Многочлены Эрмита

Полиномиальная последовательность

В математике многочлены Эрмита представляют собой классическую ортогональную полиномиальную последовательность .

Полиномы возникают в:

• обработка сигналов как эрмитовых вейвлетов для анализа вейвлет-преобразования
• вероятности , такие как ряд Эджворта , а также в связи с броуновским движением ;
• комбинаторика , как пример последовательности Аппеля , подчиняющейся теневому исчислению ;
• численный анализ как квадратурное уравнение Гаусса ;
• физике , где они приводят к собственным состояниям квантового гармонического осциллятора ; а также они встречаются в некоторых случаях уравнения теплопроводности (когда присутствует этот член); ${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• Теория систем в связи с нелинейными операциями над гауссовым шумом .
• Теория случайных матриц в гауссовых ансамблях .

Многочлены Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году, ^{[1] [2],} хотя и в едва узнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутием Чебышевым в 1859 году. ^[3] Работа Чебышева была проигнорирована, и позже они были названы в честь Шарля Эрмита , который писал о многочленах в 1864 году, описывая их как новые. ^[4] Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные многочлены.

Определение

Как и другие классические ортогональные многочлены , многочлены Эрмита могут быть определены из нескольких различных начальных точек. Отмечая с самого начала, что существуют две различные стандартизации, которые обычно используются, один удобный метод заключается в следующем:

• « Вероятностные полиномы Эрмита» задаются формулой $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• в то время как «физические полиномы Эрмита» задаются как $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса и могут быть также записаны как: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

Эти два определения не совсем идентичны; каждое из них представляет собой масштабирование другого: $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

Это последовательности полиномов Эрмита с различными дисперсиями; см. материал о дисперсиях ниже.

Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. ^[5] Полиномы He _n иногда обозначаются как H _n , особенно в теории вероятностей, поскольку — это функция плотности вероятности для нормального распределения с ожидаемым значением 0 и стандартным отклонением 1. $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

Первые шесть вероятностных полиномов Эрмита He _n ( x )

Первые шесть (физических) полиномов Эрмита H _n ( x )

• Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\operatorname {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\operatorname {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\operatorname {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физиков: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

Характеристики

Полином Эрмита n -го порядка является полиномом степени n . Вероятностная версия He _n имеет ведущий коэффициент 1, в то время как физическая версия H _n имеет ведущий коэффициент 2 ⁿ .

Симметрия

Из приведенных выше формул Родригеса видно, что H _n ( x ) и He _n ( x ) являются четными или нечетными функциями в зависимости от n : $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

Ортогональность

H _n ( x ) и He _n ( x ) являются многочленами n -й степени для n = 0, 1, 2, 3,... . Эти многочлены ортогональны относительно весовой функции ( меры ) или т.е. мы имеем $${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$ $${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

Кроме того, а где находится дельта Кронекера . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$ ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны относительно стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота

Полиномы Эрмита (вероятностные или физические) образуют ортогональный базис гильбертова пространства функций, удовлетворяющих , в котором скалярное произведение задается интегралом, включающим гауссову весовую функцию w ( x ), определенную в предыдущем разделе $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

Ортогональный базис для L ² ( R , w ( x ) dx ) — это полная ортогональная система . Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому факту, что функция 0 является единственной функцией f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ), ортогональной всем функциям в системе.

Поскольку линейная оболочка многочленов Эрмита представляет собой пространство всех многочленов, необходимо показать (в физическом случае), что если f удовлетворяет для каждого n ≥ 0 , то f = 0 . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

Один из возможных способов сделать это — оценить, что вся функция тождественно исчезает. Тогда тот факт, что F ( it ) = 0 для каждого действительного t, означает, что преобразование Фурье функции f ( x ) e ^{− x 2} равно 0, следовательно, f равно 0 почти везде. Варианты приведенного выше доказательства полноты применимы к другим весам с экспоненциальным затуханием. $${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

В случае Эрмита также можно доказать явное тождество, подразумевающее полноту (см. раздел об отношении полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы Эрмита являются ортогональным базисом для L ² ( R , w ( x ) dx ), состоит во введении функций Эрмита (см. ниже) и в утверждении, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L ² ( R ) .

