Коэффициент вариации

Статистический параметр

В теории вероятностей и статистике коэффициент вариации ( CV ), также известный как нормализованное среднеквадратичное отклонение (NRMSD) , процент RMS и относительное стандартное отклонение ( RSD ), является стандартизированной мерой дисперсии распределения вероятностей или Распределение частоты . Оно определяется как отношение стандартного отклонения к среднему значению (или его абсолютному значению , ) и часто выражается в процентах («%RSD»). CV или RSD широко используется в аналитической химии для выражения точности и повторяемости анализа . Он также широко используется в таких областях, как инженерное дело или физика , при проведении исследований по обеспечению качества и оценке R&R ANOVA , ^{[ нужна ссылка ]} экономистами и инвесторами в экономические модели , а также в психологии / неврологии . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$

Определение

Коэффициент вариации (CV) определяется как отношение стандартного отклонения к среднему значению , ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}$

Он показывает степень изменчивости по отношению к среднему значению популяции. Коэффициент вариации следует рассчитывать только для данных, измеренных по шкалам, которые имеют значимый ноль ( шкала отношений ) и, следовательно, позволяют относительное сравнение двух измерений (т. е. деление одного измерения на другое). Коэффициент вариации может не иметь никакого значения для данных в интервальной шкале . ^[2] Например, большинство температурных шкал (например, Цельсия, Фаренгейта и т. д.) являются интервальными шкалами с произвольными нулями, поэтому вычисленный коэффициент вариации будет различным в зависимости от используемой шкалы. С другой стороны, температура Кельвина имеет значимый ноль, полное отсутствие тепловой энергии и, таким образом, представляет собой шкалу отношений. Говоря простым языком, имеет смысл сказать, что 20 Кельвинов в два раза горячее, чем 10 Кельвинов, но только в этой шкале с истинным абсолютным нулем. Хотя стандартное отклонение (SD) можно измерить в Кельвинах, Цельсиях или Фаренгейтах, вычисленное значение применимо только к этой шкале. Для расчета достоверного коэффициента изменчивости можно использовать только шкалу Кельвина.

Измерения с логнормальным распределением демонстрируют стационарный CV; напротив, стандартное отклонение варьируется в зависимости от ожидаемого значения измерений.

Более надежным вариантом является квартильный коэффициент дисперсии , равный половине межквартильного диапазона , разделенной на среднее значение квартилей (средний шарнир ), . ${\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}$ ${\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}$

В большинстве случаев CV рассчитывается для одной независимой переменной (например, одного фабричного продукта) с многочисленными повторяющимися измерениями зависимой переменной (например, ошибки в производственном процессе). Однако данные, которые являются линейными или даже логарифмически нелинейными и включают непрерывный диапазон для независимой переменной с редкими измерениями для каждого значения (например, диаграмма рассеяния), могут быть пригодны для расчета одиночного CV с использованием подхода оценки максимального правдоподобия . ^[3]

Примеры

В приведенных ниже примерах мы возьмем заданные значения как случайно выбранные из большей совокупности значений .

• Набор данных [100, 100, 100] имеет постоянные значения. Его стандартное отклонение равно 0, а среднее значение равно 100, что дает коэффициент вариации 0/100 = 0.
• Набор данных [90, 100, 110] отличается большей вариативностью. Его стандартное отклонение равно 10, а среднее значение — 100, что дает коэффициент вариации 10/100 = 0,1.
• Набор данных [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] имеет еще большую вариативность. Его стандартное отклонение составляет 32,9, а среднее значение — 27,9, что дает коэффициент вариации 32,9 / 27,9 = 1,18.

В этих примерах мы возьмем заданные значения как всю совокупность значений .

• Набор данных [100, 100, 100] имеет стандартное отклонение генеральной совокупности 0 и коэффициент вариации 0/100 = 0.
• Набор данных [90, 100, 110] имеет стандартное отклонение генеральной совокупности 8,16 и коэффициент вариации 8,16/100 = 0,0816.
• Набор данных [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] имеет стандартное отклонение генеральной совокупности 30,8 и коэффициент вариации 30,8/27,9 = 1,10.

