В геометрии конфигурация Перлеса — это система из девяти точек и девяти прямых на евклидовой плоскости , для которой каждая комбинаторно эквивалентная реализация имеет по крайней мере одно иррациональное число в качестве одной из своих координат. Она может быть построена из диагоналей и линий симметрии правильного пятиугольника и их точек пересечения. В свою очередь, ее можно использовать для построения многомерных выпуклых многогранников , которым нельзя задать рациональные координаты, имеющих наименьшее количество вершин из любого известного примера. Все реализации конфигурации Перлеса на проективной плоскости эквивалентны друг другу при проективных преобразованиях .
Назван в честь Миши Перлеса .
Один из способов построения конфигурации Перлза — начать с правильного пятиугольника и его пяти диагоналей. Эти диагонали образуют стороны меньшего внутреннего пятиугольника, вложенного во внешний пятиугольник. Каждая вершина внешнего пятиугольника расположена напротив вершины внутреннего пятиугольника. Девять точек конфигурации состоят из четырех из пяти вершин каждого пятиугольника и общего центра двух пятиугольников. Две противоположные вершины опущены, по одной от каждого пятиугольника. [1]
Девять линий конфигурации состоят из пяти линий, которые являются диагоналями внешнего пятиугольника и сторонами внутреннего пятиугольника, а также четырех линий, которые проходят через центр и через противоположные пары вершин двух пятиугольников. [1]
Реализация конфигурации Перлза определяется как состоящая из любых девяти точек и девяти прямых с одинаковым рисунком пересечения. Это означает, что точка и прямая пересекаются в реализации, если и только если они пересекаются в конфигурации, построенной из правильного пятиугольника. Каждая реализация этой конфигурации в евклидовой плоскости или, в более общем смысле, в реальной проективной плоскости эквивалентна, при проективном преобразовании , реализации, построенной таким образом из правильного пятиугольника. [2]
Поскольку поперечная пропорция , число, определяемое любыми четырьмя коллинеарными точками, не изменяется при проективных преобразованиях, каждая реализация имеет четыре точки, имеющие ту же поперечную пропорцию, что и поперечная пропорция четырех коллинеарных точек в реализации, полученной из правильного пятиугольника. Но эти четыре точки имеют в качестве своей поперечной пропорции, где — золотое сечение , иррациональное число. Каждые четыре коллинеарные точки с рациональными координатами имеют рациональную поперечную пропорцию, поэтому конфигурация Перлза не может быть реализована рациональными точками. Бранко Грюнбаум предположил, что каждая конфигурация, которая может быть реализована иррациональными, но не рациональными числами, имеет по крайней мере девять точек; если это так, то конфигурация Перлза будет наименьшей возможной иррациональной конфигурацией точек и линий. [2]
Перлес использовал свою конфигурацию для построения восьмимерного выпуклого многогранника с двенадцатью вершинами, который может быть аналогичным образом реализован с действительными координатами, но не с рациональными координатами. Точки конфигурации, три из которых удвоены и со знаками, связанными с каждой точкой, образуют диаграмму Гейла многогранника Перлеса. [3]
Доказательство теоремы Штейница, полученное Эрнстом Штейницем, можно использовать для демонстрации того, что любой трехмерный многогранник может быть реализован с помощью рациональных координат, но теперь известно, что существуют иррациональные многогранники в четырех измерениях. Следовательно, многогранник Перлеса не имеет наименьшей возможной размерности среди иррациональных многогранников. Однако многогранник Перлеса имеет наименьшее количество вершин среди всех известных иррациональных многогранников. [3]
Конфигурация Перлеса была введена Михой Перлесом в 1960-х годах. [4] Это не первый известный пример иррациональной конфигурации точек и линий. Мак Лейн (1936) описывает пример из 11 точек, полученный путем применения алгебры бросков фон Штаудта для построения конфигурации, соответствующей квадратному корню из двух . [5]
Существует долгая история изучения регулярных проективных конфигураций , конечных систем точек и прямых, в которых каждая точка касается одинакового количества прямых, а каждая прямая касается одинакового количества точек. Однако, несмотря на то, что она названа так же, как эти конфигурации, конфигурация Перлза не является регулярной: большинство ее точек касается трех прямых, а большинство ее прямых касается трех точек, но есть одна прямая из четырех точек и одна точка на четырех прямых. В этом отношении она отличается от конфигурации Паппуса , которая также имеет девять точек и девять прямых, но с тремя точками на каждой прямой и тремя прямыми, проходящими через каждую точку. [6]
