ${\displaystyle t\;}$ ${\displaystyle t+dt\;}$ ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ ${\displaystyle dp\;}$

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

( общий дифференциал ). Если жук движется со скоростью , то изменение положения частицы равно и мы можем написать ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

где – градиент скалярного поля p . Так: ${\displaystyle \nabla p}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

Если жук просто движется вместе с потоком, применяется та же формула, но теперь вектор скорости v равен вектору скорости потока u . Последнее выражение в скобках представляет собой существенную производную скалярного давления. Поскольку давление p в этом вычислении является произвольным скалярным полем, мы можем абстрагировать его и записать основной оператор производной как

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

Смотрите также

• Механика сплошных сред
• Уравнение импульса Коши
• Специальная теория относительности
• Существенная производная

Рекомендации

• Джеймс Р. Велти, Чарльз Э. Уикс, Роберт Э. Уилсон и Грегори Роррер. Основы импульса, тепла и массообмена ISBN  0-471-38149-7

Примечания

1. Г. Дж. Ван Вайлен и Р. Э. Зоннтаг (1985), Основы классической термодинамики , раздел 2.1 (3-е издание), John Wiley & Sons, Inc., ISBN Нью-Йорка 0-471-82933-1 
2. Нангия, Нишант; Йохансен, Ганс; Патанкар, Нилеш А.; Бхалла, Амнит Пал С. (2017). «Подход с использованием движущегося управляющего объема для расчета гидродинамических сил и моментов на погруженных телах». Журнал вычислительной физики . 347 : 437–462. arXiv : 1704.00239 . Бибкод : 2017JCoPh.347..437N. дои : 10.1016/j.jcp.2017.06.047. S2CID  37560541.

Внешние ссылки

PDF-файлы

• Интегральный подход к анализу контрольного объема потока жидкости