Оценка

Когда доступна только выборка данных из совокупности, CV совокупности можно оценить, используя отношение стандартного отклонения выборки к выборочному среднему : ${\displaystyle s\,}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}$

Но эта оценка, когда она применяется к выборке небольшого или среднего размера, имеет тенденцию быть слишком низкой: это смещенная оценка . Для нормально распределенных данных несмещенная оценка ^[4] для выборки размера n:

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}$

Логнормальные данные

Многие наборы данных имеют примерно логарифмически нормальное распределение. ^[5] В таких случаях более точная оценка, полученная из свойств логарифмически нормального распределения , ^{[6] [7] [8]} определяется как:

${\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{s_{\rm {ln}}^{2}}-1}}}$

где — выборочное стандартное отклонение данных после естественного логарифмического преобразования. (В случае, если измерения записываются с использованием любой другой логарифмической основы b, их стандартное отклонение преобразуется в базу e с помощью , а формула для остается той же. ^[9] ) Эту оценку иногда называют «геометрическим CV». (GCV) ^{[10] [11]} , чтобы отличить ее от простой оценки, приведенной выше. Однако «геометрический коэффициент вариации» также был определен Кирквудом ^[12] как: ${\displaystyle {s_{\rm {ln}}}\,}$ ${\displaystyle s_{b}\,}$ ${\displaystyle s_{\rm {ln}}=s_{b}\ln(b)\,}$ ${\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {GCV_{K}} ={\mathrm {e} ^{s_{\rm {ln}}}\!\!-1}}$

Этот термин был задуман как аналог коэффициента вариации для описания мультипликативной вариации логарифмически нормальных данных, но это определение GCV не имеет теоретической основы для оценки самого себя . ${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Для многих практических целей (таких как определение размера выборки и расчет доверительных интервалов ) именно он наиболее полезен в контексте логарифмически нормально распределенных данных. При необходимости это можно получить из оценки или GCV путем обращения соответствующей формулы. ${\displaystyle s_{ln}\,}$ ${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Сравнение со стандартным отклонением

Преимущества

Коэффициент вариации полезен, потому что стандартное отклонение данных всегда следует понимать в контексте среднего значения данных. Напротив, фактическое значение CV не зависит от единицы измерения, в которой было произведено измерение, поэтому это безразмерное число . Для сравнения наборов данных с разными единицами измерения или совершенно разными средними значениями следует использовать коэффициент вариации вместо стандартного отклонения.

Недостатки

• Когда среднее значение близко к нулю, коэффициент вариации приближается к бесконечности и поэтому чувствителен к небольшим изменениям среднего значения. Это часто имеет место, если значения не основаны на шкале отношений.
• В отличие от стандартного отклонения, его нельзя использовать непосредственно для построения доверительных интервалов для среднего значения.

Приложения

Коэффициент вариации также часто используется в прикладных областях вероятности, таких как теория возобновления , теория массового обслуживания и теория надежности . В этих областях экспоненциальное распределение часто более важно, чем нормальное распределение . Стандартное отклонение экспоненциального распределения равно его среднему значению, поэтому его коэффициент вариации равен 1. Распределения с CV <1 (например, распределение Эрланга ) считаются малодисперсионными, а распределения с CV > 1 (например, гиперэкспоненциальное распределение ) считаются ^{высокодисперсными . _} Некоторые формулы в этих полях выражаются с использованием квадрата коэффициента вариации , часто сокращенно SCV. В моделировании вариацией CV является CV (RMSD). По сути, CV(RMSD) заменяет термин стандартного отклонения среднеквадратическим отклонением (RMSD) . Хотя многие естественные процессы действительно демонстрируют корреляцию между средним значением и величиной изменений вокруг него, точные сенсорные устройства должны быть спроектированы таким образом, чтобы коэффициент вариации был близок к нулю , т.е. рабочий диапазон.

В актуарной науке CV известен как унифицированный риск . ^[13]

В промышленной переработке твердых веществ CV особенно важен для измерения степени однородности порошковой смеси. Сравнение рассчитанного CV со спецификацией позволит определить, достигнута ли достаточная степень смешивания. ^[14]

В гидродинамике CV , также называемый процентом RMS , %RMS , %RMS однородности или среднеквадратичной скоростью , является полезным определением однородности потока для промышленных процессов. Этот термин широко используется при проектировании оборудования для контроля загрязнения, такого как электростатические фильтры (ESP), ^[15] системы селективного каталитического восстановления (SCR), скрубберы и подобные устройства. Институт компаний чистого воздуха (ICAC) ссылается на среднеквадратичное отклонение скорости при проектировании тканевых фильтров (документ ICAC F-7). ^[16] Основной принцип заключается в том, что многие из этих устройств контроля загрязнения требуют «равномерного потока», входящего в зону контроля и проходящего через нее. Это может быть связано с однородностью профиля скорости, распределением температуры, составом газа (например, аммиаком для СКВ или впрыском активированного угля для поглощения ртути) и другими параметрами, связанными с потоком. Процент RMS также используется для оценки однородности потока в системах сгорания, системах отопления, вентиляции и кондиционирования, воздуховодах, входных отверстиях вентиляторов и фильтров, вентиляционных установках и т. д., где на производительность оборудования влияет распределение входящего потока.

