Котангенсивное пространство

Дуальное пространство к касательному пространству в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии кокасательное пространство — это векторное пространство , связанное с точкой на гладком (или дифференцируемом) многообразии ; можно определить кокасательное пространство для каждой точки на гладком многообразии. Обычно кокасательное пространство определяется как двойственное пространство касательного пространства в , , хотя существуют и более прямые определения (см. ниже). Элементы кокасательного пространства называются кокасательными векторами или касательными ковекторами . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

Характеристики

Все кокасательные пространства в точках связного многообразия имеют одинаковую размерность , равную размерности многообразия. Все кокасательные пространства многообразия могут быть «склеены» (т. е. объединены и снабжены топологией), чтобы образовать новое дифференцируемое многообразие удвоенной размерности, кокасательное расслоение многообразия.

Касательное пространство и кокасательное пространство в точке являются действительными векторными пространствами одинаковой размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы приводит к естественному изоморфизму между касательным пространством и кокасательным пространством в точке, сопоставляя любому касательному ковектору канонический касательный вектор.

Формальные определения

Определение как линейных функционалов

Пусть будет гладким многообразием и пусть будет точкой в ​​. Пусть будет касательным пространством в точке . Тогда кокасательное пространство в точке x определяется как двойственное пространство к : ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

Конкретно, элементы кокасательного пространства являются линейными функционалами на . То есть, каждый элемент является линейным отображением ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

где — основное поле рассматриваемого векторного пространства, например, поле действительных чисел . Элементы называются котангенсивными векторами. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$

Альтернативное определение

В некоторых случаях может потребоваться прямое определение кокасательного пространства без ссылки на касательное пространство. Такое определение можно сформулировать в терминах классов эквивалентности гладких функций на . Неформально мы будем говорить, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке , если они имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи , аналогичное их линейным полиномам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи тогда и только тогда, когда производная функции f − g обращается в нуль в . Тогда кокасательное пространство будет состоять из всех возможных поведений первого порядка функции вблизи . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Пусть будет гладким многообразием и пусть x будет точкой в ​​. Пусть будет идеалом всех функций в , обращающимся в нуль в , и пусть будет множеством функций вида , где . Тогда и являются действительными векторными пространствами, а кокасательное пространство можно определить как факторпространство , показав, что два пространства изоморфны друг другу. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle C^{\infty }\!({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}}$

Эта формулировка аналогична построению кокасательного пространства для определения касательного пространства Зарисского в алгебраической геометрии. Построение также обобщается на локально окольцованные пространства .

Дифференциал функции

Пусть будет гладкое многообразие и пусть будет гладкая функция . Дифференциал в точке — это отображение ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

где — касательный вектор в точке , рассматриваемый как производная. То есть — производная Ли в направлении , и имеем . Эквивалентно, мы можем рассматривать касательные векторы как касательные к кривым и записывать ${\displaystyle X_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

В любом случае является линейным отображением на и, следовательно, является касательным ковектором в . ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

Затем мы можем определить дифференциальную карту в точке как карту, которая отправляет в . Свойства дифференциальной карты включают: ${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$является линейным отображением: для констант и , ${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

Дифференциальное отображение обеспечивает связь между двумя альтернативными определениями кокасательного пространства, данными выше. Поскольку для всех существуют такие, что , то имеем, т.е. Все функции в имеют дифференциальный нуль, то для любых двух функций , , то имеем . Теперь мы можем построить изоморфизм между и , отправив линейные отображения в соответствующие смежные классы . Поскольку для заданного ядра и наклона существует единственное линейное отображение, это изоморфизм, устанавливающий эквивалентность двух определений. ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$ ${\textstyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\textstyle =\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}=}$ ${\textstyle \sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))=}$ ${\textstyle \sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)=0}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g\in I_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$

Откат гладкой карты

Так же, как каждое дифференцируемое отображение между многообразиями индуцирует линейное отображение (называемое прямым отображением или производной ) между касательными пространствами ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

Каждое такое отображение индуцирует линейное отображение (называемое обратным отображением ) между кокасательными пространствами, только на этот раз в обратном направлении:

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

Pullback естественным образом определяется как дуал (или транспонирование) pushforward . Расшифровывая определение, это означает следующее:

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

где и . Внимательно обратите внимание, где все живет. ${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$ ${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$

Если мы определим касательные ковекторы в терминах классов эквивалентности гладких отображений, исчезающих в точке, то определение обратного пути становится еще более простым. Пусть будет гладкой функцией на исчезающей в точке . Тогда обратный путь ковектора, определяемый (обозначается ), задается как ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} g}$

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

То есть, это класс эквивалентности функций при исчезновении в точке , определяемый соотношением . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Внешние полномочия

-я внешняя степень кокасательного пространства, обозначаемая , является еще одним важным объектом в дифференциальной и алгебраической геометрии. Векторы в -й внешней степени, или, точнее, сечения -й внешней степени кокасательного расслоения , называются дифференциальными -формами . Их можно рассматривать как чередующиеся, полилинейные отображения на касательных векторах. По этой причине касательные ковекторы часто называют один-формами . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ссылки

• Абрахам, Ральф Х.; Марсден , Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, т. 218, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95448-6
• Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0