Общая производная

Тип производной в математике

В математике полная производная функции f в точке является наилучшим линейным приближением вблизи этой точки функции относительно ее аргументов. В отличие от частных производных , полная производная приближает функцию относительно всех ее аргументов, а не только одного. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда f является функцией нескольких переменных, потому что когда f является функцией одной переменной, полная производная совпадает с обычной производной функции. ^{[1] : 198–203}

Полная производная как линейное отображение

Пусть будет открытым подмножеством . Тогда функция называется ( полностью ) дифференцируемой в точке , если существует линейное преобразование такое, что ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

Линейное отображение называется ( полной ) производной или ( полным ) дифференциалом от . Другие обозначения для полной производной включают и . Функция является ( полной ) дифференцируемой , если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения. ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{a}f}$ ${\displaystyle Df(a)}$

Концептуально определение полной производной выражает идею, что является наилучшим линейным приближением к в точке . Это можно уточнить, количественно определив погрешность линейного приближения, определяемую . Для этого запишем ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

где равно ошибке приближения. Сказать, что производная от at эквивалентно утверждению ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

где — обозначение little-o и указывает, что намного меньше, чем , поскольку . Полная производная — это уникальное линейное преобразование, для которого ошибка настолько мала, и в этом смысле она является наилучшим линейным приближением к . ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$

Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждая из ее компонент дифференцируема, поэтому при изучении полных производных часто можно работать с одной координатой за раз в области определения. Однако то же самое не относится к координатам в области определения. Верно, что если дифференцируема в , то каждая частная производная существует в . Обратное утверждение неверно: может случиться, что все частные производные в существуют , но не дифференцируема в . Это означает, что функция очень «груба» в , до такой степени, что ее поведение не может быть адекватно описано ее поведением в координатных направлениях. Когда не столь груба, этого не может произойти. Точнее, если все частные производные в существуют и непрерывны в окрестности , то дифференцируема в . Когда это происходит, то, кроме того, полная производная является линейным преобразованием, соответствующим матрице Якоби частных производных в этой точке. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция имеет вещественные значения, полную производную можно переформулировать с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что является дифференцируемой функцией переменных . Полную производную от at можно записать в терминах ее матрицы Якоби, которая в этом случае является матрицей-строчкой: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

Свойство линейной аппроксимации полной производной подразумевает, что если

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

— малый вектор (где обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), тогда ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

Эвристически это предполагает, что если есть бесконечно малые приращения в направлениях координат, то ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является просто символическим, может быть снабжено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальных форм , эффективно дают аналитические и алгебраические описания объектов, таких как бесконечно малые приращения, . Например, может быть вписан как линейный функционал в векторное пространство . Оценка в векторе в измеряет, сколько точек в направлении координаты th. Полная производная является линейной комбинацией линейных функционалов и, следовательно, сама является линейным функционалом. Оценка измеряет, сколько точек в направлении, определяемом в , и это направление является градиентом . Эта точка зрения делает полную производную примером внешней производной . ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle df_{a}(h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$

Предположим теперь, что — векторнозначная функция, то есть . В этом случае компоненты являются вещественнозначными функциями, поэтому они имеют связанные дифференциальные формы . Полная производная объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является примером векторнозначной дифференциальной формы . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{i}}$ ${\displaystyle df}$

Правило цепочки для совокупных производных

Правило цепочки имеет особенно элегантное выражение в терминах полных производных. Оно гласит, что для двух функций и полная производная составной функции в удовлетворяет ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

Если полные производные и отождествляются с их матрицами Якоби, то составной элемент в правой части — это просто умножение матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Пример: Дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что f является функцией двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f равна , то поведение f можно понять в терминах ее частных производных по направлениям x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут быть зависимыми. Например, может случиться, что f ограничена кривой . В этом случае нас на самом деле интересует поведение сложной функции . Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f по отношению к изменению x, поскольку изменение x обязательно изменяет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Запишите . Тогда цепное правило гласит: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

Выражая полную производную с помощью матриц Якоби, получаем:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

Подавляя оценку для удобства чтения, мы можем также записать это как ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$

Это дает простую формулу для производной через частные производные и производную . ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y(x)}$

Например, предположим,

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по отношению к x ; в этом случае,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x , поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, что мы ограничены линией

${\displaystyle y=x.}$

Затем

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

а полная производная f по x равна

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

что, как мы видим, не равно частной производной . Однако вместо немедленной подстановки y в терминах x мы также можем использовать цепное правило, как указано выше: ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Пример: Дифференциация с косвенными зависимостями

Хотя часто можно выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, цепное правило обеспечивает более эффективную и общую технику. Предположим, что является функцией времени и переменных , которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени равна ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

Правило цепочки выражает эту производную через частные производные и производные по времени функций : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования лагранжиана , поскольку два лагранжиана, отличающиеся только полной производной по времени функции времени и обобщенных координат, приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности относительно симметричной по времени теории Уилера–Фейнмана . Оператор в скобках (в конечном выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Например, полная производная равна ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Здесь нет члена, поскольку он сам не зависит от независимой переменной напрямую. ${\displaystyle \partial f/\partial t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

Полное дифференциальное уравнение

Полное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, выраженное через полные производные. Поскольку внешняя производная не зависит от координат, в том смысле, которому можно придать технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .

Применение к системам уравнений

В экономике общая производная часто возникает в контексте системы уравнений. ^{[1] : стр. 217–220} Например, простая система спроса и предложения может определять количество q требуемого продукта как функцию D его цены p и дохода потребителей I , причем последний является экзогенной переменной , и может определять количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и двух экзогенных переменных стоимости ресурсов r и w . Результирующая система уравнений

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

определяет рыночные равновесные значения переменных p и q . Полная производная p по r , например, дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r . В указанной системе существует всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw и dq / dI . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления на, скажем , dr , рассмотрения dq / dr и dp / dr как неизвестных, установки dI = dw = 0 и решения двух полностью дифференцированных уравнений одновременно, как правило, с использованием правила Крамера . ${\displaystyle dp/dr}$

Смотрите также

• Направленная производная  – мгновенная скорость изменения функции
• Производная Фреше  – Производная, определенная на нормированных пространствах – обобщение полной производной
• Производная Гато  – Обобщение понятия производной по направлению
• Обобщения производной  – Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Градиент#Полная производная  – Многомерная производная (математика)

Ссылки

1. Chiang, Alpha C. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (третье изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
2. Абрахам, Ральф ; Марсден, Дж. Э .; Ратиу, Тюдор (2012). Многообразия, тензорный анализ и приложения. Springer Science & Business Media. стр. 78. ISBN 9781461210290.

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• Из thesaurus.maths.org полная производная

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полная производная». Математический мир .
• Рональд Д. Криз (2007) Представление полных производных скалярных функций двух измерений с использованием рельефных поверхностей и касательных плоскостей из Virginia Tech