Лабораторные измерения внутри- и межанализа CV

Показатели CV часто используются в качестве контроля качества количественных лабораторных анализов . Хотя можно предположить, что CV внутри и между анализами рассчитывается путем простого усреднения значений CV по значениям CV для нескольких образцов в рамках одного анализа или путем усреднения нескольких оценок CV между анализами, было высказано предположение, что такая практика неверна и что требуется более сложный вычислительный процесс. ^[17] Также было отмечено, что значения CV не являются идеальным показателем достоверности измерения, когда количество повторов варьируется в зависимости от выборки - в этом случае стандартная ошибка в процентах считается более предпочтительной. ^[18] Если измерения не имеют естественной нулевой точки, то CV не является действительным измерением, и рекомендуются альтернативные меры, такие как коэффициент внутриклассовой корреляции . ^[19]

Как мера экономического неравенства

Коэффициент вариации отвечает требованиям меры экономического неравенства . ^{[20] [21] [22]} Если x (с записями x _i ) представляет собой список значений экономического показателя (например, богатства), где x _i представляет собой богатство агента i , то выполняются следующие требования:

• Анонимность – c _v не зависит от порядка списка x . Это следует из того факта, что дисперсия и среднее значение не зависят от порядка x .
• Масштабная инвариантность: c _v ( x ) = c _v (α x ), где α — действительное число. ^[22]
• Независимость от населения. Если { x , x } — это список x, добавленный к самому себе, то c _v ({ x , x }) = c _v ( x ). Это следует из того факта, что и дисперсия, и среднее значение подчиняются этому принципу.
• Принцип передачи Пигу-Дальтона: когда богатство передается от более богатого агента i к более бедному агенту j (т.е. x _i  >  x _j ) без изменения их ранга, тогда c _v уменьшается, и наоборот. ^[22]

c _v принимает минимальное значение, равное нулю, для полного равенства (все x _i равны). ^[22] Его наиболее заметным недостатком является то, что он не ограничен сверху, поэтому его нельзя нормализовать так, чтобы он находился в пределах фиксированного диапазона (например, как коэффициент Джини , который ограничен диапазоном от 0 до 1). ^[22] Однако он более математически понятен, чем коэффициент Джини.

Как мера стандартизации археологических артефактов

Археологи часто используют значения CV для сравнения степени стандартизации древних артефактов. ^{[23] [24]} Различия в CV были интерпретированы как указывающие на различные культурные контексты передачи новых технологий. ^[25] Коэффициенты вариации также использовались для исследования стандартизации керамики, связанной с изменениями в социальной организации. ^[26] Археологи также используют несколько методов для сравнения значений CV, например, модифицированный тест отношения знакового правдоподобия (MSLR) для равенства CV. ^{[27] [28]}

Примеры неправильного использования

Сравнение коэффициентов вариации параметров с использованием относительных единиц может привести к различиям, которые могут быть нереальными. Если мы сравним один и тот же набор температур в градусах Цельсия и Фаренгейта (обе относительные единицы, где шкалы Кельвина и Ренкина являются соответствующими абсолютными значениями):

Цельсия: [0, 10, 20, 30, 40]

Фаренгейт: [32, 50, 68, 86, 104]

Стандартные отклонения выборки составляют 15,81 и 28,46 соответственно. CV первого набора составляет 15,81/20 = 79%. Для второго набора (с теми же температурами) это 28,46/68 = 42%.

Если, например, наборы данных представляют собой показания температуры двух разных датчиков (датчика Цельсия и датчика Фаренгейта), и вы хотите узнать, какой датчик лучше, выбрав тот, у которого наименьшая дисперсия, то вы будете введены в заблуждение, если будете использовать РЕЗЮМЕ. Проблема здесь в том, что вы разделили относительное значение, а не абсолютное.

