Q-фактор

Параметр, характеризующий длительность существования энергии в резонаторе относительно его резонансной частоты

Затухающие колебания. Низкий коэффициент добротности — здесь около 5 — означает, что колебания быстро затухают.

В физике и технике добротность или Q - фактор — это безразмерный параметр, описывающий, насколько недодемпфирован осциллятор или резонатор . Он определяется как отношение начальной энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, потерянной за один радиан цикла колебаний. ^[1] Q -фактор также определяется как отношение центральной частоты резонатора к его полосе пропускания при воздействии колебательной движущей силы. Эти два определения дают численно схожие, но не идентичные результаты. ^[2] Более высокая Q указывает на более низкую скорость потери энергии, и колебания затухают медленнее. Маятник, подвешенный на высококачественном подшипнике, колеблющийся в воздухе, имеет высокую Q , в то время как маятник, погруженный в масло, имеет низкую. Резонаторы с высокой добротностью имеют низкое затухание , поэтому они звенят или вибрируют дольше.

Объяснение

Фактор добротности — это параметр, описывающий резонансное поведение слабозатухающего гармонического осциллятора (резонатора). Синусоидально возбуждаемые резонаторы с более высокими факторами добротности резонируют с большими амплитудами (на резонансной частоте), но имеют меньший диапазон частот вокруг той частоты, на которой они резонируют; диапазон частот, на которых резонирует генератор, называется полосой пропускания. Таким образом, настроенную схему с высокой добротностью в радиоприемнике будет сложнее настроить, но она будет иметь большую избирательность ; она будет лучше отфильтровывать сигналы от других станций, которые находятся поблизости в спектре. Генераторы с высокой добротностью колеблются с меньшим диапазоном частот и более стабильны.

Добротность генераторов существенно различается от системы к системе в зависимости от их конструкции. Системы, для которых важно демпфирование (например, демпферы, удерживающие дверь от захлопывания), имеют добротность около 1 ⁄ 2 . Часы, лазеры и другие резонирующие системы, которым требуется либо сильный резонанс, либо высокая стабильность частоты, имеют высокие добротности. Камертоны имеют добротности около 1000. Добротность атомных часов , сверхпроводящих радиочастотных резонаторов, используемых в ускорителях, и некоторых лазеров с высокой добротностью может достигать 10 ^{11 [3]} и выше. ^[4]

Существует много альтернативных величин, используемых физиками и инженерами для описания того, насколько затухает осциллятор. Важные примеры включают: коэффициент затухания , относительную полосу пропускания , ширину линии и полосу пропускания, измеренную в октавах .

Концепция Q возникла у К. С. Джонсона из инженерного отдела компании Western Electric Company при оценке качества катушек (индукторов). Он выбрал символ Q только потому, что в то время все остальные буквы алфавита были заняты. Термин не был задуман как сокращение от «качества» или «фактора качества», хотя эти термины стали ассоциироваться с ним. ^{[5] [6] [7]}

Определение

Определение Q с момента его первого использования в 1914 году было обобщено для применения к катушкам и конденсаторам, резонансным контурам, резонансным устройствам, резонансным линиям передачи, объемным резонаторам ^[5] и вышло за рамки области электроники, чтобы применяться к динамическим системам в целом: механическим и акустическим резонаторам, материальной Q и квантовым системам, таким как спектральные линии и резонансы частиц.

Определение пропускной способности

В контексте резонаторов существуют два общих определения для Q , которые не являются точно эквивалентными. Они становятся приблизительно эквивалентными по мере увеличения Q , что означает, что резонатор становится менее затухающим. Одно из этих определений — отношение частоты к полосе пропускания резонатора: ^[5]

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{\mathrm {r} }}{\Delta f}}={\frac {\omega _{\mathrm {r} }}{\Delta \omega }},}$$

где f _r — резонансная частота, Δ f — ширина резонанса или полная ширина на уровне половины максимума (FWHM), т.е. полоса пропускания, в которой мощность вибрации больше половины мощности на резонансной частоте, ω _r = 2 πf _r — угловая резонансная частота, а Δ ω — угловая ширина полосы пропускания на уровне половинной мощности.

