Снежинка Коха

Фрактальная кривая

Первые четыре итерации снежинки Коха

Первые семь итераций в анимации

Увеличение масштаба вершины кривой Коха

Увеличение масштаба точки, не являющейся вершиной, может привести к повороту кривой.

Кох антиснежинка

Снежинка Коха (также известная как кривая Коха , звезда Коха или остров Коха ^{[1] [2]} ) — это фрактальная кривая и один из самых ранних описанных фракталов. Она основана на кривой Коха, которая появилась в статье 1904 года под названием «О непрерывной кривой без касательных, строимой из элементарной геометрии» [ ^3] шведского математика Хельге фон Коха .

Снежинка Коха может быть построена итеративно, в последовательности этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, а каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, что делает меньшие равносторонние треугольники. Площади, охватываемые последовательными этапами в построении снежинки, сходятся к временам площади исходного треугольника, в то время как периметры последовательных этапов неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр . ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$

Снежинка Коха была построена как пример непрерывной кривой, где проведение касательной к любой точке невозможно. В отличие от более ранней функции Вейерштрасса , где доказательство было чисто аналитическим, снежинка Коха была создана так, чтобы ее можно было геометрически представить в то время, так что это свойство также можно было увидеть через «наивную интуицию». ^[3]

Происхождение и история

Нет сомнений, что кривая снежинки основана на кривой фон Коха и ее итеративном построении. Однако изображение снежинки не появляется ни в оригинальной статье, опубликованной в 1904 году ^[3] , ни в расширенном мемуаре 1906 года. ^[4] Поэтому можно спросить, кто был тем человеком, который первым построил фигуру снежинки. Исследование этого вопроса предполагает, что кривая снежинки обязана своим появлением американскому математику Эдварду Каснеру . ^{[5] [6]}

Строительство

Снежинку Коха можно построить, начав с равностороннего треугольника , а затем рекурсивно изменяя каждый отрезок следующим образом:

1. разделите отрезок на три отрезка одинаковой длины.
2. нарисуйте равносторонний треугольник, основанием которого является средний сегмент из шага 1, а вершина направлена ​​наружу.
3. удалите отрезок прямой, являющийся основанием треугольника из шага 2.

Первая итерация этого процесса создает контур гексаграммы .

Снежинка Коха — это предел, к которому приближаются, когда указанные выше шаги выполняются бесконечно. Кривая Коха, первоначально описанная Хельге фон Кохом, строится с использованием только одной из трех сторон исходного треугольника. Другими словами, три кривые Коха образуют снежинку Коха.

Аналогичным образом можно создать представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха, многократно сегментируя каждую линию в пилообразном узоре сегментов с заданным углом. ^[7]

Фрактальная шероховатая поверхность, построенная из нескольких итераций кривой Коха

Характеристики

Периметр снежинки Коха

Каждая итерация умножает количество сторон снежинки Коха на четыре, поэтому количество сторон после итераций определяется по формуле: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle N_{n}=3\cdot 4^{n}\,.}$$

Если исходный равносторонний треугольник имеет стороны длиной , то длина каждой стороны снежинки после итераций составит: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,}$$

обратная степень трех, кратная исходной длине. Периметр снежинки после итераций равен: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.}$$

Кривая Коха имеет бесконечную длину , поскольку общая длина кривой увеличивается в раз с каждой итерацией. Каждая итерация создает в четыре раза больше отрезков прямой, чем в предыдущей итерации, при этом длина каждого из них равна длине отрезков на предыдущей стадии. Следовательно, длина кривой после итераций будет в раз больше исходного периметра треугольника и не ограничена, поскольку стремится к бесконечности. ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ({\tfrac {4}{3}})^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Предел периметра

Поскольку число итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,}$$

с . ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}>1}$

Существует -мерная мера , но она пока не рассчитана. Были изобретены только верхняя и нижняя границы. ^{[ необходимо разъяснение ] [8]} ${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}}$

Площадь снежинки Коха

В каждой итерации новый треугольник добавляется с каждой стороны предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников, добавленных в итерации, равно: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,}$$

Площадь каждого нового треугольника, добавленного в итерации, равна площади каждого треугольника, добавленного в предыдущей итерации, поэтому площадь каждого треугольника, добавленного в итерации, равна: ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.}$$

где — площадь исходного треугольника. Общая новая площадь, добавленная в итерации, составляет, таким образом: ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}}$$

Общая площадь снежинки после итераций составляет: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.}$$

Сворачивание геометрической суммы дает:

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}$$

Границы области

Границы области:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,}$$

с . ${\displaystyle {\tfrac {4}{9}}<1}$

Таким образом, площадь снежинки Коха равна площади исходного треугольника. Выраженная через длину стороны исходного треугольника, это: ^[9] ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}$$

Твердая часть революции

Объем тела вращения снежинки Коха вокруг оси симметрии исходного равностороннего треугольника со стороной единичной равен ^[10] ${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}$

Другие свойства

Снежинка Коха самовоспроизводится с шестью меньшими копиями, окружающими одну большую копию в центре. Следовательно, это irrep-7 irrep-tile (см. Rep-tile для обсуждения).