Сравнение того же набора данных, теперь в абсолютных единицах:

Кельвин: [273,15, 283,15, 293,15, 303,15, 313,15]

Рэнкин: [491,67, 509,67, 527,67, 545,67, 563,67]

Стандартные отклонения выборки по -прежнему составляют 15,81 и 28,46 соответственно, поскольку на стандартное отклонение не влияет постоянное смещение. Однако коэффициенты вариации теперь оба равны 5,39%.

С математической точки зрения коэффициент вариации не является полностью линейным. То есть для случайной величины коэффициент вариации равен коэффициенту вариации только при . В приведенном выше примере градусы Цельсия можно преобразовать в градусы Фаренгейта только посредством линейного преобразования формы с помощью , тогда как Кельвины можно преобразовать в единицы Рэнкина посредством преобразования формы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle aX+b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle ax+b}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle ax}$

Распределение

При условии, что отрицательные и небольшие положительные значения выборочного среднего встречаются с пренебрежимо малой частотой, Хендрикс и Роби показали, что распределение вероятностей коэффициента вариации для выборки размером iid с нормальными случайными величинами будет ^[29] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}{\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}}{\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {n-i}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}{\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}{\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}$$

где символ указывает, что суммирование производится только по четным значениям , т. е., если нечетно, суммировать по четным значениям , а если четно, суммировать только по нечетным значениям . ${\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }$ ${\displaystyle n-1-i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$

Это полезно, например, при построении тестов гипотез или доверительных интервалов . Статистический вывод для коэффициента вариации нормально распределенных данных часто основан на аппроксимации хи-квадрат Маккея для коэффициента вариации. ^{[30] [31] [32] [33] [34] [35]} Методы

Альтернатива

Лю (2012) рассматривает методы построения доверительного интервала для коэффициента вариации. ^[36] Примечательно, что Леманн (1986) получил выборочное распределение для коэффициента вариации, используя нецентральное t-распределение , чтобы дать точный метод построения CI. ^[37]

Подобные соотношения

Стандартизированные моменты — это аналогичные отношения, где — k- ^й момент относительно среднего значения, которые также безразмерны и масштабно-инвариантны. Отношение дисперсии к среднему — еще одно подобное соотношение , но оно не безразмерное и, следовательно, не масштабно-инвариантное. Дополнительные соотношения см. в разделе «Нормализация (статистика)» . ${\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}$ ${\displaystyle \mu _{k}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$

При обработке сигналов , в частности при обработке изображений , обратное отношение (или его квадрат) называется отношением сигнал/шум в целом и отношением сигнал/шум (изображение) в частности. ${\displaystyle \mu /\sigma }$

Другие соответствующие коэффициенты включают в себя:

• Эффективность , ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$
• Стандартизированный момент , ${\displaystyle \mu _{k}/\sigma ^{k}}$
• Отношение дисперсии к среднему (или относительная дисперсия), ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$
• Фактор Фано , (оконный VMR) ${\displaystyle \sigma _{W}^{2}/\mu _{W}}$

Смотрите также

• соотношение омега
• Выборка (статистика)
• Коэффициент Шарпа
• Функция дисперсии

