Кривая Де Рама

Непрерывная фрактальная кривая, полученная как образ канторова пространства.

В математике кривая де Рама — это непрерывная фрактальная кривая, полученная как образ канторова пространства или, что то же самое, из разложения по основанию двойки действительных чисел в единичном интервале. Многие известные фрактальные кривые, в том числе функция Кантора , кривая Чезаро-Фабера ( кривая Леви C ), функция вопросительного знака Минковского , кривая Бланманже и кривая Коха , являются примерами кривых де Рама. Общий вид кривой был впервые описан Жоржем де Рамом в 1957 году. ^[1]

Строительство

Рассмотрим некоторое полное метрическое пространство (обычно ² с обычным евклидовым расстоянием) и пару сжимающихся отображений на M: ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle d_{0}:\ M\to M}$

${\displaystyle d_{1}:\ M\to M.}$

По теореме Банаха о неподвижной точке они имеют неподвижные точки и соответственно. Пусть x — действительное число в интервале , имеющее двоичное представление ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},}$

где каждый равен 0 или 1. Рассмотрим карту ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle c_{x}:\ M\to M}$

определяется

${\displaystyle c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,}$

где обозначает композицию функции . Можно показать, что каждый из них отображает общий бассейн притяжения и в одну точку в . Совокупность точек , параметризованная одним действительным параметром x , известна как кривая де Рама. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle c_{x}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{x}}$

Условие непрерывности

Построение в терминах двоичных цифр можно понимать двумя разными способами. Один из способов — это отображение канторова пространства на отдельные точки плоскости. Канторово пространство — это набор всех бесконечно длинных строк двоичных цифр. Это дискретное пространство , и оно несвязно . Канторово пространство можно отобразить на единичный действительный интервал, рассматривая каждую строку как двоичное разложение действительного числа. На этой карте двоичные рациональные числа имеют два различных представления в виде строк двоичных цифр. Например, половина действительного числа имеет два эквивалентных двоичных представления: и Это аналогично тому, как 0,999...=1,000... в десятичном представлении. Две точки и являются различными точками в канторовом пространстве, но обе отображаются на половину действительного числа. Таким образом, действительные числа единичного интервала представляют собой непрерывный образ канторова пространства. ${\displaystyle h_{1}=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$

То же понятие непрерывности применяется к кривой де Рама, требуя, чтобы неподвижные точки были парными, так что

${\displaystyle d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})}$

При таком спаривании двоичные разложения двоичных рациональных чисел всегда сопоставляются с одной и той же точкой, обеспечивая тем самым непрерывность в этой точке. Рассмотрим поведение на половине. Для любой точки p на плоскости есть две различные последовательности:

${\displaystyle d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)}$

и

${\displaystyle d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)}$

соответствующий двум двоичным разложениям и . Поскольку обе карты сжимаются, первая последовательность сходится к , а вторая к . Если эти два значения равны, то оба двоичных расширения 1/2 соответствуют одной и той же точке. Этот аргумент можно повторить в любой двоично-рациональной точке, обеспечивая таким образом непрерывность в этих точках. Действительные числа, не являющиеся двоично-рациональными, имеют только одно единственное двоичное представление, и из этого следует, что кривая не может быть разрывной в таких точках. Результирующая кривая де Рама является непрерывной функцией x при всех x . ${\displaystyle 1/2=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle 1/2=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle d_{0}(p_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}(p_{0})}$ ${\displaystyle p_{x}}$

В общем случае кривые де Рама не дифференцируемы.

Характеристики

Кривые де Рама по построению самоподобны, поскольку

${\displaystyle p(x)=d_{0}(p(2x))}$для и ${\displaystyle x\in [0,1/2]}$

${\displaystyle p(x)=d_{1}(p(2x-1))}$для ${\displaystyle x\in [1/2,1].}$

Самосимметрии всех кривых де Рама задаются моноидом, который описывает симметрии бесконечного двоичного дерева или пространства Кантора . Этот так называемый моноид удвоения периода является подмножеством модулярной группы .

