Вырожденная гипергеометрическая функция

Решение конфлюэнтного гипергеометрического уравнения

График конфлюэнтной гипергеометрической функции Куммера 1F1(a;b;z) с a=1 и b=2 и входным z² с 1F1(1,2,z²) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью Mathematica 13.1

В математике вырожденная гипергеометрическая функция — это решение вырожденного гипергеометрического уравнения , которое является вырожденной формой гипергеометрического дифференциального уравнения, в котором две из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин вырожденный относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere по-латыни означает «течь вместе». Существует несколько общих стандартных форм вырожденных гипергеометрических функций:

• Функция Куммера (вырожденная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером  (1837), является решением дифференциального уравнения Куммера . Она также известна как вырожденная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая и не связанная с ней функция Куммера с тем же названием.
• Функция Трикоми (вырожденная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введенная Франческо Трикоми  (1947), иногда обозначаемая как Ψ( a ; b ; z ) , является еще одним решением уравнения Куммера. Она также известна как вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
• Кулоновские волновые функции являются решениями волнового уравнения Кулона .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по сути одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера

Уравнение Куммера можно записать как:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

с регулярной особой точкой при z = 0 и нерегулярной особой точкой при z = ∞ . Имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в (Kummer 1837), и задаваемый формулой:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

где:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

является возрастающим факториалом . Другое распространенное обозначение для этого решения - Φ( a , b , z ) . Рассматриваемое как функция a , b , или z с двумя другими постоянными, это определяет целую функцию a или z , за исключением случая, когда b = 0, −1, −2 , ... Как функция b она является аналитической, за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые можно выразить через другие известные функции. См. #Особые случаи. Когда a — неположительное целое число, то функция Куммера (если она определена) является обобщенным полиномом Лагерра .

Так же, как вырожденное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения , когда особая точка в точке 1 перемещается к особой точке в точке ∞, вырожденная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера второго порядка, должно быть и другое, независимое решение. Определяющее уравнение метода Фробениуса говорит нам, что наименьшая степень решения степенного ряда уравнения Куммера равна либо 0, либо 1 − b . Если мы допустим, что w ( z ) будет

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

тогда дифференциальное уравнение дает

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

которое после деления z ^{1− b} и упрощения становится

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Это означает, что z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) является решением, пока b не является целым числом больше 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением, пока b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать конфлюэнтную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ), введенную Франческо Трикоми  (1947), и иногда обозначаемую как Ψ( a ; b ; z ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемая как

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Хотя это выражение не определено для целого числа b , оно имеет то преимущество, что его можно расширить до любого целого числа b по непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 асимптотически относится к az ln z при стремлении z к нулю. Но см. #Особые случаи для некоторых примеров, где это целая функция (полином).

Обратите внимание, что решение z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) уравнения Куммера совпадает с решением U ( a , b , z ) , см. преобразование Куммера.

Для большинства комбинаций действительных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b — неположительное целое число, так что M ( a , b , z ) не существует, то мы можем использовать z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) в качестве второго решения. Но если a — неположительное целое число, а b — не неположительное целое число, то U ( z ) является кратным M ( z ) . В этом случае z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) также можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда b — целое число больше 1, то это решение не существует, а если b = 1 , то оно существует, но является кратным U ( a , b , z ) и M ( a , b , z ). В этих случаях существует второе решение следующего вида, и оно справедливо для любого действительного или комплексного числа a и любого положительного целого числа b, за исключением случая, когда a — положительное целое число меньше b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

При b = 1 это экспоненциальный интеграл E ₁ ( −z ) .

Аналогичная проблема возникает, когда a − b — отрицательное целое число, а b — целое число, меньшее 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ). Второе решение тогда имеет вид:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Другие уравнения

Вырожденные гипергеометрические функции можно использовать для решения расширенного вырожденного гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет вид:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Обратите внимание, что при M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, вырожденные гипергеометрические функции могут быть использованы для решения "большинства" обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями z , поскольку их можно преобразовать в расширенное вырожденное гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Сначала мы перемещаем регулярную особую точку в 0, используя замену A + Bz ↦ z , что преобразует уравнение в:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

с новыми значениями C, D, E и F. Далее используем замену:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

и умножаем уравнение на тот же коэффициент, получая:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

чье решение

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

где w ( z ) — решение уравнения Куммера с

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Обратите внимание, что квадратный корень может дать мнимое или комплексное число. Если это ноль, нужно использовать другое решение, а именно

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

где w ( z ) — конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить с использованием вырожденных гипергеометрических функций.

Интегральные представления

Если Re b > Re a > 0 , то M ( a , b , z ) можно представить в виде интеграла

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

таким образом, M ( a , a + b , it ) является характеристической функцией бета -распределения . Для a с положительной действительной частью U может быть получено с помощью интеграла Лапласа

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости Re z > 0 .

Их также можно представить как интегралы Барнса

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

где контур проходит по одну сторону полюсов Γ(− s ) и по другую сторону полюсов Γ( a + s ) .