Дифференциальное уравнение Эрмита

Полиномы Эрмита вероятностника являются решениями дифференциального уравнения , где λ — константа. Налагая граничное условие, что u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности, уравнение имеет решения только если λ — неотрицательное целое число, и решение однозначно задается выражением , где обозначает константу. $${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$ ${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Переписывая дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения, полиномы Эрмита можно понимать как собственные функции дифференциального оператора . Эта задача на собственные значения называется уравнением Эрмита , хотя этот термин также используется для близкого уравнения , решение которого однозначно дается в терминах полиномов Эрмита физики в виде , где обозначает константу, после наложения граничного условия, что u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности. $${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle L[u]}$ $${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$ ${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Общие решения приведенных выше дифференциальных уравнений второго порядка на самом деле являются линейными комбинациями как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика общее решение принимает вид , где и являются константами, являются полиномами Эрмита физика (первого рода), а являются функциями Эрмита физика (второго рода). Последние функции компактно представляются как, где являются вырожденными гипергеометрическими функциями первого рода . Обычные полиномы Эрмита также могут быть выражены через вырожденные гипергеометрические функции, см. ниже. $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$ $${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

При более общих граничных условиях полиномы Эрмита могут быть обобщены для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ . Также возможна явная формула полиномов Эрмита в терминах контурных интегралов (Courant & Hilbert 1989).

Рекуррентное соотношение

Последовательность вероятностных полиномов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению Отдельные коэффициенты связаны следующей рекуррентной формулой: и a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 1 . $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$ $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

Для полиномов физики, предположим, что Отдельные коэффициенты связаны следующей рекурсивной формулой: и a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 2 . $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$ $${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$ $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

Полиномы Эрмита образуют последовательность Аппеля , т.е. они являются полиномиальной последовательностью, удовлетворяющей тождеству $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Интегральная рекуррентность, выведенная и продемонстрированная в ^[6], выглядит следующим образом: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

Эквивалентно, с помощью расширения Тейлора , эти теневые тождества самоочевидны и включены в представление дифференциального оператора, подробно описанное ниже, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

В результате для m- х производных справедливы следующие соотношения: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Эти последние соотношения вместе с исходными полиномами H ₀ ( x ) и H ₁ ( x ) можно использовать на практике для быстрого вычисления полиномов.

Неравенства Турана : $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

Более того, справедлива следующая теорема умножения : $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

Явное выражение

Полиномы Эрмита физика могут быть явно записаны как $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

Эти два уравнения можно объединить в одно, используя функцию пола : $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

Полиномы Эрмита вероятностника Он имеет похожие формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2  x и умножив всю сумму на 2 ^{− ⁠н/2⁠} : $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

Обратное явное выражение

Обратные выражения приведенных выше явных выражений, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных полиномов Эрмита, имеют вид $${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

Соответствующие выражения для физических полиномов Эрмита H получаются непосредственно путем соответствующего масштабирования: ^[7] $${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

Производящая функция

Полиномы Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено путем записи разложения Тейлора в точке x всей функции z → e ^{− z 2} (в случае физика). Можно также вывести производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита как $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

Используя это в сумме, можно вычислить оставшийся интеграл с помощью исчисления вычетов и прийти к искомой производящей функции. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

Ожидаемые значения

Если X — случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

Моменты стандартной нормали (с ожидаемым значением нулевым) можно вывести непосредственно из соотношения для четных индексов: где (2 n − 1)!! — двойной факториал . Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления полиномов Эрмита вероятностника в виде моментов: $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

Асимптотическое расширение

Асимптотически, при n → ∞ , разложение ^[8] остается верным. Для некоторых случаев, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо включить фактор для изменения амплитуды: который, используя приближение Стирлинга , может быть еще более упрощен, в пределе, до $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Это расширение необходимо для разрешения волновой функции квантового гармонического осциллятора таким образом, чтобы она согласовывалась с классическим приближением в пределе принципа соответствия .

Более точное приближение, учитывающее изменение частоты, дается выражением $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Более точное приближение ^[9] , которое учитывает неравномерное расположение нулей вблизи краев, использует замену, при которой получается равномерное приближение $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

Аналогичные приближения справедливы для монотонных и переходных областей. В частности, если тогда при t комплексно и ограничено, приближение равно где Ai — функция Эйри первого рода. $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$ $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

Особые ценности

Физические полиномы Эрмита, вычисленные при нулевом аргументе H _n (0), называются числами Эрмита .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$которые удовлетворяют рекурсивному соотношению H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) .