Согласно этому определению, Q является величиной, обратной дробной полосе пропускания .

Определение запасенной энергии

Другое общее почти эквивалентное определение Q — это отношение энергии, запасенной в колеблющемся резонаторе, к энергии, рассеиваемой за цикл в результате процессов затухания: ^{[8] [9] [5]}

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{\mathrm {r} }\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.}$$

Множитель 2π делает Q выражаемым в более простых терминах, включающих только коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка, описывающего большинство резонансных систем, электрических или механических. В электрических системах запасенная энергия представляет собой сумму энергий, запасенных в безпотерьных индукторах и конденсаторах ; потерянная энергия представляет собой сумму энергий, рассеиваемых в резисторах за цикл. В механических системах запасенная энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в некоторый момент времени; потерянная энергия представляет собой работу, совершаемую внешней силой за цикл для поддержания амплитуды.

В более общем плане и в контексте спецификации реактивных компонентов (особенно индукторов) используется частотно-зависимое определение Q : ^{[8] [10] [ проверка не удалась – см. обсуждение ] [9]}

$${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},}$$

где ω — угловая частота, на которой измеряются запасенная энергия и потери мощности. Это определение согласуется с его использованием при описании цепей с одним реактивным элементом (конденсатором или индуктором), где можно показать, что оно равно отношению реактивной мощности к реальной мощности . ( См. Отдельные реактивные компоненты.)

Вфактор и затухание

Фактор Q определяет качественное поведение простых затухающих осцилляторов. (Математические подробности об этих системах и их поведении см. в гармоническом осцилляторе и линейной системе с инвариантностью во времени (LTI) .)

• Система с низким коэффициентом качества ( Q < ⁠1/2⁠ ) ​​называется сверхдемпфированным . Такая система вообще не колеблется, но при смещении от своего равновесного стационарного выходного сигнала она возвращается к нему путемэкспоненциального затухания, приближаясь к значению стационарного состоянияасимптотически. Она имеетимпульсную характеристику, которая является суммой двухзатухающих экспоненциальных функцийс разными скоростями затухания. По мере уменьшения добротности более медленная мода затухания становится сильнее по сравнению с более быстрой модой и доминирует в реакции системы, что приводит к более медленной системе.Фильтр нижних частотс очень низким добротностью имеет реакцию на скачок, близкую к реакции первого порядка; выходной сигнал системы реагирует наступенчатыйвходной сигнал, медленно поднимаясь касимптоте.
• Система с высоким коэффициентом качества ( Q > ⁠1/2⁠ ) ​​называется недодемпфированным . Недодемпфированные системы сочетают колебания на определенной частоте с затуханием амплитуды сигнала. Недодемпфированные системы с низким коэффициентом качества (немного выше Q = ⁠1/2⁠ ) ​​может колебаться только один или несколько раз, прежде чем затихнуть. По мере увеличения добротности относительное количество затухания уменьшается. Высококачественный колокол звонит одним чистым тоном в течение очень долгого времени после удара. Чисто колебательная система, такая как колокол, который звонит вечно, имеет бесконечную добротность. В более общем смысле выходной сигналфильтра нижних частотс очень высокой добротностью реагирует на ступенчатый входной сигнал, быстро поднимаясь выше, колеблясь вокруг и в конечном итоге сходясь к установившемуся значению.
• Система с промежуточным коэффициентом качества ( Q = ⁠1/2⁠ ) ​​называется критически затухающим . Как и в случае сверхзатухающей системы, выход не колеблется и не превышает свой установившийся выход (т. е. приближается к асимптоте установившегося состояния). Как и в случае недостаточно затухающего отклика, выход такой системы быстро реагирует на единичный шаг входного сигнала. Критическое затухание приводит к максимально быстрому отклику (приближению к конечному значению) без перерегулирования. Реальные характеристики системы обычно допускают некоторое перерегулирование для более быстрого начального отклика или требуют более медленного начального отклика, чтобы обеспечить запаспрочностипротив перерегулирования.