Асимптотическое поведение

Если решение уравнения Куммера асимптотично к степени z при z → ∞ , то степень должна быть − a . Это фактически случай решения Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотическое поведение при z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = x ∈ R , то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием почленно приводит к асимптотическому расширению ряда , действительному при x → ∞ : ^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

где — обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве ведущего члена, который, как правило, нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд по 1/ x . Это асимптотическое разложение справедливо также для комплексного z вместо действительного x , с | arg z | < 3 π /2. ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

Асимптотическое поведение решения Куммера при больших | z | имеет вид:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Степени z берутся с использованием −3 π /2 < arg z ≤ π /2 . ^[3] Первый член не нужен, когда Γ( b − a ) конечно, то есть когда b − a не является неположительным целым числом, а действительная часть z стремится к отрицательной бесконечности, тогда как второй член не нужен, когда Γ( a ) конечно, то есть когда a не является неположительным целым числом, а действительная часть z стремится к положительной бесконечности.

Всегда существует некоторое решение уравнения Куммера, асимптотическое к e ^z z ^{a − b} при z → −∞ . Обычно это будет комбинация как M ( a , b , z ) , так и U ( a , b , z ), но также может быть выражено как e ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z ) .

Отношения

Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производными. В этом разделе приведены несколько типичных примеров.

Смежные отношения

При наличии M ( a , b , z ) четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функцию M ( a , b , z ) можно записать в виде линейной комбинации любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a , b , и z . Это дает (⁴
₂) = 6 отношений, заданных путем идентификации любых двух линий в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

В приведённых выше обозначениях M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и т. д.

Многократное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n — целые числа.

Аналогичные соотношения имеются и для U.

Преобразование Куммера

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Теорема умножения

Справедливы следующие теоремы умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Связь с полиномами Лагерра и подобными представлениями

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$(Эрдейи и др. 1953, 6.12)

или

${\displaystyle \operatorname {M} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)}$[1]

Особые случаи

Функции, которые можно выразить как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают в себя:

• Некоторые элементарные функции , где левая часть не определена, когда b — неположительное целое число, но правая часть все еще является решением соответствующего уравнения Куммера:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(многочлен, если a — неположительное целое число)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$для неположительного целого числа n — обобщенный полином Лагерра .

${\displaystyle U(n,c,z)}$для неположительного целого числа n является кратным обобщенному полиному Лагерра, равным , когда последний существует. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$когда n — положительное целое число, представляет собой замкнутую форму со степенями z , равными , когда последний существует. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$для неотрицательного целого числа n — многочлен Бесселя (см. ниже).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$и т. д.

Используя отношение смежности , мы получаем, например, ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя и многие родственные функции, такие как функции Эйри , функции Кельвина , функции Ганкеля . Например, в частном случае b = 2 a функция сводится к функции Бесселя :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . Аналогично

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Если a — неположительное целое число, то это равно 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) , где θ — многочлен Бесселя .

• Функцию ошибки можно выразить как

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Кулоновская волновая функция
• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные с ним функции, такие как синусоидальный интеграл , логарифмический интеграл
• Многочлены Эрмита
• Неполная гамма-функция
• полиномы Лагерра
• Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
• Функция Пуассона–Шарлье
• Торонто функции
• Функции Уиттекера M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ) являются решениями уравнения Уиттекера , которые можно выразить через функции Куммера M и U следующим образом:

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• Общий p -й сырой момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Во второй формуле вторую ветвь функции можно выбрать, умножив ее на (−1) ^p .

Применение к цепным дробям

Применяя предельный аргумент к цепной дроби Гаусса, можно показать, что ^[5]

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

и что эта непрерывная дробь равномерно сходится к мероморфной функции z в каждой ограниченной области , не содержащей полюса.

Примечания

1. Кампос, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного конфлюэнтного гипергеометрического дифференциального уравнения». Журнал вычислительной и прикладной математики . 137 (1): 177–200. Bibcode :2001JCoAM.137..177C. doi :10.1016/s0377-0427(00)00706-8. MR  1865885.
2. Эндрюс, GE; Аски, Р.; Рой, Р. (2001). Специальные функции . Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882..
3. Это выведено из работы Абрамовица и Стигана (см. ссылку ниже), стр. 508, где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак экспоненты в exp( iπa ) в правой полуплоскости, но это несущественно, поскольку член там пренебрежимо мал или же a является целым числом, и знак не имеет значения.
4. "Аспекты многомерной статистической теории | Wiley". Wiley.com . Получено 2021-01-23 .
5. Франк, Эвелин (1956). «Новый класс разложений непрерывных дробей для отношений гипергеометрических функций». Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453–476. doi :10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0. JSTOR  1992927. MR  0076937.

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 13". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Чистова, Е.А. (2001) [1994], "Вырожденная гипергеометрическая функция", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Вырожденная гипергеометрическая функция", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том I. Нью-Йорк–Торонто–Лондон: McGraw–Hill Book Company, Inc. MR  0058756.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1837). «De Integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. дои : 10.1515/crll.1837.17.228. ISSN  0075-4102. S2CID  121351583.
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Вырожденные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. MR  0107026.
• Трикоми, Франческо Г. (1947). «Sulle funzioni ipgeometriche confluenti». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . Серия 4 (на итальянском языке). 26 : 141–175. дои : 10.1007/bf02415375 . ISSN  0003-4622. MR  0029451. S2CID  119860549.
• Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipegeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). Том. 1. Рим: Edizioni Cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. МР  0076936.
• Oldham, KB; Myland, J.; Spanier, J. (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Atlas. Springer New York. ISBN 978-0-387-48807-3. Получено 23.08.2017 .

Внешние ссылки

• Конфлюэнтные гипергеометрические функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
• Гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
• Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions