График функции

Представление математической функции

График функции ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.}$

В математике график функции представляет собой набор упорядоченных пар , где в общем случае, когда и являются действительными числами , эти пары представляют собой декартовы координаты точек на плоскости и часто образуют кривую . Графическое представление графика функции также известно как график . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

В случае функций двух переменных , то есть функций, область определения которых состоит из пар , график обычно относится к множеству упорядоченных троек, где . Это подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной вещественной функции двух действительных переменных ее график образует поверхность , которую можно визуализировать как график поверхности . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$

В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики — это инструменты, используемые для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; подробности см. в разделе График (графика) .

График функции является частным случаем отношения . В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. ^[1] Однако часто бывает полезно рассматривать функции как отображения , ^[2] которые состоят не только из отношения между входом и выходом, но также из того, какой набор является областью определения, а какой набор является кодоменом . Например, чтобы сказать, что функция находится на ( сюръективной ) или нет, следует учитывать кодомен. График функции сам по себе не определяет кодомен. Обычно ^[3] используются термины « функция» и «график функции» , поскольку, даже если рассматривать один и тот же объект, они указывают на его рассмотрение с другой точки зрения.

График функции на интервале [−2,+3]. Также показаны два действительных корня и локальный минимум, находящиеся в интервале. ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$

Определение

Учитывая функцию из набора X ( область определения ) в набор Y ( кодомен ), график функции представляет собой набор ^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$

декартова произведениязрения теории множеств ${\displaystyle X\times Y}$

Примеры

Функции одной переменной

График функции ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).}$

График функции, определяемой формулой ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$

${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

Из графа домен восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графе . Аналогично, диапазон можно восстановить как . Кодомен , однако, не может быть определен только по графу. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

График кубического полинома на вещественной прямой

$${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$

$${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

Если этот набор нанести на декартову плоскость , результатом будет кривая (см. рисунок).

Функции двух переменных

График графика также показывает его градиент, проецируемый на нижнюю плоскость. ${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

График тригонометрической функции

$${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$

$${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

Если этот набор нанести на трехмерную декартову систему координат , результатом будет поверхность (см. рисунок).

Часто бывает полезно показать на графике градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть отображены на функциональной поверхности или спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке представлен такой рисунок графика функции:

$${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

Смотрите также

• Асимптота
• Диаграмма
• Вогнутая функция
• Выпуклая функция
• Контурный сюжет
• Критическая точка
• Производная
• Эпиграф
• Нормаль к графику
• Склон
• Стационарная точка
• Тетравью
• Вертикальный перевод
• пересечение оси Y

Рекомендации

1. Чарльз С. Пинтер (2014) [1971]. Книга по теории множеств. Дуврские публикации. п. 49. ИСБН 978-0-486-79549-2.
2. ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35.
3. PR Халмос (1982). Книга задач о гильбертовом пространстве . Спрингер-Верлаг. п. 31. ISBN 0-387-90685-1.
4. Д.С. Бриджес (1991). Основы реального и абстрактного анализа. Спрингер. п. 285. ИСБН 0-387-98239-6.

дальнейшее чтение

• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функциональный график». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.