Соприкасающийся круг

Окружность непосредственной соответствующей кривизны кривой в точке

Соприкасающийся круг

Соприкасающиеся окружности спирали Архимеда , вложенные теоремой Тейта–Кнезера . «Сама спираль не нарисована: мы видим ее как геометрическое место точек, где окружности особенно близки друг к другу». ^[1]

Соприкасающаяся окружность — это окружность , которая наилучшим образом аппроксимирует кривизну кривой в определенной точке. Она касается кривой в этой точке и имеет ту же кривизну, что и кривая в этой точке. ^[2] Соприкасающаяся окружность позволяет понять локальное поведение кривой и обычно используется в дифференциальной геометрии и исчислении.

Более формально, в дифференциальной геометрии кривых , соприкасающаяся окружность достаточно гладкой плоской кривой в данной точке p на кривой традиционно определялась как окружность, проходящая через p и пару дополнительных точек на кривой, бесконечно близких к p . Ее центр лежит на внутренней нормали , а ее кривизна определяет кривизну данной кривой в этой точке. Эта окружность, которая является одной из всех касательных окружностей в данной точке, которая наиболее близко подходит к кривой, была названа Лейбницем circulus osculans (лат. «целующаяся окружность») .

Центр и радиус соприкасающейся окружности в данной точке называются центром кривизны и радиусом кривизны кривой в этой точке. Геометрическая конструкция была описана Исааком Ньютоном в его Principia :

Так как в каком-либо месте дана скорость, с которой тело описывает данную фигуру посредством сил, направленных к некоторому общему центру, то найти этот центр.

—  Исаак Ньютон, «Начала» ; ПРЕДЛОЖЕНИЕ V. ПРОБЛЕМА I.

Нетехническое описание

Представьте себе автомобиль, движущийся по изогнутой дороге на огромной плоской поверхности. Внезапно в какой-то точке дороги рулевое колесо блокируется в своем текущем положении. После этого автомобиль движется по окружности, которая «целует» дорогу в точке блокировки. Кривизна окружности равна кривизне дороги в этой точке. Эта окружность является соприкасающейся окружностью кривой дороги в этой точке.

Математическое описание

Пусть γ ( s ) — регулярная параметрическая плоская кривая , где s — длина дуги ( натуральный параметр ). Это определяет единичный касательный вектор T ( s ) , единичный нормальный вектор N ( s ) , знаковую кривизну k ( s ) и радиус кривизны R ( s ) в каждой точке, для которой s составляется: $${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$$

Предположим, что P — точка на γ , где k ≠ 0. Соответствующий центр кривизны — точка Q на расстоянии R вдоль N , в том же направлении, если k положительно, и в противоположном направлении, если k отрицательно . Окружность с центром в Q и радиусом R называется соприкасающейся окружностью к кривой γ в точке P.

Если C — регулярная пространственная кривая, то соприкасающаяся окружность определяется аналогичным образом с использованием главного нормального вектора N. Она лежит в соприкасающейся плоскости , плоскости , образованной касательным и главным нормальными векторами T и N в точке P.

Плоская кривая может быть также задана в другой регулярной параметризации , где регулярность означает, что для всех . Тогда формулы для знаковой кривизны k ( t ), нормального единичного вектора N ( t ), радиуса кривизны R ( t ) и центра Q ( t ) соприкасающейся окружности будут следующими: $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Декартовы координаты

Мы можем получить центр соприкасающейся окружности в декартовых координатах, если заменим t = x и y = f ( x ) на некоторую функцию f . Если мы выполним вычисления, то результаты для координат X и Y центра соприкасающейся окружности будут следующими: $${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$$

Прямой геометрический вывод

Рассмотрим три точки , и , где . Чтобы найти центр окружности, проходящей через эти точки, нужно сначала найти биссектрисы отрезков и , а затем точку пересечения этих прямых. Таким образом, координаты получаются путем решения линейной системы двух уравнений: где , для . ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle P_{2}}$ ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$ $${\displaystyle \left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2}$$ ${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ ${\textstyle u=x,y}$

Рассмотрим теперь кривую и множество , и . Во втором порядке по имеем и аналогичное выражение для и , где знак меняется на противоположный. Развивая уравнение для и группируя члены в и , получаем Обозначая , первое уравнение означает, что ортогональна единичному касательному вектору в точке : Второе соотношение означает, что где - вектор кривизны. В плоской геометрии ортогональна , так как Поэтому и радиус соприкасающейся окружности в точности обратен кривизне. ${\textstyle P=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$ ${\textstyle d\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \delta u_{2}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ ${\textstyle d\tau }$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$ ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle P_{1}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \mathbf {t} }$ $${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0}$$ ${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$

Решая уравнение относительно координат , находим ${\textstyle C}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}}$$

Оскулирующая окружность как задача минимизации

Рассмотрим кривую, определяемую по сути уравнением , которое мы можем представить как сечение поверхности плоскостью . Нормаль к кривой в точке является градиентом в этой точке Таким образом, центры касательных окружностей задаются как , где является параметром. Для заданного радиуса является Мы хотим найти среди всех возможных окружностей ту, которая наилучшим образом соответствует кривой. ${\textstyle C}$ $${\displaystyle f(x,y)=0}$$ ${\textstyle z=f(x,y)}$ ${\textstyle z=0}$ ${\textstyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})}$$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $${\displaystyle X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}}$$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \alpha ,}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $${\displaystyle R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}$$ ${\textstyle B_{\alpha }}$

