Контрпример — это любое исключение из обобщения . В логике контрпример опровергает обобщение, и делает это строго в областях математики и философии . [1] Например, тот факт, что «студент Джон Смит не ленив», является контрпримером к обобщению «студенты ленивы», и одновременно контрпримером и опровержением универсальной квантификации «все студенты ленивы». [2]
В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры для демонстрации ложности определенных гипотез, исследователи-математики могут избежать тупиковых ситуаций и научиться изменять гипотезы для получения доказуемых теорем. Иногда говорят, что математическое развитие заключается в первую очередь в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров. [3]
Предположим, что математик изучает геометрию и фигуры и хочет доказать некоторые теоремы о них. Она предполагает , что «Все прямоугольники являются квадратами », и ей интересно узнать, является ли это утверждение истинным или ложным.
В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения с помощью дедуктивного рассуждения , либо попытаться найти контрпример утверждения, если она подозревает, что оно ложно. В последнем случае контрпримером будет прямоугольник, который не является квадратом, например, прямоугольник с двумя сторонами длиной 5 и двумя сторонами длиной 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все прямоугольники, которые она нашла, имели четыре стороны. Затем она выдвигает новую гипотезу «Все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически слабее ее первоначальной гипотезы, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая четырехсторонняя фигура является квадратом.
Приведенный выше пример объяснил — упрощенно — как математик может ослабить свою гипотезу перед лицом контрпримеров, но контрпримеры также могут быть использованы для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотез . Например, предположим, что через некоторое время математик, указанный выше, остановился на новой гипотезе «Все фигуры, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, являются квадратами». Эта гипотеза состоит из двух частей гипотезы: фигура должна быть «прямоугольником» и должна иметь «четыре стороны равной длины». Затем математик хотел бы узнать, может ли он удалить любое из предположений и по-прежнему сохранить истинность своей гипотезы. Это означает, что ему нужно проверить истинность следующих двух утверждений:
Контрпример к (1) уже был приведен выше, а контрпример к (2) — это неквадратный ромб . Таким образом, математик теперь знает, что каждое предположение само по себе недостаточно.
Контрпримером к утверждению «все простые числа являются нечетными числами » является число 2, так как оно является простым числом, но не является нечетным числом. [1] Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, так как ни одно из них не является достаточным для противоречия утверждению. В этом примере 2 на самом деле является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя его одного достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом, утверждение «Все натуральные числа являются либо простыми, либо составными » имеет число 1 в качестве контрпримера, так как 1 не является ни простым, ни составным.
Гипотеза Эйлера о сумме степеней была опровергнута контрпримером. Она утверждала, что для суммирования в другую n-ю степень необходимо не менее n n - ных степеней . Эта гипотеза была опровергнута в 1966 году [4] контрпримером, включающим n = 5; сейчас известны другие контрпримеры для n = 5, а также некоторые контрпримеры для n = 4. [5]
Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.
Все изометрии евклидовой плоскости являются отображениями, сохраняющими площадь , но обратное неверно, как показывают контрпримеры — отображение сдвига и отображение сжатия .
Другие примеры включают опровержения гипотезы Зейферта , гипотезы Полиа , гипотезы четырнадцатой проблемы Гильберта , гипотезы Тэта и гипотезы Ганеа .
В философии контрпримеры обычно используются для доказательства того, что определенная философская позиция неверна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. В качестве альтернативы первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик изменяет предположение из-за контрпримера.
Например, в « Горгии » Платона Калликл , пытаясь определить, что означает утверждение, что некоторые люди «лучше» других, утверждает, что лучше те, кто сильнее.
Но Сократ отвечает, что из-за своей численности класс простой черни сильнее, чем имущая знать, даже несмотря на то, что массы на первый взгляд имеют худший характер. Таким образом, Сократ предложил контрпример к утверждению Калликла, взглянув на область, которую Калликл, возможно, не ожидал — группы людей, а не отдельные личности.
Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, что, возможно, простая чернь действительно лучше знати или что даже в своей многочисленности она все равно не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое утверждение, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он мог бы изменить свое утверждение так, чтобы оно относилось только к отдельным людям, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.
По сути, он модифицирует свое утверждение, говоря «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.
Цитаты, связанные с Counterexample в Wikiquote