Короткое деление

В арифметике короткое деление — это алгоритм деления , который разбивает задачу деления на ряд более простых шагов. Это сокращенная форма длинного деления , при которой продукты опускаются, а частичные остатки обозначаются верхними индексами .

В результате таблица короткого деления короче, чем ее аналог длинного деления — хотя иногда за счет использования ментальной арифметики , которая может ограничить размер делителя .

Для большинства людей маленькие целые делители до 12 обрабатываются с помощью заученных таблиц умножения , хотя эту процедуру можно адаптировать и для больших делителей.

Как и во всех задачах о делении, число, называемое делимым , делится на другое число, называемое делителем . Ответом на задачу будет частное , а в случае евклидова деления остаток также будет включен.

Используя короткое деление, можно получить сколь угодно большие дивиденды. ^[1]

Таблица

При коротком разделении не используются символы косой черты (/) или знака деления (÷). Вместо этого он отображает делимое, делитель и частное (когда оно найдено) в таблице . Ниже показан пример, представляющий деление 500 на 4. Частное равно 125.

${\displaystyle {\begin{array}{r}125\\4{\overline {)500}}\\\end{array}}}$

Альтернативно, полоса может быть размещена под числом, что означает, что сумма перемещается вниз по странице. В этом отличие от длинного деления , где для работы требуется пространство под делимым:

${\displaystyle {\begin{array}{r}4{\underline {)500}}\\125\\\end{array}}}$

Пример

Процедура включает в себя несколько шагов. В качестве примера рассмотрим 950, разделенное на 4:

1. Делимое и делитель записываются в таблице короткого деления:

   ${\displaystyle 4{\overline {)950}}\ }$

   Для деления 950 на 4 за один прием потребуется знание таблицы умножения до 238 × 4. Вместо этого деление сводится к небольшим шагам. Начиная слева, выбирается достаточно цифр, чтобы сформировать число (называемое частичным делимым ), которое имеет размер не менее 4 × 1, но меньше 4 × 10 (4 — делитель в этой задаче). Здесь частичный дивиденд равен 9.
2. Первое число, которое нужно разделить на делитель (4), является частичным делимым (9). Целую часть результата (2) записывают над чертой деления над самой левой цифрой делимого, а остаток (1) записывают в виде маленькой цифры над и справа от частичного делимого (9).

   ${\displaystyle {\begin{matrix}2\\4{\overline {)9^{1}50}}\end{matrix}}}$

3. Далее повторяется шаг 2, используя маленькую цифру, объединенную со следующей цифрой делимого, для формирования нового частичного делимого (15). Разделив новое частичное делимое на делитель (4), результат записывают, как и раньше — частное над следующей цифрой делимого, а остаток в виде маленькой цифры вверху справа. (Здесь 15 разделить на 4 — 3 с остатком 3.)

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\,\,2\ 3\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0}}\\\end{matrix}}}$

4. Продолжаем повторять шаг 2 до тех пор, пока в делимом не останется цифр. В этом примере мы видим, что 30, разделенное на 4, равно 7 с остатком 2. Число, написанное над чертой (237), представляет собой частное, а последняя маленькая цифра (2) — это остаток.

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0^{2}}}\\\end{matrix}}}$

5. Ответ в этом примере — 237 с остатком 2. Альтернативно мы можем продолжить описанную выше процедуру, если хотим получить десятичный ответ. Мы делаем это, добавляя десятичную точку и нули по мере необходимости справа от делимого, а затем рассматривая каждый ноль как еще одну цифру делимого. Таким образом, следующий шаг в таком расчете даст следующее:

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7.\ 5\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\\end{matrix}}}$

Используя альтернативный макет, окончательная работа будет такой:

${\displaystyle {\begin{array}{r}4{\underline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\2^{\color {White}1}3^{\color {White}3}7.^{\color {White}2}5\\\end{array}}}$

Как обычно, аналогичные шаги также можно использовать для обработки случаев с десятичным делимым или случаев, когда делитель состоит из нескольких цифр. ^[2]

Прайм факторинг

Пример ручной факторизации.

Общее требование — привести число к его простым множителям. Это особенно используется при работе с вульгарными дробями . Делимое последовательно делится на простые числа, повторяя там, где это возможно:

${\displaystyle {\begin{array}{r}2{\underline {)950}}\\5{\underline {)475}}\\5{\underline {){\color {White}0}95}}\\\ \ \ 19\\\end{array}}}$

В результате 950 = 2 x 5² x 19.

Деление по модулю

Если вас интересует только остаток от деления, эта процедура (разновидность короткого деления) игнорирует частное и подсчитывает только остатки. Его можно использовать для ручного расчета по модулю или в качестве проверки на четность . Цифры частного не записываются.

Ниже показано решение (с использованием короткого деления) числа 16762109, разделенного на семь.

${\displaystyle {\begin{matrix}7)16^{2}7^{6}6^{3}2^{4}1^{6}0^{4}9^{0}\end{matrix}}}$

Остаток равен нулю, поэтому 16762109 делится ровно на 7.

Как автомат

Учитывая делитель k , эту процедуру можно записать как детерминированный конечный автомат с k состояниями, каждое из которых соответствует возможному остатку. ^[3] Это означает, что множество чисел, делящихся на k , является регулярным языком .

Смотрите также

• Арифметика произвольной точности
• Дробление (деление)
• Алгоритм деления
• Элементарная арифметика
• деление Фурье
• Длинное деление
• Полиномиальное длинное деление
• Синтетическое подразделение

Рекомендации

1. ГП Квакенбос, доктор юридических наук. (1874). «Глава VII: Дивизия». Практическая арифметика. Д. Эпплтон и компания.
2. «Деление целых чисел — Полный курс арифметики». www.themathpage.com . Проверено 23 июня 2019 г.
3. Алексеев, Борис (1 сентября 2004 г.). «Минимальный DFA для проверки делимости». Журнал компьютерных и системных наук . 69 (2): 235. doi : 10.1016/j.jcss.2004.02.001 .

Внешние ссылки

• Альтернативные алгоритмы деления: двойное деление, частичные частные и деление столбцом, фильм о частичных частных
• Урок краткого разделения: TheMathPage.com