В системах с отрицательной обратной связью доминирующий отклик замкнутого контура часто хорошо моделируется системой второго порядка. Фазовый запас системы с разомкнутым контуром задает добротность Q замкнутой системы; по мере уменьшения фазового запаса приближенная система замкнутого контура второго порядка становится более колебательной (т. е. имеет более высокую добротность).

Некоторые примеры

• Топология фильтра нижних частот Саллена-Ки с единичным усилением , равными конденсаторами и равными резисторами критически затухает (т. е. Q = ⁠1/2⁠ ).
• Фильтр Бесселя второго порядка (т.е. непрерывный фильтр с максимально плоской групповой задержкой ) имеет недодемпфированное Q = ⁠1/√ 3⁠ .
• Фильтр Баттерворта второго порядка (т. е. фильтр непрерывного действия с наиболее плоской частотной характеристикой полосы пропускания) имеет недодемпфированную Q = ⁠1/√ 2⁠ .^[11]
• Добротность маятника равна: Q = Mω / Γ , где M — масса груза, ω = 2 π / T — радианная частота колебаний маятника, а Γ — сила трения, действующая на маятник на единицу скорости.
• Конструкция высокоэнергетического (околотерагерцового ) гиротрона учитывает как дифракционную добротность как функцию длины резонатора L , длины волны λ , так и омическую добротность ( TE _m,p –моды). ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$

  $${\displaystyle Q_{\Omega }={\frac {R_{\mathrm {w} }}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}},}$$

  где R _w — радиус стенки полости, δ — глубина скин-слоя стенки полости, v _m,p — скаляр собственного значения ( m — азимутальный индекс, p — радиальный индекс; в данном случае глубина скин-слоя равна ) ^[12] ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_{o}}}}$
• В медицинской ультрасонографии датчик с высоким Q -фактором подходит для допплеровской ультрасонографии из-за его длительного времени звона вниз, где он может измерять скорости кровотока. Между тем, датчик с низким Q -фактором имеет короткое время звона вниз и подходит для визуализации органов, поскольку он может получать широкий спектр отраженных эхо-сигналов от органов тела. ^[13]

Физическая интерпретация

С физической точки зрения Q приблизительно равен отношению накопленной энергии к энергии, рассеиваемой за один радиан колебания; или, что почти эквивалентно, при достаточно высоких значениях Q , 2π, умноженному на отношение общей накопленной энергии к энергии, теряемой за один цикл. ^[14]

Это безразмерный параметр, который сравнивает экспоненциальную постоянную времени τ для затухания амплитуды колеблющейся физической системы с ее периодом колебаний . Эквивалентно, он сравнивает частоту, с которой система колеблется, со скоростью, с которой она рассеивает свою энергию. Точнее, используемые частота и период должны основываться на собственной частоте системы, которая при низких значениях Q несколько выше частоты колебаний, измеренной путем пересечения нуля.

Эквивалентно (для больших значений Q ), фактор Q приблизительно равен числу колебаний, необходимых для того, чтобы энергия свободно колеблющейся системы упала до e ^{−2 π} , или около 1 ⁄ 535 или 0,2% от ее первоначальной энергии. ^[15] Это означает, что амплитуда падает примерно до e ^{− π} или 4% от ее первоначальной амплитуды. ^[16]

Ширина (полоса пропускания) резонанса определяется (приблизительно): где f _N — собственная частота , а Δ f — полоса пропускания , ширина диапазона частот, для которого энергия составляет по крайней мере половину своего пикового значения. $${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,}$$

Резонансная частота часто выражается в натуральных единицах (радианы в секунду), а не с помощью f _N в герцах , как $${\displaystyle \omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.}$$

Коэффициенты Q , коэффициент затухания ζ , собственная частота ω _N , скорость затухания α и экспоненциальная постоянная времени τ связаны следующим образом: ^{[17] [ нужная страница ]}

$${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},}$$

а коэффициент затухания можно выразить как:

$${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.}$$

Огибающая колебаний затухает пропорционально e ^{− αt} или e ^{− t/τ} , где α и τ можно выразить как:

$${\displaystyle \alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }}$$и $${\displaystyle \tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.}$$

Энергия колебаний, или рассеиваемая мощность, убывает вдвое быстрее, то есть как квадрат амплитуды, как e ^{−2 αt} или e ^{−2 t/τ} .