В терминах вероятностных полиномов это переводится как $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

Связь с другими функциями

полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра : $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

Связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями

Полиномы Эрмита физика могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра : в правой полуплоскости , где U ( a , b , z ) — конфлюэнтная гипергеометрическая функция Трикоми . Аналогично, где ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) — конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера . $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$

Разложение полинома Эрмита

Подобно разложению Тейлора, некоторые функции можно выразить как бесконечную сумму полиномов Эрмита. В частности, если , то она имеет разложение в полиномы Эрмита физика. ^[10] ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

При наличии таких частичных сумм эрмитового разложения сходится к по норме тогда и только тогда, когда . ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 4/3<p<4}$ $${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$ $${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$ $${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).}$$ $${\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).}$$ $${\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)}$$

Дифференциально-операторное представление

Полиномы Эрмита вероятностника удовлетворяют тождеству , где D представляет собой дифференциацию по x , а экспонента интерпретируется путем ее расширения в виде степенного ряда . Не возникает никаких деликатных вопросов сходимости этого ряда, когда он работает с полиномами, поскольку все члены, за исключением конечного числа, исчезают. $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$$

Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а производные более высокого порядка монома x ⁿ могут быть записаны явно, это дифференциально-операторное представление приводит к конкретной формуле для коэффициентов H _n , которую можно использовать для быстрого вычисления этих полиномов.

Поскольку формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W равно e ^{D 2} , мы видим, что преобразование Вейерштрасса ( √ 2 ) ⁿ He _n ( ⁠х/√ 2⁠ ) ​​равно x ⁿ . По сути, преобразование Вейерштрасса превращает ряд полиномов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .

Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, таким, что He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют последовательность Аппеля . Поскольку они являются последовательностью Аппеля, они тем более являются последовательностью Шеффера .

Контурно-интегральное представление

Из приведенного выше представления производящей функции мы видим, что полиномы Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как в случае с контуром, окружающим начало координат. $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$

Обобщения

Полиномы Эрмита вероятностного алгоритма, определенные выше, ортогональны относительно стандартного нормального распределения вероятностей, функция плотности которого имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию 1. $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$

Масштабируя, можно аналогично говорить об обобщенных полиномах Эрмита ^[12] дисперсии α , где α — любое положительное число. Они тогда ортогональны относительно нормального распределения вероятностей, функция плотности которого равна Они задаются как $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$$ $${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$$

Теперь, если тогда полиномиальная последовательность, n- й член которой есть называется теневой композицией двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что она удовлетворяет тождествам и Последнее тождество выражается тем, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей известно как кросс-последовательность. (См. выше раздел о последовательностях Аппеля и о дифференциально-операторном представлении, которое приводит к его простому выводу. Это тождество биномиального типа для α = β = ⁠ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[\beta ]}(y).}$$1/2⁠ , уже встречался в разделе выше, посвященном отношениям #Рекурсии.)

«Отрицательная дисперсия»

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции композиции тени , можно обозначить через последовательность, обратную той, которая обозначена аналогичным образом, но без знака минус, и, таким образом, говорить о полиномах Эрмита с отрицательной дисперсией. Для α > 0 коэффициенты являются просто абсолютными значениями соответствующих коэффициентов . $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n- й момент нормального распределения с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² равен , где X — случайная величина с заданным нормальным распределением. Особый случай тождества кросс-последовательности тогда говорит, что $${\displaystyle E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$$

Эрмитовы функции

Определение

Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из физических полиномов: Таким образом, $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$ $${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они являются ортонормальными : и они образуют ортонормированный базис L ² ( R ) . Этот факт эквивалентен соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. выше). $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$$

Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера (Whittaker & Watson 1996) D _n ( z ) : и, следовательно, с другими функциями параболического цилиндра . $${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$$

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению Это уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственными функциями . $${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$$

Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 1 (оранжевый, пунктирный), 2 (зеленый, штрихпунктирный), 3 (красный, пунктирный), 4 (фиолетовый, сплошной) и 5 ​​(коричневый, пунктирный)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$$

Функции Эрмита: 0 (синяя, сплошная), 2 (оранжевая, пунктирная), 4 (зеленая, штрихпунктирная) и 50 (красная, сплошная)

Рекурсивное отношение

Следуя рекурсивным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются и $${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$$ $${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$$

Расширение первого соотношения на произвольные производные m -го порядка для любого положительного целого числа m приводит к $${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x)\operatorname {He} _{k}(x).}$$

Эту формулу можно использовать совместно с рекуррентными соотношениями для He _n и ψ _n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера

Для действительных x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера ^{[13] [14]} и Джека Индрица: ^[15] $${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье

