В кристаллографии кристаллическая система — это набор точечных групп (группа геометрических симметрий с по крайней мере одной неподвижной точкой). Решетчатая система — это набор решеток Браве . Пространственные группы классифицируются на кристаллические системы в соответствии с их точечными группами и на решетчатые системы в соответствии с их решетками Браве. Кристаллические системы, имеющие пространственные группы, назначенные общей решеточной системе, объединяются в кристаллическое семейство .
Семь кристаллических систем — триклинная , моноклинная , орторомбическая , тетрагональная , тригональная, гексагональная и кубическая . Неформально, два кристалла находятся в одной и той же кристаллической системе, если они имеют схожие симметрии (хотя есть много исключений).
Кристаллы можно классифицировать тремя способами: решеточные системы, кристаллические системы и кристаллические семейства. Различные классификации часто путают: в частности, тригональную кристаллическую систему часто путают с ромбоэдрической решеточной системой , а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «решеточной системы» или «кристаллического семейства».
Решетчатая система — это группа решеток с одинаковым набором групп точек решетки . 14 решеток Браве сгруппированы в семь решеточных систем: триклинную, моноклинную, орторомбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.
Кристаллическая система — это набор точечных групп, в котором сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы приписываются решеточной системе. Из 32 кристаллографических точечных групп , существующих в трех измерениях, большинство приписывается только одной решеточной системе, в этом случае и кристалл, и решеточная система имеют одинаковое название. Однако пять точечных групп приписываются двум решеточным системам, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе демонстрируют тройную вращательную симметрию. Эти точечные группы приписываются тригональной кристаллической системе.
Семейство кристаллов определяется решетками и точечными группами. Оно формируется путем объединения кристаллических систем, имеющих пространственные группы, назначенные общей системе решеток. В трех измерениях гексагональные и тригональные кристаллические системы объединяются в одно гексагональное кристаллическое семейство.
Пять кристаллических систем по сути совпадают с пятью системами решеток. Гексагональные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических систем решеток. Они объединены в семейство гексагональных кристаллов.
Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и решеточными системами показана в следующей таблице:
Семь кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице ниже:
Точечную симметрию структуры можно далее описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку, так что ( x , y , z ) станет (− x ,− y ,− z ). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и перевернутая структура идентичны, то структура является центросимметричной . В противном случае она нецентросимметрична . Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутую структуру в некоторых случаях можно повернуть, чтобы выровнять с исходной структурой. Это нецентросимметричная ахиральная структура. Если перевернутую структуру нельзя повернуть, чтобы выровнять с исходной структурой, то структура является хиральной или энантиоморфной , а ее группа симметрии является энантиоморфной . [1]
Направление (имеется в виду линия без стрелки) называется полярным , если его двунаправленные смыслы геометрически или физически различны. Направление симметрии кристалла, которое является полярным, называется полярной осью . [2] Группы, содержащие полярную ось, называются полярными . Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства различаются на двух концах этой оси: например, может возникнуть диэлектрическая поляризация, как в пироэлектрических кристаллах . Полярная ось может встречаться только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.
Кристаллические структуры хиральных биологических молекул (например, белковые структуры) могут встречаться только в 65 энантиоморфных пространственных группах (биологические молекулы обычно хиральны ).
Существует семь различных видов решетчатых систем, и каждый вид решетчатой системы имеет четыре различных вида центрирования (примитивное, базоцентрированное, объемноцентрированное, гранецентрированное). Однако не все комбинации уникальны; некоторые из комбинаций эквивалентны, а другие невозможны из-за симметрии. Это сокращает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.
Распределение 14 решеток Браве по 7 решеточным системам приведено в следующей таблице.
В геометрии и кристаллографии решетка Браве — это категория групп трансляционной симметрии (также известных как решетки ) в трех направлениях.
Такие группы симметрии состоят из трансляций векторами вида
где n 1 , n 2 и n 3 — целые числа , а a 1 , a 2 и a 3 — три некомпланарных вектора, называемых примитивными векторами .
Эти решетки классифицируются по пространственной группе самой решетки, рассматриваемой как набор точек; существует 14 решеток Браве в трех измерениях; каждая принадлежит только одной системе решеток. Они [ необходимо разъяснение ] представляют максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.
Все кристаллические материалы (за исключением квазикристаллов ) должны, по определению, соответствовать одной из этих конфигураций.
Для удобства решетка Браве изображается элементарной ячейкой, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше примитивной ячейки . В зависимости от симметрии кристалла или другой модели фундаментальный домен снова меньше, вплоть до 48 раз.
Решетки Браве были изучены Морицем Людвигом Франкенгеймом в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это число было исправлено до 14 А. Браве в 1848 году.
Двумерное пространство имеет одинаковое количество кристаллических систем, кристаллических семейств и систем решеток. В двумерном пространстве существует четыре кристаллических системы: косая , прямоугольная , квадратная и шестиугольная .
Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер ( a , b , c , d ) и шестью межосевыми углами ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Следующие условия для параметров решетки определяют 23 семейства кристаллов
Названия здесь даны в соответствии с Уиттекером. [3] Они почти такие же, как у Брауна и др. , [4], за исключением названий кристаллических семейств 9, 13 и 22. Названия этих трех семейств в соответствии с Брауном и др. даны в скобках.
Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и решеточными системами показана в следующей таблице. [3] [4] Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. Количество энантиоморфных пар указано в скобках. Здесь термин «энантиоморфный» имеет иное значение, чем в таблице для трехмерных кристаллических классов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают хиральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфный» означает, что сама группа (рассматриваемая как геометрический объект) является энантиоморфной, подобно энантиоморфным парам трехмерных пространственных групп P3 1 и P3 2 , P4 1 22 и P4 3 22. Начиная с четырехмерного пространства, точечные группы также могут быть энантиоморфными в этом смысле.