Для двухполюсного фильтра нижних частот передаточная функция фильтра равна ^[17]

$${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,}$$

Для этой системы, когда Q > ⁠1/2⁠ (т. е. когда система недостаточно затухает), она имеет двакомплексно-сопряженныхполюса, каждый из которых имеетдействительную часть−α.То есть параметр затуханияαпредставляет собой скоростьэкспоненциального затуханияколебаний (то есть выходного сигнала после импульса)в системе. Более высокий коэффициент качества подразумевает более низкую скорость затухания, и поэтому высокодобротныесистемыколеблются в течение многих циклов. Например, высококачественные колокола имеют приблизительночистый синусоидальный тонв течение длительного времени после удара молотком.

Электрические системы

График величины усиления фильтра, иллюстрирующий концепцию −3 дБ при усилении напряжения 0,707 или полосе пропускания половинной мощности. Ось частоты этой символической диаграммы может быть линейной или логарифмически масштабированной.

Для электрически резонансной системы добротность отражает эффект электрического сопротивления , а для электромеханических резонаторов, таких как кварцевые кристаллы , — эффект механического трения .

Отношения междуВи пропускная способность

Двусторонняя полоса пропускания относительно резонансной частоты F ₀ (Гц) равна F ₀ / Q .

Например, антенна, настроенная на значение Q 10 и центральную частоту 100 кГц, будет иметь полосу пропускания по уровню 3 дБ 10 кГц.

В аудио, полоса пропускания часто выражается в терминах октав . Тогда соотношение между Q и полосой пропускания будет

$${\displaystyle Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},}$$где BW — ширина полосы пропускания в октавах. ^[19]

RLC-цепи

В идеальной последовательной цепи RLC и в настроенном радиоприемнике (TRF) коэффициент добротности равен: ^[20]

$${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$$

где R , L и C — сопротивление , индуктивность и емкость настроенного контура соответственно. Большие последовательные сопротивления соответствуют меньшим значениям Q контура .

Для параллельной RLC-цепи добротность является обратной величиной для последовательной цепи: ^{[21] [20]}

$${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$$^[22]

Рассмотрим схему, в которой R , L и C соединены параллельно. Чем меньше параллельное сопротивление, тем больше оно будет оказывать демпфирующее действие на схему и, таким образом, приводить к снижению Q. Это полезно при проектировании фильтров для определения полосы пропускания.

В параллельной LC-цепи, где основные потери возникают из-за сопротивления индуктора R , последовательного с индуктивностью L , Q как в последовательной цепи. Это обычное явление для резонаторов, где ограничение сопротивления индуктора для улучшения Q и сужения полосы пропускания является желаемым результатом.

Отдельные реактивные компоненты

Добротность отдельного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он оценивается, которая обычно является резонансной частотой схемы, в которой он используется. Добротность катушки индуктивности с последовательным сопротивлением потерь представляет собой добротность резонансной цепи, использующей эту катушку индуктивности (включая ее последовательные потери) и идеальный конденсатор. ^[23]

$${\displaystyle Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}}$$

где:

• ω ₀ — резонансная частота в радианах в секунду;
• L — индуктивность;
• X _L — индуктивное сопротивление ; и
• R _L — последовательное сопротивление катушки индуктивности.