Изображение кривой , то есть набор точек , может быть получено с помощью системы итерированных функций с использованием набора сжимающих отображений . Но результат итерированной системы функций с двумя сжимающими отображениями является кривой де Рама тогда и только тогда, когда сжимающие отображения удовлетворяют условию непрерывности. ${\displaystyle \{p(x),x\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle \{d_{0},\ d_{1}\}}$

Подробные проработанные примеры самоподобия можно найти в статьях о функции Кантора и о функции вопросительного знака Минковского . Точно такой же моноид самоподобий, диадический моноид , применим к каждой кривой де Рама.

Классификация и примеры

Следующие системы генерируют непрерывные кривые.

Кривые Чезаро

Кривая Чезаро для a  = 0,3 +  i  0,3

Кривая Чезаро для a  = 0,5 +  i  0,5. Это кривая Леви С.

Кривые Чезаро , также известные как кривые Чезаро-Фабера или кривые Леви C , представляют собой кривые Де Рама, порожденные аффинными преобразованиями , сохраняющими ориентацию , с фиксированными точками и . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Из-за этих ограничений кривые Чезаро однозначно определяются комплексным числом таким, что и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1}$ ${\displaystyle |1-a|<1}$

Отображения сжатия и затем определяются как комплексные функции на комплексной плоскости следующим образом: ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=az}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a)z.}$

Для значения результирующая кривая представляет собой кривую C Леви . ${\displaystyle a=(1+i)/2}$

Кривые Коха – Пеано

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,37. Это близко, но не совсем к кривой Коха .

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,45.

Аналогичным образом мы можем определить семейство кривых Коха – Пеано как набор кривых Де Рама, порожденных аффинными преобразованиями, меняющими ориентацию, с неподвижными точками и . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Эти отображения выражаются в комплексной плоскости как функция комплексно -сопряженного числа : ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle d_{0}(z)=a{\overline {z}}}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.}$

Название семьи происходит от двух самых известных ее членов. Кривую Коха получают , полагая:

${\displaystyle a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{6}},}$

а кривая Пеано соответствует:

${\displaystyle a_{\text{Peano}}={\frac {(1+i)}{2}}.}$

Кривая де Рама для значений чуть меньше единицы визуально напоминает кривую Осгуда . Эти две кривые тесно связаны, но не совпадают. Кривая Осгуда получается путем многократного вычитания множества и, таким образом, представляет собой идеальное множество , во многом похожее на само множество Кантора . Конструкция множества Осгуда требует вычитания все меньших треугольников, оставляя после себя «толстый» набор ненулевой меры; конструкция аналогична толстому множеству Кантора , имеющему ненулевую меру . Напротив, кривая де Рама не является «толстой»; конструкция не предлагает способа «утолщить» «отрезки прямых», которые проходят «между» диадтическим рациональными числами. ${\displaystyle a=(1+ib)/2}$ ${\displaystyle b}$

Общие аффинные карты

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Кривые Чезаро–Фабера и Пеано–Коха являются частными случаями общего случая пары аффинных линейных преобразований на комплексной плоскости. Фиксируя одну конечную точку кривой в 0, а другую в единице, общий случай получается путем итерации двух преобразований

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.}$

Будучи аффинными преобразованиями , эти преобразования действуют на точку двумерной плоскости, воздействуя на вектор ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.}$

Можно видеть, что середина кривой расположена в точке ; остальные четыре параметра можно изменять для создания самых разнообразных кривых. ${\displaystyle (u,v)=(\alpha ,\beta )}$

Кривую бланманже параметра можно получить, установив , и . То есть: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$ ${\displaystyle \delta =\zeta =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =\eta =w}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.}$

Поскольку кривая Бланманже для параметра является параболой уравнения , это иллюстрирует тот факт, что в некоторых случаях кривые де Рама могут быть гладкими. ${\displaystyle w=1/4}$ ${\displaystyle f(x)=4x(1-x)}$