Координаты точки можно записать как где для , , т.е. Рассмотрим теперь точку, близкую к , где ее «угол» равен . Разлагая тригонометрические функции до второго порядка по и используя приведенные выше соотношения, координаты равны Теперь мы можем вычислить функцию в точке и ее вариацию . Вариация равна нулю до первого порядка по по построению (до первого порядка по , находится на касательной к кривой ). Вариация пропорциональна и эта вариация равна нулю, если мы выберем Поэтому радиус соприкасающейся окружности равен ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ $${\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }$$ ${\textstyle \theta =\theta _{0}}$ ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$ $${\displaystyle R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}}$$ ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$ ${\textstyle d\theta }$ ${\displaystyle P_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})}$ ${\textstyle d\theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle C}$ ${\displaystyle (d\theta )^{2}}$ $${\displaystyle df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}}$$ $${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|}$$

Для явной функции находим результаты предыдущего раздела. ${\displaystyle f(x,y)=y-g(x)}$

Характеристики

Для кривой C, заданной достаточно гладкими параметрическими уравнениями (дважды непрерывно дифференцируемыми), соприкасающаяся окружность может быть получена с помощью предельной процедуры: это предел окружностей, проходящих через три различные точки на C , когда эти точки приближаются к P. ^[3] Это полностью аналогично построению касательной к кривой как предела секущих линий, проходящих через пары различных точек на C , приближающихся к P.

Окружность, соприкасающаяся с плоской кривой C в регулярной точке P, может быть охарактеризована следующими свойствами:

• Окружность S проходит через точку P.
• Окружность S и кривая C имеют общую касательную в точке P , а значит, и общую нормаль.
• Вблизи точки P расстояние между точками кривой C и окружностью S в нормальном направлении убывает пропорционально кубу или большей степени расстояния до точки P в тангенциальном направлении.

Обычно это выражается как «кривая и ее соприкасающаяся окружность имеют контакт второго или более высокого порядка » в точке P. Грубо говоря, векторные функции, представляющие C и S, согласуются вместе со своими первыми и вторыми производными в точке P.

Если производная кривизны по s не равна нулю в точке P , то соприкасающаяся окружность пересекает кривую C в точке P. Точки P , в которых производная кривизны равна нулю, называются вершинами . Если P — вершина, то C и ее соприкасающаяся окружность имеют контакт порядка не менее трех. Если, кроме того, кривизна имеет ненулевой локальный максимум или минимум в точке P , то соприкасающаяся окружность касается кривой C в точке P, но не пересекает ее.

Кривая C может быть получена как огибающая однопараметрического семейства ее соприкасающихся окружностей. Их центры, т. е. центры кривизны, образуют другую кривую, называемую эволютой C. Вершины C соответствуют особым точкам на ее эволюте.

В пределах любой дуги кривой C, в пределах которой кривизна монотонна (то есть, вдали от любой вершины кривой), соприкасающиеся окружности все не пересекаются и вложены друг в друга. Этот результат известен как теорема Тейта-Кнезера . ^[1]

Примеры

Парабола

Соприкасающаяся окружность параболы в ее вершине имеет радиус 0,5 и контакт четвертого порядка.

Для параболы радиус кривизны равен В вершине радиус кривизны равен R (0) = 0,5 (см. рисунок). Там парабола имеет соприкосновение четвертого порядка со своей соприкасающейся окружностью. При больших t радиус кривизны увеличивается ~ t ³ , то есть кривая все больше и больше выпрямляется. $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}$$ ${\displaystyle \gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

кривая Лиссажу

Анимация соприкасающейся окружности с кривой Лиссажу

Кривую Лиссажу с отношением частот (3:2) можно параметризовать следующим образом:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.}$

Он имеет знак кривизны k ( t ) , нормальный единичный вектор N ( t ) и радиус кривизны R ( t ), заданный как и $${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,}$$ $${\displaystyle N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.}$$

Анимацию см. на рисунке. Там «вектор ускорения» — это вторая производная по длине дуги s . ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$

Циклоида

Циклоида (синяя), ее соприкасающаяся окружность (красная) и эволюта (зеленая).

Циклоиду радиуса r можно параметризовать следующим образом : $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}$$

Его кривизна определяется следующей формулой: ^[4] которая дает: $${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}$$ $${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}$$

Смотрите также

• Теорема об упаковке кругов
• Оскулирующая кривая
• Соприкасающаяся сфера

Примечания

1. Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergey ; Timorin, Vladlen (2013). «Оскулирующие кривые: вокруг теоремы Тейта-Кнезера». The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR  3041992. S2CID  18183204.
2. "12.4 Длина дуги и кривизна" . Получено 2023-09-19 .
3. На самом деле, точка P плюс две дополнительные точки, по одной с каждой стороны от P , подойдут. См. Lamb (онлайн): Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. стр. 406. соприкасающаяся окружность.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида». MathWorld .

Дальнейшее чтение

Некоторые исторические заметки по изучению кривизны см.

• Grattan-Guinness & HJM Bos (2000). От исчисления к теории множеств 1630-1910: Вводная история. Princeton University Press. стр. 72. ISBN 0-691-07082-2.
• Рой Портер, ред. (2003). Кембриджская история науки: т.4 - Наука восемнадцатого века. Cambridge University Press. стр. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Для применения в маневренных транспортных средствах см.

• Дж. К. Александер и Дж. Х. Мэддокс (1988): О маневрировании транспортных средств doi :10.1137/0148002
• Мюррей С. Кламкин (1990). Проблемы прикладной математики: выборки из обзора SIAM. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 1. ISBN 0-89871-259-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Соприкасающаяся окружность». MathWorld .
• math3d : соприкасающаяся_окружность