Добротность конденсатора с последовательным сопротивлением потерь такая же, как добротность резонансного контура, использующего этот конденсатор с идеальной индуктивностью: ^[23]

$${\displaystyle Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}}$$

где:

• ω ₀ — резонансная частота в радианах в секунду;
• С — емкость;
• X _C — емкостное сопротивление ; и
• R _C — последовательное сопротивление конденсатора.

В общем случае добротность резонатора, включающего последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, можно определить из значений добротности компонентов, независимо от того, вызваны ли их потери последовательным сопротивлением или чем-то другим: ^[23]

${\displaystyle Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}}$

Механические системы

Для одной демпфированной системы масса-пружина фактор Q представляет собой эффект упрощенного вязкого демпфирования или сопротивления , где демпфирующая сила или сила сопротивления пропорциональна скорости. Формула для фактора Q следующая: где M — масса, k — константа пружины, а D — коэффициент демпфирования, определяемый уравнением F _{демпфирование} = − Dv , где v — скорость. ^[24] $${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$$

Акустические системы

Q музыкального инструмента имеет решающее значение; чрезмерно высокая Q в резонаторе не будет равномерно усиливать множественные частоты, которые производит инструмент. По этой причине струнные инструменты часто имеют корпуса сложной формы, так что они производят широкий диапазон частот довольно равномерно.

Q духового инструмента или инструмента с медной духовкой должен быть достаточно высоким, чтобы выделить одну частоту из более широкого спектра жужжания губ или трости. Напротив, вувузела сделана из гибкого пластика, и поэтому имеет очень низкую Q для духового инструмента, что придает ему грязный, хриплый тон. Инструменты из более жесткого пластика, латуни или дерева имеют более высокие значения Q. Чрезмерно высокая Q может затруднить взятие ноты. Q в инструменте может меняться в зависимости от частоты, но это может быть нежелательным.

Резонаторы Гельмгольца имеют очень высокую добротность , поскольку они предназначены для выделения очень узкого диапазона частот.

Оптические системы

В оптике добротность резонансной полости определяется по формуле: где f _o — резонансная частота, E — запасенная в полости энергия, а P = − ⁠ $${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,}$$дЭ/дт⁠ — рассеиваемая мощность. Оптическая добротность равна отношению резонансной частоты к ширине полосы резонанса полости. Среднее время жизни резонансного фотона в полости пропорционально добротности полости . Если добротность полости лазера резко изменяется с низкого значения на высокое, лазер излучает импульс света, который намного интенсивнее обычного непрерывного выходного сигнала лазера. Этот метод известен как переключение добротности . Добротность имеет особое значение в плазмонике , где потери связаны с затуханием поверхностного плазмонного резонанса . ^[25] Хотя потери обычно считаются препятствием при разработке плазмонных устройств, это свойство можно использовать для представления новых расширенных функций. ^[26]

Смотрите также

• Акустический резонанс
• Затухание
• Предел Чу-Харрингтона
• Список пьезоэлектрических материалов
• Запас по фазе
• Q-метр
• Q-множитель
• Коэффициент рассеяния