Функции Эрмита ψ _n ( x ) представляют собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы увидеть это, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e ^{− ⁠1/2⁠ x 2.} Это дает $${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Преобразование Фурье левой части определяется выражением $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Преобразование Фурье правой части определяется выражением $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Приравнивая одинаковые степени t в преобразованных версиях левой и правой сторон, в конечном итоге получаем $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$$

Таким образом, функции Эрмита ψ _n ( x ) являются ортонормированным базисом L ² ( R ) , который диагонализирует оператор преобразования Фурье . ^[16]

Распределения Вигнера функций Эрмита

Функция распределения Вигнера функции Эрмита n -го порядка связана с полиномом Лагерра n -го порядка . Полиномы Лагерра приводят к осцилляторным функциям Лагерра Для всех натуральных целых чисел n нетрудно увидеть ^[17] , что где распределение Вигнера функции x ∈ L ² ( R , C ) определяется как Это фундаментальный результат для квантового гармонического осциллятора, открытого Хипом Грёневольдом в 1946 году в его докторской диссертации. ^[18] Это стандартная парадигма квантовой механики в фазовом пространстве . $${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$$ $${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$$ $${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$$ $${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$$

Существуют и другие соотношения между двумя семействами многочленов.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

В многочлене Эрмита He _n ( x ) дисперсии 1 абсолютное значение коэффициента при x ^k равно числу (неупорядоченных) разбиений n -элементного множества на k одиночных элементов и ⁠н − к/2⁠ (неупорядоченных) пар. Эквивалентно, это число инволюций n -элементного множества с ровно k неподвижными точками, или, другими словами, число сопоставлений в полном графе на n вершинах, которые оставляют k вершин непокрытыми (действительно, полиномы Эрмита являются полиномами сопоставления этих графов). Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее число разбиений на синглтоны и пары, так называемые телефонные номера

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (последовательность A000085 в OEIS ).

Эту комбинаторную интерпретацию можно связать с полными экспоненциальными полиномами Белла следующим образом: где x _i = 0 для всех i > 2 . $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$$

Эти числа также могут быть выражены как специальное значение полиномов Эрмита: ^[19] $${\displaystyle T(n)={\frac {\operatorname {He} _{n}(i)}{i^{n}}}.}$$

Полнота отношения

Формула Кристоффеля –Дарбу для полиномов Эрмита имеет вид $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

Более того, для приведенных выше функций Эрмита выполняется следующее тождество полноты в смысле распределений : где δ — дельта-функция Дирака , ψ _{n —} функции Эрмита, а δ ( x − y ) представляет собой меру Лебега на прямой y = x в R ² , нормированную так, что ее проекция на горизонтальную ось является обычной мерой Лебега. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$$

Это тождество распределения следует Винеру (1958), принимая u → 1 в формуле Мелера , справедливой при −1 < u < 1 : что часто эквивалентно формулируется как сепарабельное ядро, ^{[20] [21]} $${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$$

Функция ( x , y ) → E ( x , y ; u ) является двумерной гауссовой плотностью вероятности на R ² , которая, когда u близко к 1, очень сконцентрирована вокруг линии y = x и очень распространена на этой линии. Из этого следует, что когда f и g непрерывны и компактны. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$$

Это дает, что f может быть выражена в функциях Эрмита как сумма ряда векторов в L ² ( R ) , а именно, $${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$$

Чтобы доказать приведенное выше равенство для E ( x , y ; u ) , многократно используется преобразование Фурье гауссовых функций : $${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$$

Тогда многочлен Эрмита представляется как $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$$

При таком представлении для H _n ( x ) и H _n ( y ) очевидно, что и это дает желаемое разрешение результата тождества, снова используя преобразование Фурье гауссовых ядер при подстановке $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$$

Смотрите также

• Преобразование Эрмита
• полиномы Лежандра
• ядро Мелера
• Функция параболического цилиндра
• Полиномы Романовского
• Неравенства Турана