Рекомендации

1. Эверитт, Брайан (1998). Кембриджский статистический словарь . Кембридж, Великобритания, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521593465.
2. «В чем разница между порядковыми, интервальными и пропорциональными переменными? Почему меня это должно волновать?». GraphPad Software Inc. Архивировано из оригинала 15 декабря 2008 года . Проверено 22 февраля 2008 г.
3. Одич, Дарко; Я, Хи Ён; Эйзингер, Роберт; Ли, Райан; Халберда, Джастин (июнь 2016 г.). «PsiMLE: подход к оценке максимального правдоподобия для более надежной, эффективной и гибкой оценки психофизического масштабирования и изменчивости». Методы исследования поведения . 48 (2): 445–462. дои : 10.3758/s13428-015-0600-5 . ISSN  1554-3528. ПМИД  25987306.
4. Сокаль Р.Р. и Рольф Ф.Дж. Биометрия (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман, 1995. с. 58. ISBN 0-7167-2411-1 . 
5. Лимперт, Экхард; Стахель, Вернер А.; Эббт, Маркус (2001). «Логнормальное распределение в науках: ключи и подсказки». Бионаука . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
6. Купманс, Л.Х.; Оуэн, Д.Б.; Розенблатт, JI (1964). «Доверительные интервалы для коэффициента вариации нормального и логнормального распределений». Биометрика . 51 (1–2): 25–32. дои : 10.1093/biomet/51.1-2.25.
7. Дилетти, Э; Хаушке, Д; Стейнянс, VW (1992). «Определение размера выборки для оценки биоэквивалентности с помощью доверительных интервалов». Международный журнал клинической фармакологии, терапии и токсикологии . 30 (Приложение 1): S51–8. ПМИД  1601532.
8. Джулиус, Стивен А.; Дебарно, Камилла А.М. (2000). «Почему фармакокинетические данные суммируются средними арифметическими средствами?». Журнал биофармацевтической статистики . 10 (1): 55–71. дои : 10.1081/BIP-100101013. PMID  10709801. S2CID  2805094.
9. Рид, Дж. Ф.; Линн, Ф; Мид, Б.Д. (2002). «Использование коэффициента вариации при оценке изменчивости количественных анализов». Клин Диагн Лаборатория Иммунол . 9 (6): 1235–1239. дои : 10.1128/CDLI.9.6.1235-1239.2002. ПМК 130103 . ПМИД  12414755. 
10. Савант, С.; Мохан, Н. (2011) «Часто задаваемые вопросы: проблемы с анализом эффективности данных клинических испытаний с использованием SAS». Архивировано 24 августа 2011 г. в Wayback Machine , PharmaSUG2011 , документ PO08.
11. Шифф, Миннесота; и другие. (2014). «Прямое рандомизированное перекрестное исследование перорального и подкожного метотрексата у пациентов с ревматоидным артритом: ограничения воздействия препарата при пероральном метотрексате в дозах > = 15 мг можно преодолеть с помощью подкожного введения». Энн Реум Дис . 73 (8): 1–3. doi : 10.1136/annrheumdis-2014-205228. ПМЦ 4112421 . ПМИД  24728329. 
12. Кирквуд, TBL (1979). «Геометрические средства и меры дисперсии». Биометрия . 35 (4): 908–9. JSTOR  2530139.
13. Броверман, Сэмюэл А. (2001). Учебное пособие Actex, Курс 1, Экзамен Общества актуариев, Экзамен 1 Актуарного общества по несчастным случаям (изд. 2001 г.). Уинстед, Коннектикут: Публикации Actex. п. 104. ИСБН 9781566983969. Проверено 7 июня 2014 г.
14. «Измерение степени смешивания - Однородность порошковой смеси - Качество смеси - PowderProcess.net» . www.powderprocess.net . Архивировано из оригинала 14 ноября 2017 года . Проверено 2 мая 2018 г.
15. Банка, А; Дюмон, Б; Франклин, Дж; Клемм, Г; Мудрый, Р. (2018). «Улучшенная методология точного CFD и физического моделирования ESP» (PDF) . Конференция Международного общества электростатических осаждений (ISESP) 2018.
16. «F7 - Исследования модели газового потока тканевого фильтра» (PDF) . Институт компаний чистого воздуха (ICAC). 1996.
17. Родбард, Д. (октябрь 1974 г.). «Статистический контроль качества и рутинная обработка данных радиоиммуноанализов и иммунорадиометрических исследований». Клиническая химия . 20 (10): 1255–70. дои : 10.1093/клинчем/20.10.1255 . ПМИД  4370388.
18. Айзенберг, Дэн (2015). «Улучшение анализа длины теломер qPCR: контроль эффектов положения лунки увеличивает статистическую мощность». Американский журнал биологии человека . 27 (4): 570–5. дои : 10.1002/ajhb.22690. ПМЦ 4478151 . ПМИД  25757675. 
