Координаты действие-угол

Метод решения некоторых механических проблем

В классической механике переменные действие-угол представляют собой набор канонических координат , которые полезны для характеристики природы коммутирующих потоков в интегрируемых системах, когда множество сохраняющихся уровней энергии компактно, а коммутирующие потоки полны. Переменные действие-угол также важны для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения . Они существуют только, обеспечивая ключевую характеристику динамики, когда система полностью интегрируема , т. е. число независимых коммутирующих инвариантов Пуассона максимально, а поверхность сохраняющейся энергии компактна. Это обычно имеет практическое вычислительное значение, когда уравнение Гамильтона-Якоби полностью разделимо, и константы разделения могут быть решены для, как функции на фазовом пространстве. Переменные действие-угол определяют расслоение инвариантными лагранжевыми торами , поскольку потоки, индуцированные коммутирующими инвариантами Пуассона, остаются в пределах их совместных множеств уровня, в то время как компактность множества уровня энергии подразумевает, что они являются торами. Угловые переменные обеспечивают координаты на листьях, в которых коммутирующие потоки являются линейными.

Связь между классическими гамильтоновыми системами и их квантованием в подходе волновой механики Шредингера становится ясной, если рассматривать уравнение Гамильтона–Якоби как член ведущего порядка в асимптотическом ряду ВКБ для уравнения Шредингера. В случае интегрируемых систем условия квантования Бора–Зоммерфельда были впервые использованы, до появления квантовой механики, для вычисления спектра атома водорода. Они требуют, чтобы существовали переменные действие-угол, и чтобы они были целыми кратными приведенной постоянной Планка . Понимание Эйнштейном в квантовании ЭБК трудности квантования неинтегрируемых систем основывалось на этом факте.

Координаты действие-угол также полезны в теории возмущений гамильтоновой механики , особенно при определении адиабатических инвариантов . Одним из самых ранних результатов теории хаоса для динамической устойчивости интегрируемых динамических систем при малых возмущениях является теорема КАМ , которая утверждает, что инвариантные торы частично устойчивы.

В современной теории интегрируемых систем переменные действие-угол использовались в решении решетки Тоды , определении пар Лакса или, в более общем смысле, изоспектральной эволюции линейного оператора, характеризующего интегрируемую динамику, и интерпретации связанных спектральных данных как переменных действие-угол в гамильтоновой формулировке.

Вывод

Углы действия получаются из канонического преобразования типа 2 , где производящая функция является характеристической функцией Гамильтона ( а не главной функцией Гамильтона ). Поскольку исходный гамильтониан явно не зависит от времени, новый гамильтониан — это просто старый гамильтониан, выраженный через новые канонические координаты , которые мы обозначаем как ( углы действия , которые являются обобщенными координатами ) и их новые обобщенные импульсы . Нам не нужно будет решать здесь саму производящую функцию ; вместо этого мы будем использовать ее просто как средство для связи новых и старых канонических координат . ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle W}$

Вместо того чтобы определять углы действия напрямую, мы определяем их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие для каждой исходной обобщенной координаты. ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

где путь интегрирования неявно задан функцией постоянной энергии . Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы являются константами движения, что подразумевает, что преобразованный гамильтониан не зависит от сопряженных обобщенных координат ${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$ ${\displaystyle J_{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

где задаются типичным уравнением для канонического преобразования типа 2 ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

Следовательно, новый гамильтониан зависит только от новых обобщенных импульсов . ${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Динамика углов действия задается уравнениями Гамильтона

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

Правая часть — константа движения (так как все s —). Следовательно, решение имеет вид ${\displaystyle J}$

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

где — константа интегрирования. В частности, если исходная обобщенная координата совершает колебание или вращение с периодом , соответствующий угол действия изменяется на . ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$

Это частоты колебания/вращения для исходных обобщенных координат . Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия по точно одному полному изменению (т.е. колебанию или вращению) его обобщенных координат. ${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

Приравняв оба выражения , получаем искомое уравнение ${\displaystyle \Delta w_{k}}$

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

Углы действия представляют собой независимый набор обобщенных координат . Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата может быть выражена в виде ряда Фурье по всем углам действия ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

где - коэффициент ряда Фурье. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата будет выражена как ряд Фурье только по собственным углам действия ${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

Краткое изложение основного протокола

Общая процедура состоит из трех этапов:

1. Рассчитайте новые обобщенные импульсы ${\displaystyle J_{k}}$
2. Выразите исходный гамильтониан полностью через эти переменные.
3. Возьмем производные гамильтониана по этим импульсам, чтобы получить частоты ${\displaystyle \nu _{k}}$

Вырождение

В некоторых случаях частоты двух различных обобщенных координат одинаковы, т. е . при . В таких случаях движение называется вырожденным . ${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$ ${\displaystyle k\neq l}$

Вырожденное движение свидетельствует о наличии дополнительных общих сохраняющихся величин; например, частоты задачи Кеплера являются вырожденными, что соответствует сохранению вектора Лапласа–Рунге–Ленца .

Вырожденное движение также свидетельствует о том, что уравнения Гамильтона–Якоби полностью разделимы в более чем одной системе координат; например, задача Кеплера полностью разделима как в сферических, так и в параболических координатах .

Смотрите также

• Интегрируемая система
• Тавтологическая одна форма
• Суперинтегрируемая гамильтонова система
• Метод Эйнштейна–Бриллюэна–Келлера

Ссылки

• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8(твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкий переплет) 
• Голдштейн, Х. (1980), Классическая механика (2-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-02918-9
• Сарданашвили, Г. (2015), Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам , URSS, ISBN 978-5-396-00687-4
• Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book.....P, ISBN 978-1-58488-053-0