Функция вопросительного знака Минковского

Функция вопросительного знака Минковского генерируется парой карт

${\displaystyle d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}}$

и

${\displaystyle d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.}$

Непримеры

Учитывая любые две функции и , можно определить отображение из канторового пространства путем повторной итерации цифр точно так же, как и для кривых де Рама. В общем случае результат не будет кривой де Рама, если не выполняются условия непрерывности. Таким образом, существует множество множеств, которые могут находиться во взаимно однозначном соответствии с канторовым пространством, точки которого могут быть однозначно помечены точками в канторовом пространстве; однако это не кривые де Рама, когда двоичные рациональные числа не отображаются в одну и ту же точку. ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

Множество Юлии из множества Мандельброта

Множество Мандельброта генерируется с помощью итерированного уравнения удвоения периода. Соответствующее множество Жюлиа получается путем итерации в противоположном направлении. Это делается путем записи , что дает два различных корня, из которых «пришла» прямая итерация . Эти два корня можно различить как ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}$ ${\displaystyle z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}}$

и

${\displaystyle d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.}$

Зафиксировав комплексное число , результатом будет набор Джулии для этого значения . Эта кривая непрерывна, когда находится внутри множества Мандельброта; в противном случае это бессвязная пыль точек. Однако причина непрерывности не связана с условием де Рама, поскольку, вообще говоря, точки, соответствующие двоичным рациональным числам, находятся далеко друг от друга. Фактически, это свойство можно использовать для определения понятия «полярных противоположностей» — сопряженных точек в множестве Жюлиа. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Обобщения

Определение легко обобщить, используя более двух сжимающих отображений. Если используется n отображений, то вместо двоичного разложения действительных чисел необходимо использовать n -арное разложение x . Условие непрерывности должно быть обобщено на:

${\displaystyle d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})}$, для ${\displaystyle i=0\ldots n-2.}$

Это условие непрерывности можно понять на следующем примере. Предположим, кто-то работает в системе счисления с основанием 10. Тогда получается (как известно) 0,999...= 1,000... что представляет собой уравнение непрерывности, которое должно соблюдаться в каждом таком разрыве. То есть, учитывая десятичные цифры с , имеем ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 9}$

${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots }$

Такое обобщение позволяет, например, создать кривую со стрелкой Серпинского (образом которой является треугольник Серпинского ), используя сжимающие отображения итерированной системы функций, которая создает треугольник Серпинского.

Мультифрактальные кривые

Орнштейн и другие описывают мультифрактальную систему , в которой вместо работы с фиксированной базой мы работаем с переменной базой.

Рассмотрим пространство произведений переменных базисно- дискретных пространств ${\displaystyle m_{n}}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

для циклической группы — для целого числа. Любое действительное число в единичном интервале можно разложить в такую ​​последовательность, что каждое . Точнее, действительное число записывается как ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle a_{n}\in A_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

Это расширение не является уникальным, если оно прошло некоторый момент . В данном случае это имеет место ${\displaystyle a_{n}=0}$ ${\displaystyle K<n}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots }$

Такие точки аналогичны двоичным рациональным числам в двоичном разложении, и в этих точках необходимо применять уравнения непрерывности на кривой.

Для каждого необходимо указать две вещи: набор из двух точек и набор функций (с ). Условие непрерывности тогда такое же, как указано выше: ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle p_{0}^{(n)}}$ ${\displaystyle p_{1}^{(n)}}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle d_{j}^{(n)}(z)}$ ${\displaystyle j\in A_{n}}$

${\displaystyle d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})}$, для ${\displaystyle j=0,\cdots ,m_{n}-2.}$

Использован оригинальный пример Орнштейна

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

Смотрите также

• Итерированная система функций
• Уточняемая функция
• Модульная группа
• Фуксова группа

Рекомендации

1. Жорж де Рам, Sur quelques courbes определяет части функционирующих уравнений . унив. е Политех. Турин. Ренд. Сем. Матем., 1957, 16, 101 –113.

дальнейшее чтение

• Жорж де Рам, «О некоторых кривых, определяемых функциональными уравнениями» (1957), перепечатано в журнале «Классика фракталов» , изд. Джеральд А. Эдгар (Аддисон-Уэсли, 1993), стр. 285–298.
• Линас Вепстас, Галерея кривых де Рама , (2006).
• Линас Вепстас, Симметрии карт удвоения периода , (2006). (Общее исследование симметрии модульной группы во фрактальных кривых.)