19. Айзенберг, Дэн Т.А. (30 августа 2016 г.). «Достоверность измерения длины теломер: коэффициент вариации недействителен и не может использоваться для сравнения количественной полимеразной цепной реакции и метода измерения длины теломер по Саузерн-блоттингу». Международный журнал эпидемиологии . 45 (4): 1295–1298. дои : 10.1093/ije/dyw191 . ISSN  0300-5771. ПМИД  27581804.
20. Чамперноун, генеральный директор; Коуэлл, ФА (1999). Экономическое неравенство и распределение доходов . Издательство Кембриджского университета.
21. Кампано, Ф.; Сальваторе, Д. (2006). Распределение доходов . Издательство Оксфордского университета.
22. Bellu, Лоренцо Джованни; Либерати, Паоло (2006). «Влияние политики на неравенство – простые меры неравенства» (PDF) . EASYPol, Аналитические инструменты . Служба поддержки политики, Отдел содействия политике, ФАО. Архивировано (PDF) из оригинала 5 августа 2016 года . Проверено 13 июня 2016 г.
23. Эркенс, Джелмер В.; Беттингер, Роберт Л. (июль 2001 г.). «Методы оценки стандартизации в сборках артефактов: можем ли мы масштабировать изменчивость материалов?». Американская древность . 66 (3): 493–504. дои : 10.2307/2694247. JSTOR  2694247. S2CID  163507589.
24. Ру, Валентин (2003). «Стандартизация керамики и интенсивность производства: количественная оценка степени специализации». Американская древность . 68 (4): 768–782. дои : 10.2307/3557072. ISSN  0002-7316. JSTOR  3557072. S2CID  147444325.
25. Беттингер, Роберт Л.; Эркенс, Джелмер (апрель 1999 г.). «Точечные типологии, культурная передача и распространение технологии лука и стрел в доисторическом Большом бассейне». Американская древность . 64 (2): 231–242. дои : 10.2307/2694276. JSTOR  2694276. S2CID  163198451.
26. Ван, Ли-Ин; Марвик, Бен (октябрь 2020 г.). «Стандартизация формы керамики: пример керамики железного века с северо-востока Тайваня». Журнал археологической науки: отчеты . 33 : 102554. Бибкод : 2020JArSR..33j2554W. дои : 10.1016/j.jasrep.2020.102554. S2CID  224904703.
27. Кришнамурти, К.; Ли, Мисук (февраль 2014 г.). «Улучшенные тесты на равенство нормальных коэффициентов вариации». Вычислительная статистика . 29 (1–2): 215–232. дои : 10.1007/s00180-013-0445-2. S2CID  120898013.
28. Марвик, Бен; Кришнамурти, К. (2019). cvequality: тесты на равенство коэффициентов вариации из нескольких групп. Пакет R версии 0.2.0.
29. Хендрикс, Уолтер А.; Роби, Кейт В. (1936). «Выборочное распределение коэффициента вариации». Анналы математической статистики . 7 (3): 129–32. дои : 10.1214/aoms/1177732503 . JSTOR  2957564.
30. Иглевич, Борис; Майерс, Раймонд (1970). «Сравнение приближений к процентным пунктам выборочного коэффициента вариации». Технометрика . 12 (1): 166–169. дои : 10.2307/1267363. JSTOR  1267363.
31. Беннетт, Б.М. (1976). «О приближенном тесте на однородность коэффициентов вариации». Вклад в прикладную статистику . Дополнительный опыт. Том. 22. С. 169–171. дои : 10.1007/978-3-0348-5513-6_16. ISBN 978-3-0348-5515-0.
32. Вангель, Марк Г. (1996). «Доверительные интервалы для нормального коэффициента вариации». Американский статистик . 50 (1): 21–26. дои : 10.1080/00031305.1996.10473537. JSTOR  2685039..
33. Фельц, Кэрол Дж; Миллер, Г. Эдвард (1996). «Асимптотический тест на равенство коэффициентов вариации k популяций». Статистика в медицине . 15 (6): 647. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19960330)15:6<647::AID-SIM184>3.0.CO;2-P. ПМИД  8731006.
34. Форкман, Йоханнес (2009). «Оценщик и тесты для общих коэффициентов вариации нормального распределения» (PDF) . Коммуникации в статистике – теория и методы . 38 (2): 21–26. дои : 10.1080/03610920802187448. S2CID  29168286. Архивировано (PDF) из оригинала 6 декабря 2013 года . Проверено 23 сентября 2013 г.
35. Кришнамурти, К.; Ли, Мисук (2013). «Улучшенные тесты на равенство нормальных коэффициентов вариации». Вычислительная статистика . 29 (1–2): 215–232. дои : 10.1007/s00180-013-0445-2. S2CID  120898013.
36. Лю, Шуан (2012). Оценка доверительного интервала для коэффициента вариации (Диссертация). Государственный университет Джорджии. п.3. Архивировано из оригинала 1 марта 2014 года . Проверено 25 февраля 2014 г.
37. Леманн, EL (1986). Проверка статистической гипотезы. 2-е изд. Нью-Йорк: Уайли.

Внешние ссылки

• cvequality: пакет R для проверки существенных различий между несколькими коэффициентами вариации