Часть твердого тела, лежащая между двумя параллельными плоскостями, разрезающими это твердое тело.
В геометрии — усеченный конус ( лат. «кусочек»); [a] ( мн.: frusta или frustums ) — это часть твердого тела (обычно пирамиды или конуса ), которая лежит между двумя параллельными плоскостями , разрезающими твердое тело. В случае пирамиды грани основания многоугольные , а боковые грани трапециевидные . Правильный усеченный конус — это правильная пирамида или прямой конус, усеченный перпендикулярно ее оси; [3] в противном случае это косой усеченный конус . В усеченном конусе или усеченной пирамиде плоскость усечения не обязательно параллельна основанию конуса, как в усеченном конусе. Если все его ребра сделать одинаковой длины, то усеченная пирамида станет призмой ( возможно, наклонной и/или с неровными основаниями).
Элементы, особые случаи и связанные концепции
Ось усеченного конуса — это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченная пирамида является круглой, если она имеет круглые основания; правильно, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонна в противном случае.
Высота усеченного конуса — это расстояние по перпендикуляру между плоскостями двух оснований.
Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи фрусты, когда одна из секущих плоскостей проходит через вершину ( так что соответствующее основание сводится к точке). Пирамидальные фрусты — подкласс призматоидов .
Две усеченные пирамиды с двумя конгруэнтными основаниями, соединенные в этих конгруэнтных основаниях, образуют бифрустум .
где a и b — длины основания и верхней стороны, а h — высота.
Египтянам была известна правильная формула объема такой усеченной квадратной пирамиды, но доказательства этого уравнения в московском папирусе не приведено.
Объем усеченного конуса или пирамиды — это объем твердого тела до отсечения его «вершины» за вычетом объема этой «вершины» :
где B 1 и B 2 — площади основания и верха, а h 1 и h 2 — высоты перпендикуляров от вершины к базовой и верхней плоскостям.
Учитывая, что
формулу объема можно выразить как треть произведения этой пропорциональности , и только разности кубов высот h 1 и h 2 :
Используя тождество a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 ) , получаем:
где h 1 − h 2 = h — высота усеченной пирамиды.
Распределяя и подставляя из его определения, получаем героновское среднее площадей B 1 и B 2 :
Зиккураты , ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную форму одной или нескольких пирамид с добавлением дополнительных элементов, таких как лестницы.
^ Термин frustum происходит от латинского frustum , что означает «кусок» или «кусок». Английское слово часто пишется с ошибкой как frustrum , другое латинское слово, родственное английскому слову «frustrat». [1] Путаница между этими двумя словами заключается в том, что очень старые: предупреждение о них можно найти в Приложении Probi , а в произведениях Плавта есть каламбур по их поводу. [2]
Рекомендации
^ Кларк, Джон Спенсер (1895). Пособие для учителя: Книги I–VIII. Полный курс Пранга по формоведению и рисованию, книги 7–8. Образовательная компания Пранг. п. 49.