Ссылки

1. Хикман, Ян (2013). Аналоговая электроника: Объяснение аналоговых схем. Newnes. стр. 42. ISBN 9781483162287.
2. Тули, Майкл Х. (2006). Электронные схемы: основы и приложения. Newnes. стр. 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. Архивировано из оригинала 2016-12-01.
3. Энциклопедия лазерной физики и техники: Q-фактор Архивировано 24.02.2009 на Wayback Machine
4. Время и частота от А до Я: от Q до Ra Архивировано 04.05.2008 на Wayback Machine
5. Green, Estill I. (октябрь 1955 г.). "История Q" (PDF) . American Scientist . 43 : 584–594. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-12-03 . Получено 2012-11-21 .
6. Б. Джеффрис, Q.Jl R. astr. Soc. (1985) 26, 51–52
7. Paschotta, Rüdiger (2008). Энциклопедия лазерной физики и технологий, том 1: AM. Wiley-VCH. стр. 580. ISBN 978-3527408283. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
8. Слюсарь В.И. 60 лет теории электрически малых антенн.//Труды 6-й Международной конференции по теории и технике антенн, 17–21 сентября 2007 г., Севастополь, Украина. - С. 116 - 118. "ANTENNA THEORY AND TECHNIQUES" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28.08.2017 . Получено 02.09.2017 .
9. UABakshi, AV Bakshi (2006). Сетевой анализ. Технические публикации. стр. 228. ISBN 9788189411237.
10. Джеймс В. Нильссон (1989). Электрические цепи . ISBN 0-201-17288-7.
11. Сабах, Насир Х. (2017). Анализ цепей с PSpice: упрощенный подход. CRC Press. стр. 446. ISBN 9781315402215.
12. "Near THz Gyrotron: Theory, Design, and Applications" (PDF) . Институт исследований в области электроники и прикладной физики . Мэрилендский университет . Получено 5 января 2021 г. .
13. Карри, ТС; Доуди, ДЖЕ; Мюрри, РЦ (1990). Физика диагностической радиологии Кристенсена. Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. стр. 331. ISBN 9780812113105. Получено 22 января 2023 г. .
14. Джексон, Р. (2004). Новые датчики и зондирование. Бристоль: Институт физики. стр. 28. ISBN 0-7503-0989-X.
15. Бенджамин Кроуэлл (2006). "Свет и материя". Архивировано из оригинала 2011-05-19., Гл. 18
16. Anant., Agarwal (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Lang, Jeffrey (Jeffrey H.). Amsterdam: Elsevier. стр. 647. ISBN 9781558607354. OCLC  60245509.
17. Siebert, William McC. Схемы, сигналы и системы . MIT Press.
18. "Analog Dialogue Technical Journal - Analog Devices" (PDF) . www.analog.com . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-08-04.
19. Деннис Бон, Рэйн (январь 2008 г.). «Полоса пропускания в октавах против добротности полосовых фильтров». www.rane.com . Получено 20 ноября 2019 г.
20. UABakshi; AVBakshi (2008). Электрические цепи. Технические публикации. стр. 2–79. ISBN 9788184314526.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
21. "Полный ответ I - Постоянный вход". fourier.eng.hmc.edu . Архивировано из оригинала 2012-01-10.
22. Частотная характеристика: резонанс, полоса пропускания, добротность. Архивировано 06.12.2014 на Wayback Machine ( PDF )
23. Ди Паоло, Франко (2000). Сети и устройства, использующие планарные линии передачи. CRC Press. С. 490–491. ISBN 9780849318351. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
24. Методы экспериментальной физики – Лекция 5: Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения Архивировано 19.03.2012 на Wayback Machine ( PDF )
25. Tavakoli, Mehdi; Jalili, Yousef Seyed; Elahi, Seyed Mohammad (2019-04-28). «Приближение аномалии Рэлея-Вуда с моделированием FDTD массива плазмонных золотых наноотверстий для определения оптимальных необычных оптических характеристик пропускания». Superlattices and Microstructures . 130 : 454–471. Bibcode :2019SuMi..130..454T. doi :10.1016/j.spmi.2019.04.035. S2CID  150365680.
26. Чен, Ганг; Махан, Джеральд; Мероуе, Лорин; Хуан, Йи; Цуримаки, Ёитиро; Тонг, Джонатан К.; Ни, Джордж; Цзэн, Линпинг; Купер, Томас Алан (31.12.2017). «Потери в плазмонике: от смягчения рассеивания энергии до внедрения функциональностей с потерями». Advances in Optics and Photonics . 9 (4): 775–827. arXiv : 1802.01469 . Bibcode : 2017AdOP....9..775B. doi : 10.1364/AOP.9.000775 . ISSN  1943-8206.

Дальнейшее чтение

• Агарвал, Анант ; Ланг, Джеффри (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем. Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-735-8.

Внешние ссылки

• Расчет частот среза при заданной центральной частоте и добротности
• Объяснение добротности в схемах настройки радиоприемников