Примечания

1. Лаплас (1811). «Записки об определенных интегралах и их применении к вероятностям, и особенно к поиску среднего значения, которое необходимо выбирать среди результатов наблюдений]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Imperial de France (на французском языке). 11 : 297–347.
2. Лаплас, П.-С. (1812), Théorie Analytique des Probilités [ Аналитическая теория вероятностей ], том. 2, стр. 194–203.Собраны в Œuvres Completes VII.
3. Чебышев, П. (1860). «Sur le développement des fonctions à une seulevarium» [О разработке функций с одной переменной]. Бюллетень Имперской академии наук Санкт-Петербурга (на французском языке). 1 : 193–200.Собрано в Œuvres I, 501–508.
4. Эрмит, К. (1864). «Sur un nouveau développement en série de fonctions» [О новом развитии функциональной серии]. ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 58 : 93–100, 266–273.Собрано в Œuvres II , 293–308.
5. Том Х. Коорнвиндер, Родерик С.К. Вонг и Рулоф Кукук и др. (2010) и Абрамовиц и Стегун .
6. Уртадо Бенавидес, Мигель Анхель. (2020). Де-лас-суммы-де-потенциалы, лас-аппелл и ваши особенности в функциях. [Тесис де маэстрия]. Университет Серджио Арболеды.
7. "18. Ортогональные многочлены, Классические ортогональные многочлены, Суммы". Цифровая библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий . Получено 30 января 2015 г.
8. Абрамовиц и Стегун 1983, с. 508–510, 13.6.38 и 13.5.16.
9. Сегё 1955, стр. 201
10. "Учебник MATHEMATICA, часть 2.5: Расширение Эрмита". www.cfm.brown.edu . Получено 24.12.2023 .
11. Аски, Ричард; Вайнгер, Стивен (1965). «Средняя сходимость разложений в ряды Лагерра и Эрмита». American Journal of Mathematics . 87 (3): 695–708. doi :10.2307/2373069. ISSN  0002-9327.
12. Роман, Стивен (1984), Теневой исчисление , Чистая и прикладная математика, т. 111 (1-е изд.), Academic Press, стр. 87–93, ISBN 978-0-12-594380-2
13. Эрдели и др. 1955, с. 207.
14. Сегё 1955.
15. Индритц, Джек (1961), «Неравенство для многочленов Эрмита», Труды Американского математического общества , 12 (6): 981–983, doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 , MR  0132852
16. В этом случае мы использовали унитарную версию преобразования Фурье, поэтому собственные значения равны (− i ) ⁿ . Полученное разрешение тождества затем служит для определения степеней, включая дробные, преобразования Фурье, то есть обобщения дробного преобразования Фурье , по сути, ядра Мелера .
17. Фолланд, ГБ (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Annals of Mathematics Studies, т. 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08528-9
18. Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
19. Бандерье, Сирил; Буске-Мелу, Мирей ; Дениз, Ален; Флажоле, Филипп ; Гарди, Даниэль; Гую-Бошам, Доминик (2002), «Производящие функции для генерации деревьев», Discrete Mathematics , 246 (1–3): 29–55, arXiv : math/0411250 , doi : 10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , МР  1884885, S2CID  14804110
20. Мелер, Ф.Г. (1866), «Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung» [О разработке функции произвольного числа переменных в соответствии с функциями Лапласа высшего порядка], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке) (66): 161–176, ISSN.  0075-4102, ЭРАМ  066.1720cj. См. стр. 174, ур. (18) и стр. 173, ур. (13).
21. Эрдели и др. 1955, с. 194, 10,13 (22).

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989) [1953], Методы математической физики , т. 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. II, МакГроу-Хилл, ISBN 978-0-07-019546-2, заархивировано из оригинала (PDF) 2011-07-14 , извлечено 2014-07-17
• Федорюк, М.В. (2001) [1994], "Функция Эрмита", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ортогональные многочлены", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Лаплас, PS (1810), «Мемуар о интегральных определениях и применении вероятностей и специальных исследованиях среды, которые не могут быть выбраны из результатов наблюдений», Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347Oeuvres complètes 12, pp.357-412, перевод на английский язык. Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine .
• Шохат, JA; Хилле, Эйнар; Уолш, Джозеф Л. (1940), Библиография по ортогональным многочленам , Бюллетень Национального исследовательского совета, Вашингтон, округ Колумбия: Национальная академия наук- 2000 ссылок на Библиографию по полиномам Эрмита.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], "Многочлены Эрмита", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Сегё, Габор (1955) [1939], Ортогональные многочлены , Colloquium Publications, т. 23 (4-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1023-1
• Темме, Нико (1996), Специальные функции: Введение в классические функции математической физики , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3
• Винер, Норберт (1958) [1933], Интеграл Фурье и некоторые его приложения (пересмотренное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1996) [1927], Курс современного анализа (4-е изд.), Лондон: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с полиномами Эрмита на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Эрмита». Математический мир .
• GNU Scientific Library — включает в себя C- версию полиномов Эрмита, функций, их производных и нулей (см. также GNU Scientific Library )