Фрактальная размерность кривой Коха равна . Это больше, чем у линии ( ), но меньше, чем у заполняющей пространство кривой Пеано ( ) . ${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}$ ${\displaystyle =1}$ ${\displaystyle =2}$

Невозможно провести касательную к любой точке кривой.

Представление в виде кривой де Рама

Кривая Коха возникает как частный случай кривой де Рама . Кривые де Рама являются отображениями пространства Кантора на плоскость, обычно расположенными так, чтобы образовывать непрерывную кривую. Каждая точка на непрерывной кривой де Рама соответствует действительному числу в единичном интервале. Для кривой Коха кончики снежинки соответствуют двоичным рациональным числам : каждый кончик может быть уникально помечен отдельным двоичным рациональным числом.

Тесселяция плоскости

Тесселяция по двум размерам снежинки Коха

Можно замостить плоскость копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такая замощение невозможна с использованием только снежинок одного размера. Поскольку каждая снежинка Коха в замощении может быть подразделена на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти замощения, которые используют более двух размеров одновременно. ^[11] Снежинки Коха и антиснежинки Коха одного размера могут быть использованы для замощения плоскости.

Последовательность Туэ-Морзе и графика черепахи

Графика черепахи — это кривая, которая генерируется, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Если члены последовательности Туэ–Морзе используются для выбора состояний программы:

• Если , то продвиньтесь на одну единицу, ${\displaystyle t(n)=0}$
• Если , повернуть против часовой стрелки на угол , ${\displaystyle t(n)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$

Полученная кривая сходится к снежинке Коха.

Представление в виде системы Линденмайера

Кривую Коха можно выразить следующей системой переписывания ( системой Линденмайера ):

Алфавит  : Ф

Константы  : +, −

Аксиома  : F

Правила производства  : F → F+F--F+F

Здесь F означает «тянуться вперед», - означает «повернуть направо на 60°», а + означает «повернуть налево на 60°».

Чтобы создать снежинку Коха, в качестве аксиомы можно использовать F--F--F (равносторонний треугольник).

Варианты кривой Коха

Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха, рассматривающих прямые углы ( квадратичные ), другие углы ( Чезаро ), окружности и многогранники , а также их расширения до более высоких измерений (сферочешуйчатая и кубическая кривая Коха соответственно).

Квадраты можно использовать для создания подобных фрактальных кривых. Начиная с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат с размером в одну треть от квадратов в предыдущей итерации, можно показать, что как длина периметра, так и общая площадь определяются геометрическими прогрессиями. Прогрессия для площади сходится к , в то время как прогрессия для периметра расходится к бесконечности, так что, как и в случае снежинки Коха, мы имеем конечную площадь, ограниченную бесконечной фрактальной кривой. ^[18] Полученная площадь заполняет квадрат с тем же центром, что и у исходной, но вдвое большей площадью, и повернута на радианы, периметр касается, но никогда не перекрывает себя. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

Общая площадь, охваченная на й итерации, составляет: ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}$$

в то время как общая длина периметра равна: которая стремится к бесконечности по мере увеличения. $${\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,}$$ ${\displaystyle n}$

Функционализация

График функции Коха

В дополнение к кривой, статья Хельге фон Коха, которая установила кривую Коха, показывает вариацию кривой как пример непрерывной всюду , но нигде не дифференцируемой функции, которую можно было представить геометрически в то время. Из базовой прямой линии, представленной как AB, график может быть нарисован путем рекурсивного применения следующего к каждому сегменту линии:

• Разделите отрезок прямой ( XY ) на три части одинаковой длины , разделенные точками C и E.
• Проведите прямую DM , где M — середина CE , а DM перпендикулярна основанию AB и имеет длину . ${\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}$
• Нарисуйте линии CD и DE и сотрите линии CE и DM .

Можно показать, что каждая точка AB сходится к одной высоте. Если определяется как расстояние этой точки до исходного основания, то как функция она непрерывна всюду и нигде не дифференцируема. ^[3] ${\displaystyle y=\phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Рог Гавриила (бесконечная площадь поверхности, но охватывающая конечный объем)
• Кривая Госпера (также известная как кривая Пеано-Госпера или flowsnake )
• кривая Осгуда
• Самоподобие
• Терагон
• Функция Вейерштрасса
• Парадокс береговой линии

Ссылки

1. Эддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . Институт физики. стр. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
2. Lauwerier, Hans (1991). Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures . Перевод Gill-Hoffstädt, Sophia. Princeton University Press. стр. 36. ISBN 0-691-02445-6. Мандельброт назвал это островом Коха.
3. фон Кох, Хельге (1904). «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une geométrique élémentaire». Архив для математики, астрономии и физики (на французском языке). 1 : 681–704. ЖФМ  35.0387.02.
4. фон Кох, Хельге (1906). «Элементарный геометрический метод для исследования определенных вопросов теории плоскостей». Acta Mathematica (на французском языке). 30 : 145–174. дои : 10.1007/BF02418570. ISSN  0001-5962.
5. Демишель, Янн (13.09.2024). «Кто придумал кривую-снежинку фон Коха?». The American Mathematical Monthly . 131 (8): 662–668. arXiv : 2308.15093 . doi : 10.1080/00029890.2024.2363737. ISSN  0002-9890.
6. Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс Р. (2001). Математика и воображение . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-41703-5.
7. Алонсо-Маррокен, Ф.; Хуанг, П.; Ханаор, Д.; Флорес-Джонсон, Э.; Пруст, Г.; Ган, Ю.; Шен, Л. (2015). «Статическое трение между жесткими фрактальными поверхностями» (PDF) . Физический обзор E . 92 (3): 032405. Бибкод : 2015PhRvE..92c2405A. doi : 10.1103/PhysRevE.92.032405. hdl : 2123/13835 . ПМИД  26465480.— Изучение фрактальных поверхностей с помощью кривых Коха.
8. Чжу, Чжи Вэй; Чжоу, Цзо Лин; Цзя, Бао Го (октябрь 2003 г.). «О нижней границе меры Хаусдорфа кривой Коха». Acta Mathematica Sinica . 19 (4): 715–728. doi :10.1007/s10114-003-0310-2. S2CID  122517792.
9. "Снежинка Коха". ecademy.agnesscott.edu .
10. Маккартни, Марк (2020-04-16). «Площадь, центроид и объем вращения кривой Коха». Международный журнал математического образования в науке и технике . 52 (5): 782–786. doi :10.1080/0020739X.2020.1747649. ISSN  0020-739X. S2CID  218810213.
11. Бернс, Эйдан (1994). «Фрактальные мозаики». Mathematical Gazette . 78 (482): 193–6. doi :10.2307/3618577. JSTOR  3618577. S2CID  126185324..
12. Пол С. Эддисон, Фракталы и хаос: иллюстрированный курс , стр. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435 . 
13. Вайсштейн, Эрик В. (1999). «Колбаса Минковского», archive.lib.msu.edu . Доступ: 21 сентября 2019 г.
14. Pamfilos, Париж. «Колбаса Минковского», user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . Доступ: 21 сентября 2019 г.
15. Вайсштейн, Эрик В. «Колбаса Минковского». Математический мир . Проверено 22 сентября 2019 г.
16. Mandelbrot, BB (1983). Фрактальная геометрия природы , стр. 48. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 9780716711865. Цитируется в Weisstein, Eric W. "Minkowski Sausage". MathWorld . Получено 22 сентября 2019 г. .
17. Аппиньянези, Ричард; ред. (2006). Введение во фрактальную геометрию . Значок. ISBN 978-1840467-13-0 . 
18. Демонстрация Джеймса Макдональда на публичной лекции в Университете KAUST 27 января 2013 г. "KAUST | Academics | Winter Enrichment Program". Архивировано из оригинала 2013-01-12 . Получено 2013-01-29 .получено 29 января 2013 г.

Внешние ссылки

• (2000) «Кривая фон Коха», компьютерная лаборатория efg в Wayback Machine (архивировано 20 июля 2017 г.)
• Стихотворение «Кривая Коха» Бернта Валя, Wahl.org . Получено 23 сентября 2019 г.
• Weisstein, Eric W. "Снежинка Коха". MathWorld . Получено 23 сентября 2019 г. .
  • "7 итераций кривой Коха". Сайт Wolfram Alpha . Получено 23 сентября 2019 г.
  • "Квадратные фрактальные кривые Коха". Проект демонстраций Вольфрама . Получено 23 сентября 2019 г.
  • "Квадратная фрактальная поверхность Коха". Проект демонстраций Вольфрама . Получено 23 сентября 2019 г.
• Применение кривой Коха к антенне
• Анимация WebGL, демонстрирующая построение поверхности Коха, tchaumeny.github.io . Получено 23 сентября 2019 г.
• "Математический анализ кривой Коха и квадратичной кривой Коха" (PDF) . Архивировано из оригинала (pdf) 26 апреля 2012 г. . Получено 22 ноября 2011 г. .